Aljabar : Sebagai suatu Pondasi Matematika

berapa contoh yang dibahas digunakan alat bantu perangkat lunak SAGE versi terbaru 6.8 yang juga didapat dari internet secara gratis. ... 15 Basis Grö...

0 downloads 130 Views 3MB Size
Aljabar : Sebagai suatu Pondasi Matematika Versi 2.0.0 12 Pebruari 2016

Subiono

*

Matematika

A

-I

ya

F M IP

M

ka ati

*J

n Mate usa m r u

T S , S u rab

a

Subiono — Email: [email protected]

Alamat: Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Sukolilo Surabaya, 60111 Indonesia

2

Copyright c 2016 The Author, Subiono.

*

Matematika

A

-I

ya

F M IP

M

ka ati

*J

n Mate usa m ur

T S , S u rab

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

a

Kata Pengantar

AlhamdulIllahiRabbilalamin, segala puji hanyalah milikMu ya Allah yang telah memberikan "kebebasan bertanggung jawab" kepada manusia semasa hidupnya untuk suatu kebaikan dalam melaksanakan amanatMu di hamparan bumi yang dihuni beragam manusia. Sholawat dan Salam kepadaMu ya Nabi Muhammad beserta para keluarganya dan para pengikutnya sampai nanti di hari akhir. Buku ini disusun dengan maksud untuk membantu dan mempermudah mahasiswa dalam mempelajari materi kuliah Aljabar. Isi bahasan dimulai dengan pendahuluan membahas dasar-dasar teori yang digunakan pada hampir seluruhan bahasan berikutnya. Selanjutnya bahasan dibagi dua : yaitu bagian pertama mengenai teori grup yang merupakan bahan materi kuliah Aljabar I dan Kapita Selekta I bidang Aljabar. Bagian kedua adalah Ring dan Lapangan yang merupakan materi kuliah Aljabar II dan Kapita Selekta II bidang Aljabar. Oleh karenanya tidak berlebihan bahwa, selain dari apa yang telah disebutkan, penyusunan buku ini juga dimaksudkan untuk menambah suatu bahan bacaan khususnya bagi para peminat Aljabar. Dalam buku ini diberikan beberapa konsep pengertian dan sifat dari materi yang disajikan didahului contoh-contoh untuk mempermudah pemahaman pengertian dan sifat yang dibahas. Selain itu juga diberikan beberapa contoh aplikasi yang mungkin. Topik bahasan disajikan dengan penekanan pada "matematika" tetapi tidaklah menjadikan para pemakai lain akan mengalami kesulitan dalam mempelajari buku ini, karena peletakan penekanan aspek matematika dibuat dengan porsi yang seimbang. Sehingga para peminat matematika tetap dapat menikmati dan menggunakan ilmunya terutama dalam Aljabar, begitu juga untuk para pemakai yang lainnya diharapkan mendapat tambahan wawasan untuk melihat matematika sebagai alat yang dibutuhkan terutama dalam kajian Aljabar untuk menyelesaikan masalah-masalah praktis yang dihadapinya. Persiapan penulisan materi buku ini membutuhkan waktu yang agak lama, sejak penulis mengajarkan mata kuliah "Aljabar I", "Aljabar II" dan "Kapsel Aljabar" di jurusan Matematika FMIPA-ITS, Surabaya. Beberapa materi disusun dari pengalaman mengajar tersebut. Selain itu juga dari kumpulan makalah penulis dan hasil-hasil dari pembimbingan skripsi dan tesis mahasiswa. i

ii Penulis pada kesempatan ini menyampaikan keaktifan para pembaca dalam mengkaji buku ini untuk menyampaikan kritik dan saran guna perbaikan buku ini, sehingga pada versi yang mendatang "mutu buku" yang baik bisa dicapai. Kritik dan saran ini sangat penting karena selain alasan yang telah disebutkan tadi, penulis percaya bahwa dalam sajian buku ini masih kurang dari sempurnah bahkan mungkin ada suatu kesalahan dalam sajian buku ini baik dalam bentuk redaksional, pengetikan dan materi yang menyebabkan menjadi suatu bacaan kurang begitu bagus. Buku ini dapat diperoleh secara gratis oleh siapapun tanpa harus membayar kepada penulis. Hal ini berdasarkan pemikiran penulis untuk kebebasan seseorang mendapatkan suatu bacaan yang tersedia secara bebas dengan maksud "kemanfaatan" dan "kejujuran". Yang dimaksud dengan kemanfaatan adalah bergunanya bacaan ini untuk kemudahan pembaca memperoleh informasi penting yang diperlukannya dan untuk pembelajaran. Sedangkan kejujuran adalah ikatan moral dari pembaca untuk tidak memdistribusi buku ini dengan tujuaan tidak bermanfaat yang hanya menguntungkan dirinya sendiri. Penulis menulis buku ini berdasarkan pemikiran "kebebasan menulis" (tidak harus menggunakan media cetak penerbit) dengan asas "kemanfaatan" menggunakan media yang tersaji masa kini. Beberapa alat bantu untuk penulisan buku ini juga didapat secara gratis, yaitu perangkat lunak LATEX untuk Windows yaitu TEXstudio 2.10.2 sebagai salah satu media LATEX editor. Beberapa gambar yang ada dalam buku ini menggunakan perangkat lunak LATEXDraw 3.3.2 yang juga didapat secara gratis. Begitu juga beberapa bahan rujukan didapat secara gratis lewat internet. Selain itu untuk menyelesaikan beberapa contoh yang dibahas digunakan alat bantu perangkat lunak SAGE versi terbaru 6.8 yang juga didapat dari internet secara gratis. Akhirnya, dengan segala kerendahan hati penulis memohon hanya kepadaMu ya Allah semoga penulisan ini bisa berlanjut untuk versi mendatang yang tentunya lebih "baik" dari Versi 1.0.1 yang tersedia saat ini dan semoga benar-benar buku yang tersaji ini bermanfaat bagi pembaca. Catatan untuk versi 2.0.0 melengkapi versi 1.1.1 khususnya dalam pembahasan ring dan beberapa bagian lain yang terkait. Sedangkan 1.1.1 adalah merupakan kelengkapan versi 1.0.1. Dimana dalam versi 1.0.1 pembahasan yang telah disajikan hanya sampai pada satu operasi biner. Sedangkan dalam versi 1.1.1 pembahasan dilanjutkan pada dua operasi biner. Semoga dalam versi berikutnya dapat berlanjut untuk melengkapi apa yang telah tersaji dalam perencanaan daftar isi dari buku ini.

M

-I

*

Matematika TS

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

ya

A * F MIP

ka ati

J

Surabaya, 12 Pebruari 2016 M usan atem r u

, Surab

a

Penulis

Daftar Isi

Kata Pengantar 1 Pendahuluan 1.1 Himpunan dan Fungsi . . 1.2 Relasi Ekivalen dan Partisi 1.3 Sifat-sifat dari Z . . . . . . 1.4 Bilangan Kompleks . . . . 1.5 Matriks . . . . . . . . . . .

i . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 1 15 19 39 46

I Bagian A

53

2 Grup 2.1 Contoh-contoh dan Konsep Dasar 2.2 Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Grup Siklik . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Permutasi . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

55 56 67 75 84

3 Homomorpisma Grup 3.1 Koset dan Teorema Lagrange 3.2 Homomorpisma . . . . . . . . 3.3 Subgrup Normal . . . . . . . 3.4 Grup Kuasi . . . . . . . . . . . 3.5 Automorpisma . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

99 99 107 119 127 139

. . . .

145 145 151 155 164

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 Produk Langsung dan Grup Abelian 4.1 Contoh-contoh dan definisi . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Komputasi Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Jumlahan Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga iii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

iv

DAFTAR ISI

5 Tindakan Grup 5.1 Tindakan Grup dan Teorema cayley . . . . . . . 5.2 Stabiliser dan Orbit dalam suatu Tindakan Grup 5.3 Teorema Burside dan Aplikasi . . . . . . . . . . . 5.4 Klas Konjugasi dan Persamaan Klas . . . . . . . 5.5 Konjugasi dalam Sn dan Simplisitas dari A5 . . . 5.6 Teorema Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Aplikasi Teorema Sylow . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

175 175 182 188 198 203 207 207

6 Deret Komposisi 209 6.1 Teorema Isomorpisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.2 Teorema Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.3 Grup Solvable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

II Bagian B

211

7 Ring 213 7.1 Contoh-contoh dan Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2 Daerah Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.3 Lapangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8 Homomorpisma Ring 235 8.1 Definisi dan Sifat-sifat Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 8.2 Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 8.3 Lapangan dari Kuasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9 Polinomial Ring 9.1 Konsep Dasar dan Notasi . . . . 9.2 Algorithma Pembagian di F[x] . 9.3 Aplikasi Algorithma Pembagian 9.4 Polinomial Tereduksi . . . . . . . 9.5 Polinomial Kubik dan Kuartik . . 9.6 Ideal di F[x] . . . . . . . . . . . . 9.7 Terorema Sisa untuk F[x] . . . . .

. . . . . . .

261 261 273 279 279 279 279 279

10 Daerah Euclid 10.1 Algorithma Pembagian dan Daerah Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Daerah Faktorisasi Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Integers Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281 281 281 281

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

v

DAFTAR ISI

11 Teori Lapangan 11.1 Ruang Vektor . . . . 11.2 Perluasan Aljabar . . 11.3 Lapangan Splitting . 11.4 Lapangan Berhingga

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

283 283 283 283 283

12 Konstruksi Geometri 12.1 Konstruksi Bilangan Real . . . . . . . . . . . . 12.2 Masalah Klasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Konstruksi dengan Aturan Tanda dan Kompas 12.4 Revisi Kubik dan Kuartik . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

285 285 285 285 285

13 Teori Galois 13.1 Grup Galois . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Teori Fundamental dari Teori Galois 13.3 Revisi Konstruksi Geometri . . . . . 13.4 Perluasan Radical . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

287 287 287 287 287

14 Simetri 14.1 Transformasi Linier . . . . . . . . . . . . 14.2 Isometris . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Grup Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Solid Platonik . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Subgrup dari Grup Orthogonal Khusus

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

289 289 289 289 289 289

. . . .

15 Basis Gröbner 15.1 Order Lexicographic . . . . . . . . . . . . . 15.2 Suatu Algorithma Pembagian . . . . . . . . 15.3 Lemma Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Teorema Basis Hilbert . . . . . . . . . . . . 15.5 Basis Gröbner dan Algorithma Pembagian

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

291 291 291 291 291 291

16 Teori Koding 16.1 Kode Biner Linier . . . . . . . . . . . . . 16.2 Koreksi Kesalahan dan Dekoding Koset 16.3 Matriks Generator Baku . . . . . . . . . 16.4 Metoda Sindrom . . . . . . . . . . . . . 16.5 Kode Siklik . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

293 293 293 293 293 293

. . . . .

. . . . .

Daftar Pustaka

295

Indeks

296

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Bab

1

Pendahuluan Dalam bab pendahuluan ini dibahas beberapa gagasan matematika mendasar yang digunakan dalam bab-bab berikutnya. Pembahasan dimulai dari pengertian himpunan dan fungsi. Fungsi (pemetaan) satu-satu (injektif), pemetaan pada (surjektif) dan komposisi fungsi. Kesemuanya adalah konsep-konsep dasar yang sering muncul dan muncul kembali, sering dalam bentuk yang berbeda. Relasi ekivalen pada himpunan dan partisi juga sering digunakan, terutama dalam membangun struktur aljabar baru dari yang lama. Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa dan berbagai sifat utamanya berulang kali memberikan uraian yang mendasar dan konstruksi model untuk konsep aljabar umum. Sehubungan dengan bilangan bulat, induksi matematika adalah metode yang sangat berguna dan menjadi nyaman untuk suatu pembuktian yang penting. Dengan berlatar belakang pengetahuan ini perhitungan untuk menentukan koefisien binomial dan algoritma untuk mendapatkan pembagi persekutuan terbesar akan lebih mudah dilakukan. Himpunan bilangan kompleks dengan operasi sebagaimana biasa dilakukan juga memainkan peran penting. Matriks juga memberikan sejumlah contoh untuk menggambarkan gagasan aljabar baru, dan pengetahuan tentang sifat-sifatnya yang paling dasar akan berguna.

1.1 Himpunan dan Fungsi Pada bagian ini dikenalkan notasi dasar untuk himpunan dan operasi pada himpunan, juga simbol-simbol untuk beberapa himpunan tertentu yang sangat penting. Selain itu dikenalkan terminologi untuk berbagai jenis pemetaan antara himpunan dan gagasan kardinalitas dari himpunan. Himpunan mungkin sesuatu dari matematika yang paling fundamental. Secara intuisi, dapat dipikirkan bahwa suatu himpunan adalah sebagai kumpulan dari berbagai hal, dimana kumpulan ini dipandang sebagai suatu entitas tunggal. Himpunan dapat memuat bilangan, titik dalam bidang-xy, fungsi dan lain sebagainya, bahkan himpunan yang lain. Himpunan biasanya dinotasikan oleh huruf besar A, B, C atau huruf kaligrafis 1

2

Pendahuluan..

F , S, T . Definisi 1.1.1 Bila A adalah suatu himpunan dan x adalah suatu entitas di A ditulis x ∈ A. Dalam hal ini dikatakan bahwa x adalah suatu elemen dari A. Notasi x < A menyatakan x bukan elemen A. X



Ada beberapa cara menyajikan himpunan. 1. Mendaftar elemen-elemen himpunan bila hanya sedikit banyaknya elemen dari himpunan. Atau, mendaftar sebagaian dari elemen-elemen dari himpunan dan berharap pembaca dapat petunjuk dari pola elemen yang telah didaftar. Misalnya, contoh-contoh berikut. (a) {1, 8, π, Rabu}

(b) {0, 1, 2, . . . , 40}

(c) {. . . , −6, −4, −2, 0, 4, 6, . . .}.

2. Menjelaskan kriteria bagi entitas yang termuat dalam himpunan. (a) {x | x adalah bilangan riil dan x > −2}

(b) {a/b | a, b adalah bilangan bulat dan b , 0} (c) {x | P(x)}.

Contoh 1.1.1 Beberapa himpunan yang sangat penting dalam aljabar yang memiliki nama dan simbol khusus adalah sebagai berikut: Himpunan kosong, himpunan tanpa elemen. ∅ = { }. Himpunan semua bilangan bulat Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}. Himpunan semua bilangan rasional ( ) p p, q ∈ Z, q , 0 . Q= q

Himpunan semua bilangan riil

R = {x | x adalah bilangan riil}. Himpunan semua bilangan kompleks n √ o C = x + yi | x, y ∈ R, i = −1 . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



3

Himpunan dan Fungsi..

Contoh 1.1.2 Himpunan-himpunan lain yang mempunyai nama dan simbol khusus adalah: Himpunan bilangan bulat genap (kelipatan dua) 2Z = {2n | n ∈ Z}. Himpunan bilangan riil positip R+ = {x ∈ R | x > 0}.



Definisi 1.1.2 Diberikan himpunan A, notasi himpunan AC adalah komplemen dari A didefinisikan sebagai himpunan dari semua elemen-elemen di himpunan universal U yang tidak di A, yaitu AC = {x | x ∈ U dan x < A}.

Secara diagram Venn himpunan AC diberikan oleh Gambar 1.1. Diberikan dua himU A

Gambar 1.1: Diagram Venn AC

punan A dan B, A adalah himpunan bagian (subset) dari B ditulis A ⊆ B bila setiap elemen dari A adalah suatu elemen di B. Dua himpunan sama A = B, bila dan hanya bila A ⊆ B dan B ⊆ A. Gabungan (union) dari A dan B adalah himpunan A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}. Digram Venn himpunan A ∪ B diberikan oleh Gambar 1.2. Irisan (intersection) dari A U A

B

Gambar 1.2: Diagram Venn A ∪ B

dan B adalah himpunan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

4

Pendahuluan..

U A

B

Gambar 1.3: Diagram Venn A ∩ B

Digram Venn himpunan A ∩ B diberikan oleh Gambar 1.3. Himpunan A dikurangi B adalah himpunan yang didefinisikan oleh A − B = A ∩ BC = {x | x ∈ A dan x < B}. Digram Venn himpunan A − B diberikan oleh Gambar 1.4. Sedangkan himpunan beda U A

B

Gambar 1.4: Digram Venn A − B

simetrik dari A dan B didefinisikan oleh n o A△B = (A ∩ BC ) ∪ (AC ∩ B) = x | x ∈ A ∩ BC atau x ∈ AC ∩ B .

Digram Venn himpunan A△B diberikan oleh Gambar 1.5. Produk Kartesian dari A dan U A

B

Gambar 1.5: Diagram Venn A△B

B adalah himpunan A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

yang juga dinamakan himpunan semua pasangan terurut dengan komponen pertama elemen di A dan komponen kedua elemen di B. Bila A = B, ditulis A2 atau A × A. Secara c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

5

Himpunan dan Fungsi..

umum bila n adalah suatu bilangan bulat positip, maka n-pasangan terurut ditulis (a1 , a2 , . . . , an ) mempunyai elemen pertama a1 , elemen kedua a2 ,..., dan elemen ke-n an . Jadi (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) bila dan hanya bila ai = bi , i = 1, 2, . . . , n. Hasil kali dari A1 , A2 , . . . , An adalah A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , n} dan An = A1 × A2 × · · · × An untuk Ai = A, i = 1, 2, . . . , n. Banyaknya elemen dari A dinamakan kardinalitas dari A dan ditulis sebagai |A|. Walaupun notasi yang diberikan sama dengan notasi harga mutlak tetapi mempunyai arti yang berbeda. Misalnya | − 5| = 5 = |5|, tetapi |{−5}| = 1. Bila himpunan A berhingga, maka kardinalitas dari himpunan A adalah suatu bilangan bulat taknegatif. X



Contoh 1.1.3 Bila himpunan bilangan riil dipandang sebagai himpunan universal, maka QC = {x | x ∈ R dan x < Q} adalah himpunan dari semua bilangan irrasional.



Proposisi 1.1.1 Diberikan himpunan A dan B berhingga, maka 1. |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 2. |A × B| = |A| · |B| Bukti 1. Karena A ∪ B = (A△B) ∪ (A ∩ B), maka |A ∪ B| = |A△B| + |A ∩ B| = (|A| − |A ∩ B|) + (|B| − |A ∩ B|) + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 2. Misalkan B = {1, 2, . . . , n}, didapat A × B = (A × {1}) ∪ (A × {2}) ∪ · · · ∪ (A × {n}). Terlihat bahwa (A × {i}) ∩ (A × {j}) = ∅, ∀i , j. Jadi |A × B| = |A × {1}| + |A × {2}| + . . . + |A × {n}| = |A| + |A| + . . . + |A| = |A| · n. | {z }

Terlihat bahwa |A × B| = |A| · |B|.

n

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

6

Pendahuluan..

Contoh 1.1.4 Diberikan dua himpunan {1, 2} dan {1, 2, 3}, didapat {1, 2} × {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} dan Terlihat

{1, 2, 3} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}. {1, 2} × {1, 2, 3} , {1, 2, 3} × {1, 2}

sebab (1, 3) ∈ {1, 2} × {1, 2, 3}, tetapi (1, 3) < {1, 2, 3} × {1, 2} dan |{1, 2} × {1, 2, 3}| = 2.3 = 6 = 3.2 = |{1, 2, 3} × {1, 2}|. Contoh 1.1.5 Diberikan himpunan berikut



{1, 2} × {2, 3} × {4, 5} = {(1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), . (2, 2, 4), (2, 2, 5)(2, 3, 4), (2, 3, 5)} Didapat |{1, 2} × {2, 3} × {4, 5}| = 2 · 2 · 2 = 8.



Contoh 1.1.6 Diberikan P adalah himpunan bilangan bulat positif dan A = {(a, b) ∈ P2 | a < b}. Bila (x, y) ∈ A berakibat bahwa x < y dan bila (y, z) ∈ A berakibat bahwa y < z. Hal ini menunjukkan bahwa x < y dan y < z, akibatnya x < z. Jadi (x, z) ∈ A.



Definisi 1.1.3 Diberikan dua himpunan A dan B, suatu fungsi atau pemetan dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen di A dengan tepat hanya satu elemen di B. Dalam hal ini ditulis φ : A → B untuk menunjukkan bahwa φ adalah suatu fungsi dari A ke B. Suatu pemetaan harus terdefinisi dengan baik, ini berarti bahwa bila φ terspesifikasi oleh suatu aturan yang memasangkan setiap elemen dari A dengan suatu elemen di B, aturan harus bermakna hanya tepat satu elemen di B. Bila φ : A → B adalah suatu pemetaan dari A ke B, maka pasangan dari elemen a ∈ A dengan elemen di B ditulis sebagai φ(a) = b dinamakan image dari a terhadap φ. Untuk himpunan bagian A′ dari A, ditulis φ(A′ ) = {φ(a) | a ∈ A′ } yang dinamakan image/range dari A′ terhadap φ. Berkaitan dengan apa yang telah dibahas, himpunan A dinamakan domain dari φ, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain dari φ . X



Contoh 1.1.7 Pemetaan φ : Z → {0, 1} didefinisikan oleh aturan ( 0 bila n genap def φ(n) = 1 bila n ganjil c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

7

Himpunan dan Fungsi..

adalah terdefinisi secara baik, tetapi pemetaan ψ : Z → {0, 1} yang didefinisikan oleh aturan ( 0 bila n genap def ψ(n) = 1 bila n kelipatan 3 tidak terdefinisi secara baik, sebab ψ(6) = ψ(2. 3) = 0 juga ψ(6) = ψ(3. 2) = 1. Terlihat bahwa pasangan dari 6 ∈ Z tidak tunggal di {0, 1}.



Contoh 1.1.8 Tunjukkan bahwa f : R − {1} → R yang didefinisikan oleh f (x) = adalah suatu fungsi.

x2 + 2 , ∀x ∈ R − {1} x−1

Jawab Pilih sebarang x ∈ R − {1}, maka x2 + 2 dan x − 1 keduanya adalah bilangan riil. Lagipula, karena x , 1, maka x − 1 tidak sama dengan nol. Jadi (x − 1)−1 ada sebagai bilangan riil. Dengan demikian (x2 + 2)/(x − 1) ∈ R. Pilih x1 , x2 ∈ R − {1} dan misalkan x1 = x2 . Didapat x21 + 2 = x22 + 2, x1 − 1 = x2 − 1 dan (x1 − 1)−1 = (x2 − 1)−1 . Jadi

x21 + 2

x22 + 2

= , x1 − 1 x2 − 1 dengan demikian f (x1 ) = f (x2 ). Jadi f terdefinisi secara baik.



Pembahasan berkaitan dengan himpunan dan fungsi dapat dilakukan dalam SAGE dengan menggunakan perintah-perintah sebagai berikut.

# Membuat himpunan A dan B A=Set([1,2]) B=Set([1,2,3]) print"A =",A;print"B =",B

A = {1, 2} B = {1, 2, 3} # Operasi himpunan C=A.union(B);D=A.intersection(B) print"C =",C,", adalah gabungan dari A dan B" print"D =",D,", adalah irisan dari A dan B"

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

8

Pendahuluan..

C = {1, 2, 3} , adalah gabungan dari A dan B D = {1, 2} , adalah irisan dari A dan B # Himpunan bagian print"Apakah D subset print"Apakah D subset print"Apakah A subset print"Apakah B subset

Apakah Apakah Apakah Apakah

D D A B

subset subset subset subset

A B B A

? ? ? ?

A B B A

?",D.issubset(A) ?",D.issubset(B) ?",A.issubset(B) ?",B.issubset(A)

True True True False

# A-B, B-A print"A-B =",A-B;print"B-A =",B-A

A-B = {} B-A = {3} # Kardinalitas print"|A| =",A.cardinality() print"|B| =",B.cardinality()

|A| = 2 |B| = 3 # Membuat A x B dan B x A AxB=Set([(a,b) for a in A for b in B]) BxA=Set([(b,a) for a in A for b in B]) print"A x B =",AxB;print"B x A =",BxA

A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 2), (1, 1), (2, 1)} B x A = {(1, 2), (3, 2), (2, 2), (3, 1), (1, 1), (2, 1)}

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

9

Himpunan dan Fungsi..

# Cek apakah AxB = BxA AxB==BxA

False # Cek apakah |C|=|A|+|B|-|D| C.cardinality()==A.cardinality() + B.cardinality() - D.cardinality()

True # Cek apakah |AxB|=|BxA| dan |AxB|=|A|.|B| AxB.cardinality()==BxA.cardinality() AxB.cardinality()==A.cardinality()*B.cardinality()

True True # Mendefinisikan fungsi phi : Z -> {0,1} # phi(n)=0 bila n genap # phi(n)=1 bila n ganjil def phi(x): if mod(x,2)==0: return 0 else: return 1 phi(10);phi(-11)

0 1 Contoh 1.1.9 Misalkan pemetaan φ : Z → Z diberikan oleh φ(n) = 2n, ∀n ∈ Z. Maka untuk setiap dua bilangan bulat m dan n, bila φ(m) = φ(n) berakibat m = n.



Contoh 1.1.10 Bila pemetaan χ : Z → Z yang diberikan oleh χ(n) = n2 , ∀n ∈ Z. Maka untuk setiap dua bilangan bulat m dan n, bila χ(m) = χ(n) berakibat m = ±n.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

10

Pendahuluan..

Definisi 1.1.4 Suatu pemetaan φ : A → B dinamakan satu-satu bila a1 , a2 di A selalu berakibat φ(a1 ) , φ(a2 ). X



Contoh 1.1.9 adalah pemetaan satu-satu sedangkan Contoh 1.1.10 bukan. Contoh 1.1.11 Misalkan pemetaan φ : Z → 2Z diberikan oleh φ(n) = 2n, ∀n ∈ Z. Maka m ∈ Z sehingga untuk sebarang m ∈ 2Z dan karena m genap, maka dapat dipilih n = 2 φ(n) = 2n = m. Dalam hal ini φ(Z) = 2Z.



Contoh 1.1.12 Misalkan pemetaan φ : R → R+ diberikan oleh φ(x) = ex , ∀x ∈ R. Maka untuk sebarang y ∈ R+ dan karena y > 0, maka dapat dipilih x = ln y ∈ R sehingga φ(x) = ex = eln y = y. Jadi dalam hal ini φ(R) = R+ .



Definisi 1.1.5 Suatu pemetaan φ : A → B dinamakan pada bila untuk setiap y di B ada suatu x ∈ A sehingga φ(x) = y. Dalam kasus ini φ(A) = B. Bila pemetaan φ adalah satu dan pada dinamakan pemetaan satu-satu pada (bijektif). X



Dalam Contoh 1.1.11 dan 1.1.12 adalah pemetaan pada, sedangkan dalam Contoh 1.1.10 bukan petaan pada. Definisi 1.1.6 Diberikan dua pemetaan φ : A → B dan χ : B → C. Didefinisikan pemetaan komposisi χ ◦ φ : A → C oleh def

χ ◦ φ(a) = χ(φ(a)), ∀a ∈ A.

•X

Contoh 1.1.13 Misalkan φ : Z → 2Z diberikan oleh φ(n) = 2n, ∀n ∈ Z dan misalkan χ : 2Z → 10Z diberikan oleh χ(m) = 5m, ∀m ∈ 2Z. Didapat χ ◦ φ(n) = χ(φ(n)) = χ(2n) = 5 · 2n = 10n. Catatan bahwa, pemetaan φ, χ dan χ ◦ φ adalah pemetaan satu-satu pada.



Contoh 1.1.14 Misalkan φ : R → R dan χ : R → R diberikan oleh φ(x) = 2x dan χ(x) = x2 untuk semua x di R. Komposisi χ ◦ φ : R → R dan φ ◦ χ : R → R diberikan oleh χ ◦ φ(x) = χ(φ(x)) dan φ ◦ χ(x) = φ(χ(x)) untuk semua x ∈ R. Didapat, χ(φ(x)) = χ(2x) = (2x)2 = 4x2 dan φ(χ(x)) = φ(x2 ) = 2x2 . Terlihat bahwa χ ◦ φ , φ ◦ χ. Perlu diperhatikan bahwa, walaupun φ satu-satu pada tak-satupun dari pemetaan χ, χ ◦ φ dan φ ◦ χ adalah satu-satu pada.



Teorema 1.1.1 Diberikan tiga pemetaan φ : A → B, χ : B → C dan ψ : C → D. Maka (1) Assosiatif : ψ ◦ (χ ◦ φ) = (ψ ◦ χ) ◦ φ. (2) Bila φ dan χ keduanya adalah satu-satu, maka χ ◦ φ satu-satu. (3) Bila φ dan χ keduanya adalah pada, maka χ ◦ φ pada. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

11

Himpunan dan Fungsi..

Bukti (1) Untuk sebarang x ∈ A, didapat ψ ◦ (χ ◦ φ)(x) = = = =

ψ((χ ◦ φ)(x)) ψ(χ(φ(x))) (ψ ◦ χ)(φ(x)) (ψ ◦ χ) ◦ φ(x).

Terlihat bahwa ψ ◦ (χ ◦ φ) = (ψ ◦ χ) ◦ φ. (2) Diberikan sebarang x, y ∈ A yang memenuhi χ ◦ φ(x) = χ ◦ φ(y), ditunjukkan bahwa x = y. Didapat χ(φ(x)) = χ(φ(y)). Karena χ satu-satu, maka haruslah φ(x) = φ(y). Juga karena φ satu-satu, maka haruslah x = y. Dengan demikian χ ◦ φ adalah satu-satu. (3) Diberikan sebarang z ∈ C, karena χ pada dapat dipilih y ∈ B yang memenuhi χ(y) = z. Tetapi φ adalah pada, maka dapat dipilih x ∈ A yang memenuhi φ(x) = y. Sehingga didapat χ(y) = χ(φ(x)) = z atau (χ ◦ φ)(x) = z. Jadi bila diberikan sebarang z ∈ C selalu dapat dipilih x ∈ A yang memenuhi (χ ◦ φ)(x) = z. X Hal ini berarti bahwa χ ◦ φ adalah pada.



Definisi 1.1.7 Untuk sebarang himpunan A , ∅ didefinisikan suatu pemetaan identitas ρ0 : A → A oleh ρ0 (x) = x, ∀x ∈ A. X



Proposisi 1.1.2 Misalkan A adalah sebarang himpunan tak-kosong dan ρ0 : A → A adalah pemetaan identitas. Maka (1) ρ0 adalah satu-satu pada. (2) Untuk sebarang himpunan B dan sebarang pemetaan φ : A → B, didapat φ ◦ ρ0 = φ. (3) Untuk sebarang pemetaan φ : B → A, didapat ρ0 ◦ φ = φ Bukti (1) Diberikan sebarang y ∈ A (kodomain) dan karena ρ0 pemetaan identitas, maka dapat dipilih x ∈ A (domain) yaitu x = y sehingga ρ0 (x) = x = y. Jadi ρ0 adalah pada. Selanjutnya bila a, b ∈ A (domain) yang memenuhi ρ0 (a) = ρ0 (b). Didapat a = b. Jadi ρ0 adalah satu-satu. Dengan demikian ρ0 adalah satu-satu pada. (2) Diberikan sebarang a ∈ A, didapat φ ◦ ρ0 (a) = φ(ρ0 (a)) = φ(a). Terlihat bahwa φ ◦ ρ0 = φ. (3) Diberikan sebarang b ∈ B, didapat ρ0 ◦ φ(b) = ρ0 (φ(b)) = φ(b). Terlihat bahwa X ρ0 ◦ φ = φ.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

12

Pendahuluan..

Contoh 1.1.15 Misalkan φ : Z → 3Z didefinisikan oleh φ(n) = 3n, ∀n ∈ Z. Selanjutnya m perhatikan bahwa pemetaan χ : 3Z → Z yang didefinisikan oleh χ(m) = , ∀m ∈ 3Z. 3 3n = n. Terlihat bahwa χ ◦ φ adalah pemetaan identitas pada Maka χ ◦ φ(n) = χ(φ(n)) = 3 m m Z. Juga, φ ◦ χ(m) = φ(χ(m)) = φ( ) = 3 = m. Terlihat bahwa φ ◦ χ adalah pemetaan 3 3 identitas.



Definisi 1.1.8 Misalkan φ : A → B. Maka pemetaan φ dikatakan mempunyai invers bila ada suatu pemetaan φ−1 : B → A sedemikian hingga φ−1 ◦ φ adalah pemetaan identitas pada A dan φ ◦ φ−1 adalah pemetaan identitas pada B. Pemetaan φ−1 dinamakan invers dari φ. X



Teorema 1.1.2 Misalkan φ : A → B mempunyai invers. Maka (1) Ada dengan tunggal invers φ−1 terhadap φ. (2) Invers dari φ−1 adalah φ, yaitu (φ−1 )−1 = φ. Bukti (1) Misalkan ada dua pemetaan χ : B → A dan ψ : B → A dengan χ ◦ φ = ψ ◦ φ = ρA0 dan ρA0 pemetaan identitas pada A dan φ ◦ χ = φ ◦ ψ = ρB0 , ρB0 adalah pemetaan identitas pada B. Maka χ = χ ◦ ρB0 = χ ◦ (φ ◦ ψ) = (χ ◦ φ) ◦ ψ = ρA0 ◦ ψ = ψ.

•X

(2) Jelas dari definisi invers.

Contoh 1.1.16 Misalkan φ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} didefinisikan oleh φ(1) = 2, φ(2) = 4, φ(3) = 3, φ(4) = 1 atau diberikan oleh sebelah kiri Gambar 1.6. Maka φ−1 didefinisikan 1

1

1

1

2

2 3

2

2

3

3

4

4

4

3 4

Gambar 1.6: Diagram Fungsi

oleh φ−1 (1) = 4, φ−1 (2) = 1, φ−1 (3) = 3, φ−1 (4) = 2, atau diberikan oleh sebelah kanan Gambar 1.6.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

13

Himpunan dan Fungsi..

Contoh 1.1.17 Misalkan φ : R → R≥ , dengan R≥ = {x ∈ R | x ≥ 0} adalah himpunan bilangan riil tak-negatif dan φ(x) = |x|, ∀x ∈ R. Perlu diperhatikan bahwa pemetaan φ adalah pada, tetapi tidak satu-satu. Sebab φ(−2) = φ(2) = 2. Juga pemetaan φ tidak mempunyai invers sebab pasangan dari 2 ∈ R≥ terhadap φ−1 tidak tunggal, yaitu φ−1 (2) = −2 dan φ−1 (2) = 2.



Contoh 1.1.18 Misalkan φ : Z → Z didefinisikan oleh φ(n) = 5n, ∀n ∈ Z. Catatan bahwa pemetaan φ satu-satu tetapi tidak pada. Sebab 7 , 5n untuk setiap n ∈ Z dan pemetaan φ tidak punya invers sebab 6 ∈ Z (kodomain) tidak punya kawan di domain Z, yaitu φ−1 (6) tidak terdefinisi.



Teorema 1.1.3 Misalkan φ : A → B dan χ : B → C adalah dua pemetaan. Maka

(1) pemetaan φ mempunyai invers bila dan hanya bila φ satu-satu pada.

(2) Bila masing-masing φ dan χ mempunyai invers, maka χ ◦ φ mempunyai invers dan (χ ◦ φ)−1 = φ−1 ◦ χ−1 . Bukti

(1) (⇒) Misalkan φ−1 : B → A ada. Maka untuk sebarang a, b ∈ A dan φ(a) = φ(b) didapat a = φ−1 (φ(a)) = φ−1 (φ(b)) = b. Terlihat bahwa pemetaan φ adalah pada. Selanjutnya, diberikan sebarang b ∈ B, maka φ(φ−1 (b)) = b. Jadi dapat dipilih a = φ−1 (b) di A yang memenuhi φ(a) = b. Jadi φ adalah pada. Dengan demikian φ adalah satu-satu pada. (⇐) Misalkan φ adalah satu-satu pada. definisikan pemetaan τ : B → A sebagai berikut. Untuk sebarang b ∈ B, τ(b) adalah elemen a ∈ A yang memenuhi φ(a) = b (sebab φ adalah pada). Dan, karena φ satu-satu, maka hanya ada tepat satu a ∈ A. Jadi τ terdefinisi secara baik. Selanjutnya, dari definisi τ didapat φ(τ(b)) = b untuk sebarang b ∈ B, juga τ(φ(a)) = a. Jadi τ = φ−1 dengan demikian φ punya invers.

(2) Asumsikan bahwa maasing-masing φ dan χ mempunyai invers. Maka dari (1) φ dan χ adalah satu-satu pada. Dengan menggunakan Teorema 1.1.1 χ ◦ φ adalah satu-satu pada. Lagi, dengan menggunakan hasil (1) χ ◦ φ mempunyai invers. Sehingga didapat (φ−1 ◦ χ−1 ) ◦ (χ ◦ φ) = φ−1 ◦ (χ−1 ◦ χ) ◦ φ = φ−1 ◦ ρB0 ◦ φ = φ−1 ◦ φ = ρA0 .

Terlihat bahwa φ−1 ◦ χ−1 = (χ ◦ φ)−1 .

•X

Definisi 1.1.9 Diberikan dua himpunan A dan B, maka A dan B mempunyai kardinalitas yang sama, yaitu |A| = |B| bila dan hanya bila ada suatu pemetaan satu-satu pada φ : A → B. X



Contoh 1.1.19 Dua himpunan berhingga mempunyai kardinalitas sama bila dan hanya bila banyaknya elemen kedua himpunan tersebut sama. Juga, |Z| = |2Z| = |nZ| untuk sebarang bilangan bulat n ≥ 1, sebab pemetaan φ : Z → nZ didefinisikan oleh φ(x) = nx, ∀x ∈ Z adalah pemetaan satu-satu pada.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

14

Pendahuluan..

Latihan Latihan 1.1.1 Tentukan apakah pemetaan yang berikut ini pemetaan satu-satu atau bukan dan berikan alasannya. 1. φ : R → R, dengan φ(x) = 5x + 3, ∀x ∈ R. 2. φ : R → R, dengan φ(x) = ex , ∀x ∈ R.

3. φ : R → R, dengan φ(x) = x3 , ∀x ∈ R.

4. φ : Z → Z, dengan φ(n) = n2 , ∀n ∈ Z.

5. φ : Q∗ → Q∗ , dengan Q∗ adalah himpunan semua bilangan rasional tak-nol dan φ(n/m) = m/n, ∀n/m ∈ Q∗ . 6. φ : R+ → R+ , dengan R+ adalah himpunan semua bilangan riil positip dan φ(x) = x4 , ∀x ∈ R.

7. φ : Z × Z∗ → Q, dengan Z∗ adalah himpunan semua bilangan bulat tak-nol dan φ(m, n) = m/n, ∀x ∈ R. X



Latihan 1.1.2 Tentukan apakah pemetaan berikut pada atau tidak, jelaskan jawaban saudara. 1. φ : R+ → R, dengan φ(x) = ln x, ∀x ∈ R.

2. φ : R → R, dengan φ(x) = x2 − 4, ∀x ∈ R.

3. φ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}, φ adalah sebarang pemetaan satu-satu.

•X

Latihan 1.1.3 Apakah pemetaan berikut mempunyai invers atau tidak, berikan alasannya. 1. φ : R → R, dengan φ(x) = |x + 1|, ∀x ∈ R.

2. φ : R → R, dengan φ(x) = (5x + 3)/2, ∀x ∈ R. 3. Diberikan pemetaan

φ : {1, 2, 3, . . . , n} → {1, 2, 3, . . . , n},

•X

dengan φ(i) = i + 2 untuk 1 ≤ i ≤ n − 2 dan φ(n − 1) = 1, φ(n) = 2.

Latihan 1.1.4 Diberikan dua pemetaan φ : A → B dan χ : B → C. Tunjukkan bahwa

(a) Bila χ ◦ φ adalah pada, maka χ harus juga pada.

(b) Bila χ ◦ φ adalah satu-satu, maka φ harus juga satu-satu.

•X

Latihan 1.1.5 Tunjukkan bahwa bila himpunan A adalah berhingga dan |A| = n, maka |A × A| = n2 . X





Latihan 1.1.6 Tunjukkan bila |A| = |B| dan |C| = |D|, maka |A × C| = |B × D|. X c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

15

Relasi Ekivalen dan Partisi..

1.2 Relasi Ekivalen dan Partisi Gagasan relasi ekivalen pada himpunan memainkan peran penting dalam berbagai konstruksi dalam aljabar. Seperti yang akan terlihat di bagian ini. Relasi ekivalen pada himpunan menentukan partisi dari himpunan menjadi potongan-potongan yang tidak tumpang tindih, dan sebaliknya setiap partisi tersebut menentukan relasi ekivalen pada himpunan tersebut. Contoh 1.2.1 Pada himpunan Z, diberikan relasi ∼ didefinisikan oleh kondisi a ∼ b bila dan hanya bila a − b dapat dibagi oleh 5 untuk setiap a, b ∈ Z. Perlu diperhatikan bahwa, relasi ∼ mempunyai sifat berikut: 1. Untuk setiap bilangan bulat a, didapat a − a = 0, jadi a − a dapat dibagi oleh 5. Dengan demikian a ∼ a. 2. Untuk setiap a, b ∈ Z, a − b = −(b − a). Jadi bila a ∼ b yang berarti bahwa a − b dapat dibagi 5, maka juga b − a dapat dibagi 5. Dengan demikian b ∼ a. 3. Untuk a, b, c ∈ Z, bila a ∼ b dan b ∼ c, maka a − b = 5n dan b − c = 5m untuk beberapa m, n ∈ Z. Didapat a − c = (a − b) + (b − c) = 5n + 5m = 5(n + m), terlihat bahwa a ∼ c. Selanjutnya diambil 8 ∈ Z, diselidiki himpunan semua bilangan bulat x yang memenuhi x ∼ 8, yaitu [8]∼ = {x ∈ Z | x ∼ 8} ⊂ Z. Perhatikan bahwa 8 − 3 = 5. Jadi 8 ∼ 3 dan berdasarkan sifat (3), maka x ∼ 3. Juga berdasarkan sifat (2), maka 3 ∼ 8. Jadi bila x ∼ 3, maka x ∼ 8. Jadi x ∼ 8 bila dan hanya bila x ∼ 3 atau bila dan hanya bila x − 3 = 5k atau ekivalen x = 2 + 5k untuk beberapa bilangan bulat k. Dengan demikian [8]∼ = 3 + 5Z adalah himpunan semua bilangan bulat yang dapat diungkapkan sebagai jumlah dari 3 dan kelipatan 5.



Contoh 1.2.2 Bila P(Z) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari Z dan relasi pada P(Z) didefinisikan sebagai berikut: diberikan sebarang S, T ∈ P(Z), S ∼ T bila dan hanya |S| = |T|. Tetapi |S| = |T|, berarti bahwa ada pemetaan φ : S → T dengan φ adalah satu-satu pada. Selanjutnya dibahas sifat dari relasi ∼: 1. Untuk sebarang S ∈ P(Z), pilih φ pemetaan identitas pada S. Sebagaimana telah dibahas pemetan ini adalah satu-satu pada. Jadi S ∼ S. 2. Untuk sebarang S, T ∈ P(Z), bila S ∼ T dapat dipilih pemetaan satu-satu pada φ : S → T. Maka dengan menggunakan Teorema 1.1.2 dan 1.1.3 pemetaan invers φ−1 : T → S adalah satu-satu pada. Jadi T ∼ S. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

16

Pendahuluan..

3. Untuk sebarang S, T, U ∈ P(Z), bila S ∼ T dan T ∼ U, maka dapat dipilih pemetaan satu-satu pada φ : S → T dan χ : T → U. Dengan menggunakan Teorema 1.1.3 didapat pemetaan komposisi χ ◦ φ : S → U adalah satu-satu pada. Dengan demikian S ∼ U.



Definisi 1.2.1 Suatu relasi pada suatu himpunan tak-kosong S adalah himpunan bagian R ⊂ S×S. Bila R adalah suatu relasi pada S penulisan aRb mempunyai arti (a, b) ∈ R. Jadi R adalah suatu relasi ekivalen bila tiga kondisi berikut dipenuhi, yaitu untuk semua a, b, c ∈ S 1. Refleksif aRa. 2. Simetri Bila aRb, maka bRa. 3. Transitif Bila aRb dan bRc, maka aRc. Bila R adalah relasi ekivalen pada S, maka untuk sebarang a ∈ S, klas ekivalen dari a def

adalah himpunan [a]R = {b ∈ S | aRb}.

•X

Relasi yang diberikan dalam Contoh 1.2.1 dan 1.2.2 adalah relasi ekivalen. Contoh 1.2.3 Diberikan S , ∅, relasi sama dengan = didefinisikan oleh himpunan bagian {(x, x) | x ∈ S} ⊂ S × S adalah suatu relasi ekivalen.



Berikut ini diberikan beberapa sifat penting dari relasi ekivalen yang sering digunakan dalam pengkonstruksian secara aljabar. Teorema 1.2.1 Misalkan ∼ adalah suatu relasi ekivalen pada suatu himpunan takkosong S dan a, b ∈ S adalah sebarang elemen di S. Maka (1) a ∈ [a]∼ . (2) Bila a ∈ [b]∼ , maka [a]∼ = [b]∼ . (3) [a]∼ = [b]∼ bila dan hanya bila a ∼ b. (4) Salah satu [a]∼ = [b]∼ atau [a]∼ ∩ [b]∼ = ∅ Bukti (1) Dari sifat refleksif, maka a ∼ a. Jadi a ∈ [a]∼ . (2) Bila a ∈ [b]∼ . Maka dari definisi klas ekivalen didapat b ∼ a. Dari sifat simetri didapat a ∼ b. Selanjutnya bila x ∈ [a]∼ , maka a ∼ x. Dengan sifat transitif, maka b ∼ x. Jadi x ∈ [b]∼ . Terlihat bahwa [a]∼ ⊆ [b]∼ . Dengan cara yang sama, bila y ∈ [b]∼ , maka b ∼ y. Dengan menggunakan sifat transitif didapat a ∼ y dan y ∈ [a]∼ . Jadi [b]∼ ⊆ [a]∼ . Dengan demikian [a]∼ = [b]∼ . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

17

Relasi Ekivalen dan Partisi..

(3) (⇒) Misalkan [a]∼ = [b]∼ . Dari (1) didapat b ∈ [b]∼ . Jadi b ∈ [a]∼ , hal ini berarti bahwa a ∼ b. (⇐) Misalkan a ∼ b. Maka b ∈ [a]∼ . Dengan menggunakan hasil (2) didapat [a]∼ = [b]∼ . (4) Andaikan bahwa [a]∼ ∩ [b]∼ , ∅. Hal ini berarti bahwa ada beberapa c ∈ [a]∼ dan c ∈ [b]∼ . Dengan menggunakan hasil (2), maka [c]∼ = [a]∼ dan [c]∼ = [b]∼ . Jadi [a]∼ = [b]∼ . X



Hasil Teorema 1.2.1 bagian (4) menyatakan bahwa dua klas ekivalen, maka kalau tidak sama pasti irisan keduanya kosong dan sebaliknya kalau irisannya tidak kosong pasti keduanya sama. Hal ini berarti bahwa relasi ekivalen adalah suatu partisi yang membagi klas ekivalen berbeda kedalam klas yang saling asing (irisannya kosong). Relasi ekivalen sangat berguna dalam pengkontruksian secara aljabar. Pada contoh berikut, bukannya memulai dengan relasi ekivalen tetapi mempartisi himpunan. Dimulai dengan mempartisi satu himpunan dan menggunakan partisi untuk mendefinisikan relasi ekivalen. Contoh 1.2.4 Diberikan himpunan bilangan riil R, misalkan [1] = {x ∈ R | 0 ≤ x − 1 < 1}. Himpuna [1] adalah interval [1, 2) ⊂ R. Dengan cara yang sama, untuk sebarang bilangan bulat n, misalkan [n] = {x ∈ R | 0 ≤ x − n < 1} = [n, n + 1). Catatan bahwa, untuk sebarang bilangan bulat i , j didapat [i] ∩ [j] = ∅ dan untuk setiap bilangan riil x ∈ R, x ∈ [n] dimana n adalah bilangan bulat terbesar sehingga n ≤ x. Jadi R dibagi kedalam klas yang saling asing. Bila didefinisikan suatu relasi ∼ pada R oleh x ∼ y bila dan hanya bila x ∈ [n] dan y ∈ [n], maka dapat ditunjukkan bahwa ∼ adalah suatu relasi ekivalen pada R.



Definisi 1.2.2 Misalkan S adalah himpunan tak-kosong. Suatu partisi dari S terdiri dari suatu himpunan koleksi K = {Pi | Pi ⊆ S} dari himpunan bagian tak-kosong dari S yang memenuhi S (1) S = Pi . i

(2) Untuk sebarang Pi dan P j dalam himpunan koleksi K, maka salah satu yang terjadi Pi = P j atau Pi ∩ P j = ∅. Himpunan bagian Pi dalam koleksi K dinamakan sel dari partisi.

•X

Sekarang sampai pada Teorema utama yang menghubungkan relasi ekivalen dengan partisi, generalisasi dari apa yang telah dibahas dalam Contoh 1.2.4. Teorema 1.2.2 Misalkan S adalah himpunan tak-kosong (1) Diberikan relasi ekivalen ∼ pada S, koleksi dari klas ekivalen terhadap ∼ adalah suatu partisi. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

18

Pendahuluan..

(2) Diberikan suatu partisi {Pi } dari S, ada suatu relasi ekivalen pada S yang mempunyai klas ekivalen adalah tepat merupakan sel dari partisi. Bukti (1) Diberikan suatu relasi ekivalen ∼ pada S. Dari Teorema 1.2.1 bagian (1) didapat a ∈ [a]∼ untuk S setiap a ∈ S. Dengan menggunakan Teorema 1.2.1 bagian (4) didapat S = [a]∼ . a∈S

(2) Diberikan suatu partisi {Pi } didefinisikan suatu relasi ∼ oleh: a ∼ b bila dan hanya bila a ∈ Pi dan b ∈ Pi . Dari Definisi 1.2.2 bagian (1) didapat sebarang a ∈ S berada pada beberapa sel dalam partisi, tentunya a berada pada sel yang sama dengan dirinya sendiri. Jadi a ∼ a. Bila a ∼ b, maka a dan b berada pada sel yang sama dalam partisi. Hal ini sama artinya b dan a berada pada sel yang sama dalam partisi. Jadi b ∼ a. Bila a ∼ b dan b ∼ c, maka a dan b berada pada sel yang sama Pi juga b dan c berada pada sel yang sama P j . Karena b ∈ Pi ∩ P j , maka dengan menggunakan Definisi 1.2.2 bagian (2) didapat Pi = P j . Jadi a dan c berada pada sel yang sama, dengan demikian a ∼ c. Selanjutnya diberikan a ∈ S, misalkan a ∈ Pi . Maka x ∈ [a]∼ bila dan hanya bila a ∼ x atau bila dan hanya bila a dan x berda pada sel yang sama dalam partisi atau dengan kata lain bila dan hanya bila X x ∈ Pi . Jadi [a]∼ = Pi .



Definisi 1.2.3 Misalkan ∼ adalah suatu relasi ekivalen pada S himpunan semua klas ekivalen pada S terhadap ∼ dinotasikan oleh S/ ∼. Khususnya, masing-masing elemen dari S/ ∼ adalah himpunan bagian dari S. Didefinisikan suatu pemetaan φ : S → S/ ∼ oleh φ(x) = [x]∼ , ∀x ∈ S. Pemetaan φ dinamakan pemetaan kanonik dari S ke S ∼. X



Contoh 1.2.5 Misalkan S = {1, 2, 3, 4} dan ∼ adalah relasi ekivalen pada S yang diberikan oleh 1 ∼ 3, 2 ∼ 4 dan pasangan lain yang beralasi diberikan oleh sifat refleksif dan simetri. Maka ada dua elemen di S/ ∼ yaitu {1, 3} dan {2, 4} sehingga didapat φ(1) = φ(3) = {1, 3} dan φ(2) = φ(4) = {2, 4}.



Latihan Latihan 1.2.1 Tentukan apakah relasi berikut adalah relasi ekivalen pada himpunan yang diberikan. Bila ya, uraikan klas ekivalennya. 1. Dalam R, a ∼ b bila dan hanya bila |a| = |b|. 2. Dalam R, a ∼ b bila dan hanya bila a ≤ b. 3. Dalam Z, a ∼ b bila dan hanya bila a − b adalah genap. 4. Dalam R, a ∼ b bila dan hanya bila |a − b| ≤ 1. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

19

Sifat-sifat dari Z..

5. Dalam Z, a ∼ b bila dan hanya bila a = b + beberapa kelipatan dari 3. 6. Dalam R × R − {(0, 0)}, (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) bila dan hanya bila x1 y2 = x2 y1 . 7. Dalam R × R, (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) bila dan hanya bila x21 + y21 = x22 + y22 .



8. Dalam R × R, (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) bila dan hanya bila 3y1 − 5x1 = 3y2 − 5x2 . X

Latihan 1.2.2 Dalam R, diberikan interval (n, n + 2] dimana n adalah bilangan bulat genap. Tunjukkan bahwa koleksi dari interval-interval tersebut adalah suatu partisi dari R. Selanjutnya uraikan relasi ekivalen yang ditentukan oleh partisi tersebut. X



Latihan 1.2.3 Dalam bidang R × R terangkan mengapa pendefinisian (x1 , y1) ∼ (x2 , y2 ) X bila dan hanya bila x1 y2 = x2 y1 tidak memberikan relasi ekivalen.



Latihan 1.2.4 Diberikan sebarang bilangan bulat n yang tetap. Didefinisikan relasi pada Z, a ∼ b bila dan hanya bila a − b dapat dibagi oleh n. Tunjukkan relasi tersebut adalah X relasi ekivalen pada Z dan uraikan klas ekivalennya.



Latihan 1.2.5 Misalkan φ : S → T adalah sebarang pemetaan dan didefinisikan suatu relasi ∼ pada S oleh a ∼ b bila dan hanya bila φ(a) = φ(b). Tunjukkan bahwa ∼ adalah X suatu relasi ekivalen.



1.3 Sifat-sifat dari Z Pada bagian ini dibahas beberapa sifat dasar bilangan bulat, banyak yang akan menjadi penting kemudian dalam mengidentifikasi contoh berbagai jenis struktur aljabar, dimana Z akan memainkan peran penting bagi suatu model dasar. Bahasan dimulai dengan sifat relasi urutan biasa pada Z kemudian beralih ke sifat-sifat yang melibatkan operasi yang sudah dikenal penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Akhirnya, diperkenalkan struktur aljabar baru terkait erat dengan bilangan bulat, yang disebut bilangan bulat mod n untuk setiap bilangan bulat n > 1.

Terurut Secara Baik dan Induksi Elemen-elemen himpunan bilangan bulat positip N dapat ditulis dalam urutan menaik dengan tanda pertaksamaan berulang, yaitu 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ··· Misalkan S ⊂ N dengan S , ∅ dan n ∈ N. Dari bilangan bulat berikut 1, 2, 3, . . . , n dapat dipilih satu yang merupakan elemen terkecil yang berada di S. Secara intuisi didapat aksiomatik berikut. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

20

Pendahuluan..

Aksiomatik 1 (Prinsip Keterurutan Secara Baik dalam N) Setiap himpunan bagian S ⊂ N dengan S , ∅ mempunyai suatu elemen terkecil di S, yaitu elemen pertama di S setelah elemen-elemennya diurutkan secara menaik.  2 Sering dalam membuktikan beberapa teorema atau membangun beberapa struktur diinginkan memilih elemen positip terkecil dari himpunan tak-kosong yang diberikan. Prinsip keterurutan secara baik menyatakan bahwa elemen tersebut dijamin ada. Terkait erat dengan prinsip keterurutan secara baik ada prinsip lain yaitu induksi matematika, yang sama pentingnya dalam bukti dan konstruksi. Digunakan prinsip keterutan secara baik untuk membuktikan prinsip dari induksi matematika sebagaimana diberikan berikut. Teorema 1.3.1 (Prinsip dari Induksi Matematika) Misalkan P(n) adalah pernyataan tentang suatu bilangan bulat positip n sedemikian hingga (1) P(1) adalah benar. (2) Bila P(k) adalah benar, maka P(k + 1) adalah benar. Maka P(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positip n. Bukti Dibuktikan melalui kontradiksi. Andaikan ada bilangan bulat positip n yang memenuhi P(n) tidak benar. Maka dari itu ada himpunan semua bilangan bulat positip S = {n > 0 | P(n) tidak benar}. Selanjutnya menggunakan prinsip keterutan secara baik, maka S harus mempunyai suatu elemen terkecil misalkan m. Berikutnya dari asumsi (1) m tidak akan sama dengan 1, sebab P(1) benar. Jadi m − 1 tetap positip. Karena m − 1 < m dan m adalah bilangan bulat positip terkecil dengan P(m) tidak benar (sebab m ∈ S) dan P(m − 1) adalah benar (sebab m − 1 < S) dan dengan menggunakan asumsi (2), maka P(m) = P((m − 1) + 1) adalah benar. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa P(m) tidak benar. Dengan demikian haruslah P(n) benar untuk semua bilangan bulat positip. X Contoh 1.3.1 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positip n, maka



1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2 . Bukti menggunakan prinsip induksi matematika. Untuk n = 1 didapat 1 = 12 benar. Misalkan benar untuk n = k, didapat 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2k − 1) = k2 benar Selanjutnya ditunjukkan bahwa untuk n = k + 1 akan didapat 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2 . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

21

Sifat-sifat dari Z..

Hal ini dilakukan sebagai berikut 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2k − 1) +(2(k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 . | {z } =k2

Terlihat benar bahwa

1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2 .



Contoh 1.3.2 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ≥ 0, suatu himpunan S dengan |S| = n mempunyai himpunan bagian sebanyak 2n . Untuk membuktikan ini, n = 0 dikeluarkan dulu dari bukti induksi. Untuk n = 0 dibuktikan sebagai berikut. Himpunan yang tidak mempunyai anggota adalah himpunan kosong. Jadi S = ∅ dan banyaknya himpunan bagian adalah S sendiri. Jadi benar bahwa 20 = 1. Selanjutnya untuk n = 1, maka S = {x} dan himpunan bagian dari S adalah: ∅ dan S sendiri. Jadi banyaknya himpunan bagian dari S adalah 2n = 21 = 2. Asumsikan benar bahwa himpunan dengan k elemen mempunyai sebanyak 2k himpunan bagian. Misalkan S sebarang himpunan dengan |S| = k+1 dan a sebarang elemen di S. Selanjutnya misalkan T = S − {a}. Himpunan T mempunyai elemen sebanyak k. Jadi T memenuhi asumsi yaitu mempunyai sebanyak 2k himpunan bagian. Himpunan bagian dari S yang tidak memuat a adalah T mempunyai 2k himpunan bagian. Jadi S mempunyai sebanyak 2k + 2k = 2k+1 himpunan bagian.



Contoh 1.3.3 Untuk sebarang bilangan riil x, y dan sebarang bilangan bulat n ≥ 1 didapat xn+1 − yn+1 = (x − y)(xn + xn−1 y + · · · + xyn−1 + yn ).

Sebagai langkah dasar induksi n = 1 didapat x2 − y2 (x − y)(x + y) adalah jelas benar. Untuk langkah induksi berikutnya, asumsikan bahwa benar   xk − yk = (x − y) xk−1 + xk−2 y + · · · + xyk−2 + yk−1 . Maka didapat i  h  (x − y) xk + xk−1 y + · · · + xyk−1 + yk = (x − y) x(xk−1 + xk−2 y + · · · + yk−1 ) + yk   = x (x − y) xk−1 + xk−2 y + · · · + yk−1 +(x − y)yk | {z } = xk −yk

  = x xk − yk + (x − y)yk = xk+1 − yk+1 .

Terlihat bahwa   xk+1 − yk+1 = (x − y) xk + xk−1 y + · · · + xyk−1 + yk ,

sebagaimana yang diinginkan.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

22

Pendahuluan..

Teorema 1.3.2 Prinsip Induksi (Versi Modifikasi) Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang bergantung pada bilangan bulat positip n yang memenuhi (1) P(1) adalah benar. (2) Bila P(k) benar untuk semua k dengan 1 ≤ k < m, maka P(m) adalah benar. Maka P(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positip n.

Bukti Misalkan bahwa Q(n) adalah pernyataan bahwa P(k) benar untuk semua k dimana 1 ≤ k ≤ n. Ditunjukkan dengan menggunakan prinsip induksi matematika (Teorema 1.3.1) bahwa Q(n) benar untuk semua bilangan bulat positip n. Karena Q(n) berakibat P(n), maka hal ini berakibat P(n) benar untuk semua bilangan bulat positip n. Sebagai langkah dasar, Q(1) adalah pernyataan P(1), adalah benar dari asumsi (1). Untuk langkah induksi berikutnya, asumsikan bahwa Q(m) benar dan dibuktikan bahwa Q(m + 1) benar. Disini Q(m + 1) adalah pernyataan P(k) benar untuk semua k dimana 1 ≤ k ≤ m + 1. Untuk 1 ≤ k ≤ m, P(k) mengikuti Q(m). Sedangkan untuk k = m + 1 X dengan menggunakan asumsi (2) P(m + 1) adalah benar.



Dalam Teorema 1.3.1 pernyataan (1) dan (2) dapat diganti sebagai berikut. Diasumsikan untuk beberapa bilangan bulat positip n0 : (1’) P(n0 ) adalah benar. (2’) Bila P(k) adalah benar untuk semua k, dengan n0 ≤ k < m, maka P(m) adalah benar. Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0 .

Contoh 1.3.4 Misalkan bahwa P(n) adalah pernyataan bahwa 2n + 1 ≤ 2n

Pernyataan P(1) dan P(2) adalah salah sebab 2(1) + 1  21

(n ∈ N).

dan 2(2) + 1  22 .

Apapun itu, P(3) adalah benar sebab 2(3) + 1 = 7 ≤ 23 = 8.

Misalkan bahwa P(k) adalah benar untuk semua k ≥ 3, didapat Hal ini berakibat bahwa

2k + 1 ≤ 2k

(bila k ≥ 3)

2(k + 1) + 1 = 2k + 3 = 2k + 1 + 2 ≤ 2k + 2 ≤ 2k + 2k = 2k+1

(k ≥ 3).

Terlihat bahwa P(k + 1) adalah benar. Akibatnya P(n) adalah benar untuk n ≥ 3. Atau pernyataan 2n + 1 ≤ 2n berlaku untuk semua n ∈ N, dengan n ≥ 3.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



23

Sifat-sifat dari Z..

Contoh 1.3.5 Diberikan dua bilangan riil x dan y, dengan mengalikan bentuk (x + y) berulang kedalam bentuk pangkat didapat: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4 . Hal ini menjadi rumit setelah beberapa saat untuk menghitung semua pangkat dari (x + y).



Untuk menyelesaikan masalah tersebut diberikan teorema berikut. Teorema 1.3.3 (Binomial) Diberikan sebarang dua bilangan riil x dan y, maka untuk setiap bilangan bulat n ≥ 1 didapat ! ! ! ! n n−1 n n−2 2 n n 2 n−2 (x + y) = x + x y+ x y +···+ x y + xyn−1 + yn , 1 2 n−2 n−1 n

n

dimana koefisien binomial diberikan oleh ! n def n! = r!(n − r)! r untuk 0 ≤ k ≤ n. Bukti Untuk n = 1, benar bahwa x + y = x1 + y1 . Asumsikan pernyataan benar untuk k. Didapat (x + y)k+1 = (x + y)(x + y)k = h i   k  2 k−2 k  (x + y) xk + 1k xk−1 y + 2k xk−2 y2 + · · · + k−2 x y + k−1 xyk−1 + yk =   k  3 k−2 k  2 k−1 xk+1 + 1k xk y + 2k xk−1 y2 + · · · + k−2 x y + k−1 x y + xyk +   k  2 k−1 k  xk y + 1k xk−1 y2 + 2k xk−2 y3 + · · · + k−2 x y + k−1 xyk + yk+1 =     k  k−r+1 r xk+1 + [ 1k + 1]xk y + [ 2k + 1k ]xk−1 y2 + · · · + [ kr + r−1 ]x y + · · · + yk+1 . Untuk melengkapi bukti bahwa (x + y)

k+1

=x

k+1

! ! ! ! k+1 k k + 1 k−1 2 k + 1 2 k−1 k+1 k + x y+ x y + ···+ x y + xy + yk+1 1 2 k−1 k

cukup dibuktikan Identitas Pascal ! ! ! k k k+1 + = r r−1 r c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

24

Pendahuluan..

sebagaimana berikut. ! ! k k k! k! + = + r r−1 r!(k − r)! (r − 1)!(k − r + 1)! k!(k − r + 1) + rk! = r!(k − r + 1)! (k + 1)! = (k − r + 1)! ! k+1 = . r

•X

Lengkap sudah bukti.

Contoh 1.3.6 (Segitiga Pascal) Identitas Pascal yang telah dibuktikan mendasari konstruksi dari Segitiga Pascal yang sangat dikenal: 1 1 1 1 1 1 1 k

k 2

1 2

3 4

1 3

6

1 4

5

10

10

k 3

··· ··· ···

1 5 k  k−3

1 k  k−1

k 1

baris ke − 0 baris ke − 1 baris ke − 2 baris ke − 3 baris ke − 4 baris ke − 5 baris ke−k

Algorithma Pembagian Kita semua sudah akrab sejak Sekolah Dasar dengan proses pembagian, yaitu diberikan bilangan bulat a selalu dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari suatu kelipatan bilangan bulat lain yang diberikan yaitu b ≥ 1 ditambah suatu sisa yang lebih kecil dari b. Hal ini akan terlihat pada teorema berikut yang dijamin oleh prinsip keterutan secara baik. Contoh 1.3.7 Berikut ini penyajian hasil dari proses pembagian dari beberapa pasang bilangan bulat. Untuk 84 dan 60 didapat 84 = 1 · 60 + 24. Untuk 924 dan 105 didapat 924 = 8 · 105 + 84. Untuk −10 dan 3 didapat −10 = −4 · 3 + 2. Masing-masing kasus bilangan yang pertama merupakan kelipatan dari bilangan yang kedua tambah suatu bilangan bulat yang lebih kecil dari bilangan yang kedua.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

25

Sifat-sifat dari Z..

Teorema 1.3.4 (Algorithma Pembagian) Misalkan a adalah sebarang bilangan bulat dan b juga sebarang bilangan bulat tetapi b ≥ 1. Maka ada dengan tunggal bilangan bulat q dan r yang memenuhi (1) a = qb + r (2) 0 ≤ r < b. Bukti Misalkan P = {a − kb | k ∈ Z dan a − kb ≥ 0}. Bila a ≥ 0, maka a ∈ P (sebab a = a − 0 · b). Bila a < 0, maka a − 2a · b > 0. Jadi a − 2a · b ∈ P, dengan demikian P , ∅. Gunakan aksiomatik keterurutan secara baik dari bilangan bulat positip didapat: Ada r ∈ P dengan r adalah elemen terkecil. Karena r ∈ P, maka r = a − qb untuk beberapa q ∈ Z atau a = qb + r (memenuhi (1)) dan r ≥ 0. Tinggal menunjukkan bahwa r < b. Andaikan r ≮ b yang berarti r ≥ b, didapat 0 ≤ r − b = (a − qb) − b = a − (q + 1) b ∈ P, | {z } k

tetapi (r − b) < r, ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat positip yang lebih kecil dari r berada di P. Hal ini bertentangan bahwa r adalah elemen terkecil di P. Jadi haruslah r < b. Dengan demikian (2) dipenuhi, yaitu r memenuhi 0 ≤ r < b. Tinggal menunjukkan bahwa q dan r tunggal. Misalkan q1 dan r1 adalah bilangan bulat yang memenuhi a = q1 b + r1 . Didapat a = qb + r = q1 b + r1 , dimana 0 ≤ r < b dan 0 ≤ r1 < b. Maka r1 − r = qb − q1 b = b(q − q1 ), sebagai akibat |r1 − r| = |b(q − q1 )| = |b| |q − q1 | = b|q − q1 |.

(1.1)

Tambahkan dua pertidaksamaan −b < −r ≤ 0 dan 0 ≤ r1 < b, didapat −b < r1 − r < b,

quad |r1 − r| < b.

Berdasarkan Persamaan 1.1, maka b|q − q1 | < b. Sehingga didapat 0 ≤ |q − q1 | < 1. Karena |q − q1 | adalah bilangan bulat positip taknegatip dan memenuhi 0 ≤ |q − q1 | < 1, maka haruslah q − q1 = 0 atau q = q1 . Dengan demikian didapat ❩ q1✚ b + r1 = qb ❙✓ ✚ ❩ ✓ ❙ + r, yaitu r1 = r. Jadi terbukti bahwa q dan r adalah tunggal. X



Bilanga q dalam Teorema 1.3.4 dinamakan hasil bagi sedangkan r dinamakan sisa pada pembagian a dibagi oleh b. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

26

Pendahuluan..

Kesimpulan 1.3.1 Bila a, b ∈ Z dengan b , 0, maka ada tunggal bilangan bulat q dan r yang memenuhi a = qr + b, 0 ≤ r < |b|.

Bukti Mengikuti bukti Teorema 1.3.4, cukup dibuktikan untuk kasus b adalah negatif. Maka |b| > 0 atau |b| ≥ 1. Dengan demikian menurut Teorema 1.3.4 ada dengan tunggal bilangan bulat q1 dan r yang memenuhi a = q1 |b| + r,

0 ≤ r < |b|.

Karena |b| = −b, maka bisa diplih q = −q1 , sehingga didapat a = q1 |b| = (−q)(−b) + r = qb + r,

•X

0 ≤ r < |b|.

Definisi 1.3.1 Diberikan dua bilangan bulat a dan b, dengan a , 0 dikatakan bahwa a adalah pembagi dari b ditulis a | b, bila b = ac untuk beberapa bilangan bulat c. Bila a tidak membagi b, maka ditulis a ∤ b. Catatan bahwa dibolehkan bahwa a ≤ 0 dalam X definisi ini.



Beberapa akibat langsung dari Definisi 1.3.1 diberikan dalam teorema berikut. Teorema 1.3.5 Diberikan a, b, c ∈ Z. Maka 1. a | 0, 1 | a, a | a, 2. a | ±1 bila dan hanya bila a = ±1, 3. bila a | b, maka ac | bc, 4. bila a | b dan b | c, maka a | c, 5. a | b dan b | a bila dan hanya bila a = ±b, 6. bila c | a dan c | b, maka c | (ax + by) untuk setiap x, y ∈ Z. Bukti Sebagai latihan.

•X

Definisi 1.3.2 Diberikan dua bilangan bulat a dan b, suatu bilangan bulat d yang memenuhi kondisi d | a dan d | b dinamakan suatu pembagi persekutuan dari a dan b. X



Contoh 1.3.8 Bilangan bulat 252 dan 180 mempunyai pembagi persekutuan positip: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 dan 36. Tidak ada bilangan bulat positip yang lebih besar dari 36 yang merupakan pembagi persekutuan dari 252 dan 180.



Pada pembahasan berikutnya akan sering tertarik untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

27

Sifat-sifat dari Z..

Definisi 1.3.3 Diberikan dua bilangan bulat a dan b keduanya taknol, pembagi persekutuan terbesar dari a dan b adalah suatu bilangan bulat d ≥ 1 yang memenuhi (1) d | a dan d | b. (2) Untuk sebarang bilangan bulat c, bila c | a dan c | b, maka c | d. Dalam hal ini ditulis d = fpb(a, b).

•X

Secara ringkas, fpb(a, b) adalah bilangan bulat terbesar di dalam himpunan dari semua pembagi persekutuan terbesar dari a dan b. Suatu pertanyaan yang wajar adalah apakah bilangan bulat a dan b bisa mempunyai pembagi-pembagi persekutuan terbesar yang berbeda. Untuk menjawab pertanyaan ini, misalkan ada dua bilangan bulat positip d dan d1 yang merupakan fpb(a, b). Maka berdasarkan Definisi 1.3.3 bagian (2) didapat d | d1 juga d1 | d. Dengan demikian, berdasarkan Teorema 1.3.5 bagian (5), maka d = ±d1 . Karena d dan d1 keduanya adalah bilangan bulat positip, maka d = d1 . Jadi bila fpb(a, b) ada, maka keberadaannya adalah tunggal. Algorithma pembagian beserta aplikasi yang lain dari prinsip keterurutan secara baik, menjamin keujudan dari fpb(a, b), sebagaimana diberikan oleh teorema berikut. Teorema 1.3.6 Misalkan a dan b adalah bilangan bulat keduanya taknol. Maka (1) d = fpb(a, b) ada (exist). (2) Ada bilangan bulat u dan v yang memenuhi d = ua + vb. Bukti Misalkan S = {xa+ yb | x, y ∈ Z dan xa+ yb ≥ 1}. Karena S sebab aa+bb ∈ S. Dengan menggunakan prinsip keterurutan secara baik S mempunyai elemen terkecil d. Karena d ∈ S didapat d = sa + tb untuk beberapa ts, t ∈ Z dan d ≥ 1. Bila k adalah suatu pembagi persekutuan dari a dan b, maka a = uk dan b = vk untuk beberapa u, v ∈ Z. Didapat d = sa + tb = (su + tv)k, yaitu k membagi d. Selanjutnya ditunjukkan bahwa d = fpb(a, b), hanya diperlukan d pembagi persekutuan dari a dan b. Gunakan algoritma pembagian didapat a = qd + r dengan 0 ≤ r = a − qd = a − q(sa + tb) = (1 − qs)a + (−qt)b < d. Karena d elemen terkecil di S, maka tidak akan r ≥ 1. Jadi haruslah r = 0. dengan demikian a = qd atau d adalah pembagi dari a. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa X d juga pembagi dari b. Dengan demikian sudah terbukti bahwa d = fpb(a, b).



Teorema 1.3.6 bagian (1) menjamin keujudan dari fpb(a, b), sedangkan pada bagian (2) menyatakan bahwa fpb(a, b) dapat diungkapkan sebagai suatu kombinasi linier dari a dan b yaitu ua + vb. Mungkin pada awal yang terlihat saat ini kurang menarik, namun nanti pada kenyataannya ternyata sangat berguna.

Contoh 1.3.9 Apa yang diberikan dalam contoh ini menggambarkan bagaimana menghitung faktor persekutuan terbesar untuk kasus sederhana. Faktor persekutan terbesar c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

28

Pendahuluan..

dari 84 dan 60 didapat dengan berulang kali menerapkan algoritma pembagian, sebagai berikut: 84 = 1 · 60 + 24 60 = 2 · 24 + 12 24 = 2 · 12 + 0. Dari persamaan ke-3 terlihat bahwa 12 | 12 dan 12 | 24. Sehingga berakibat pada persamaan ke-2 yaitu 12 | 60. Dan karena 12 | 24 dan 12 | 60, maka persamaan ke-1 berakibat 12 | 84. Jadi 12 adalah pembagi persekutuan dari 84 dan 60. Bila selain 12, d′ juga pembagi persekutuan dari 84 dan 60, maka dari persamaan pertama d′ | 60 dan d′ | 24. Sehingga dari persamaan kedua berakibat d′ | 24 dan d′ | 12. Jadi 12 = fpb(86, 60).



Proposisi 1.3.1 (Algorithma Euclide) Untuk sebarang pasangan bilngan bulat a dan b ≥ 1 dapat dilakukan penghitungan fpb(a, b) dengan melakukan algoritma pembagian secara berulang sebagai berikut: a = q1 b + r1 b = q2 r1 + r2 r1 = q3 r2 + r3 .. .

dimana 0 ≤ r1 < b dimana 0 ≤ r2 < r1 dimana 0 ≤ r3 < r2 ,

berhenti ketika diperoleh sisa pembagian sama dengan nol: rn−3 = qn−1 rn−2 + rn−1 rn−2 = qn rn−1 + rn rn−1 = qn+1 rn + 0.

dimana 0 ≤ rn−1 < rn−2 dimana 0 ≤ rn < rn−1

Sisa pembagian terakhir taknol rn = fpb(a, b). Metoda perhitungan fpb(a, b) ini dinamakan Algorithma Euclide. Bukti Hasil akhir sisa pembagian adalah nol, dengan menggunakan prinsip keterutan secara baik berakibat bahwa himpunan semua sisa yang positip harus mempunyai suatu elemen terkecil. Karena barisan sisa pembagian positip r1 > r2 > r3 > · · · adalah barisan turun, maka sisa pembagian positip terkecil adalah sisa pembagian terakhir, yang mana sisa pembagian berikutnya adalah nol. Dalam hal ini rn adalah sisa pembagian positip yang terakhir, maka fpb(a, b) = fpb(b, r1 ) = fpb(r1 , r2 ) = · · · = fpb(ri−1 , ri ) = · · · = fpb(rn−2 , rn−1 ) = fpb(rn−1 , rn ) = rn .

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

29

Sifat-sifat dari Z..

Contoh 1.3.10 Hitung fpb(924, 105). Perhitungan dilakukan sebagai berikut: 924 = 8 · 105 + 84 105 = 1 · 84 + 21 84 = 4 · 21 + 0. Jadi fpb(924, 105) = 21. Dari persamaan kedua didapat 21 = 105 − 84. Dari persamaan yang pertama didapat 84 = 924 − 8 · 105. Gabungkan hasil pertama dengan kedua didapat 21 = 105 − (924 − 8 · 105) = -1 · 924 + 9 · 105.

Terihat bahwa fpb adalah sebagai suatu kombinasi linier u ·924+ v ·105 dimana u = −1 dan v = 9.



Catatan, bilangan bulat u dan v yang memenuhi fpb(a, b) = ua + vb adalah tidak tunggal. Misalnya, bila a = 90 dan b = 252, maka fpb(90, 252) = 18 = (3)90 + (−1)252. dan fpb(90, 252) = 18 = (3 + 252)90 + (−1 − 90)252 = (255)90 + (−91)252.

Teorema Dasar Aritmatika Konsekuensi lain yang penting dari algoritma pembagian dan prinsip keterutan secara adalah setiap bilangan bulat n > 1 dapat ditulis sebagai produk dari bilangan prima, yaitu bilangan bulat yang tidak dapat ditulis sebagai produk dengan cara taktrivial. Contoh 1.3.11 Misalkan dihitung fpb(385, 48) sebagai berikut: 385 = 8 · 48 + 1 48 = 48 · 1 + 0. Terlihat bahwa fpb(385, 48) = 1, dengan kata lain bilangan bulat positip yang terbesar dan hanya satu bilangan ini yaitu 1 yang bisa membagi 385 dan 48.



Definisi 1.3.4 Dua bilangan bulat a dan b dikatakan prima relatif bila fpb(a, b) = 1 dengan kata lain pembagi persekutuan positip dari a dan b hanya bilangan bulat 1. Suatu bilangan bulat p > 1 dinamakan prima bila pembagi positipnya adalah 1 dan X dirinya sendiri.



Proposisi berikut sebagai akibat dari Teorema 1.3.6 bagian (2). Proposisi 1.3.2 Misalkan a dan b adalah prima relatif dan c adalah suatu bilangan bulat. Maka c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

30

Pendahuluan..

(1) Sebarang pembagi persekutuan dari a dan bc adalah suatu pembagi persekutuan dari a dan c. (2) Bila a membagi bc, maka a membagi c. (3) Bila a dan c adalah prima relatif, maka a dan bc prima relatif. Bukti Misalkan fpb(a, b) = 1 dan misalkan d | a dan d | bc. Maka, dengan menggunakan Teorema 1.3.6 didapat 1 = sa + tb untuk beberapa bilangan bulat s dan t, juga a = dx dan b = dy untuk beberapa bilangan bulat x dan y. Dengan demikian didapat c = c · 1 = c(sa + tb) = acs + bct = dxcs + dyt = d(xcs + yt), terlihat bahwa d | c sebagaimana dibutuhkan untuk membuktikan (1). Misalkan bahwa a | bc, maka bc = ad′ untuk beberapa bilangan bulat d′ dan c = c · 1 = c(sa + tb) = acs + bct = acs + ad′ t = a(cs + d′ t), terlihat bahwa a | c sebagaimana diharapkan bukti bagian (2). Dari (1), d adalah pembagi persekutuan dari a dan bc dan juga pembagi persekutuan dari a dan c. Bila a dan b adalah prima relatif, maka fpb(a, c) = 1 = d. Hal ini berakibat juga fpb(a, bc) = 1. Jadi a dan bc adalah prima relatif. X



Sebagai akibat langsung adalah kesimpulan penting berikut. Kesimpulan 1.3.2 (Lemma Euclide) Misalkan b dan c adalah bilangan bulat. Bila p adalah prima dan p | bc, maka p | b atau p | c. Bukti Jika p | b, maka tidak ada yang perlu dibuktikan. Jika tidak p | b, maka fpb(p, b) = 1. Hal ini berakibat bahwa 1 = xp + yb untuk beberapa bilangan bulat x dan y. Dari 1 = xp + yb didapat c = xpc + ybc. Jelas bahwa p | xpc dan p | ybc (hipotisis bahwa p | bc). Jadi p | c. X



Contoh 1.3.12 Adalah sangat penting dalam Lemma Euclid bahwa p adalah prima. Misalkan sebagai mana diketahui bahwa 6 membagi 3 · 4 = 12 tetapi 6 ∤ 3 dan 6 ∤ 4.



Untuk membuktikan Teorema Fundamental Aritmatika dibutuhkan Lemma Euclide dalam suatu bentuk yang lebih umum, sebagaimana kesimpulan berikut. Kesimpulan 1.3.3 Misalkan b1 , b2 , . . . , br adalah bilangan bulat. Bila p adalah prima dan p | b1 , b2 , . . . , br , maka p | bi untuk beberapa i, dengan 1 ≤ i ≤ r. Bukti Digunakan induksi matematika pada r. Untuk r = 1, jelas dipenuhi. Kasus r = 2 adalah Lemma Euclide. Selanjutnya misalkan pernyataan benar untuk r = k dan p | (b1 , b2 , . . . , bk )bk+1 . Gunakan Kesimpulan 1.3.2 (Lemma Euclide), didapat salah satu dari p | bk+1 hal ini sebagaimana diinginkan atau p | b1 , b2 , . . . , bk , dengan menggunakan hipotesis induksi p | bi untuk beberapa i, dengan 1 ≤ i ≤ k. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

31

Sifat-sifat dari Z..

Teorema 1.3.7 (Fundamental Aritmatika) Misalkan n adalah suatu bilangan bulat dengan n > 1. Maka (1) n adalah salah satu dari prima atau suatu produk dari prima. (2) Faktorisasi dari n dalam suatu produk dari prima adalah tunggal, kecuali untuk urutan primanya. Yaitu, bila n = p1 p2 · · · pr dan n = q1 q2 · · · qs , yang mana pi dan q j adalah prima, maka r = s dan, bila perlu dengan melakukan pengurutan kembali didapat pi = qi untuk semua i. Bukti Untuk membuktikan (1) dan (2) digunakan induksi matematika pernyataan benar untuk n ≥ 2. (1) Untuk n = 2, pernyataan (1) dipenuhi, sebab 2 adalah prima. Untuk membuktikan (1) dipenuhi untuk n, asumsikan bahwa (1) benar untuk sebarang bilangan bulat k dengan 2 ≤ k < n. Bila n adalah prima adalah sebagaimana diinginkan. Bila n bukan prima, pilih bilangan bulat u dan v dengan 1 < u, v < n yang memenuhi uv = n. Dengan hipotesis induksi masing-masing u dan v salah satu dari prima atau bisa dituliskan sebagai produk dari prima. Didapat, n = uv dapat dituliskan sebagai produk dari prima. (2) Untuk n = 2, pernyataan (2) jelas dipenuhi, sebab 2 adalah prima yang tidak bisa dituliskan sebagai produk prima yang lainnya yang lebih besar dari 2. Jadi untuk membuktikan n memenuhi pernyataan (2) diasumsikan (2) dipenuhi untuk sebarang k dimana 2 ≤ k < n. Misalkan n = p1 p2 · · · pr = q1 q2 · · · qs . Terlihat bahwa p1 | n, maka p1 | q1 q2 · · · qs . Dengan menggunakan Kesimpulan 1.3.3 didapat p1 | qi untuk beberapa i dengan 1 ≤ i ≤ s. Bila diperlukan, dilakukan pengurutan kembali pada qi sehingga q j ini menjadi q1 . Dengan demikian didapat p1 | q1 . Karena q1 prima haruslah p1 = q1 . Selanjutnya misalkan k = n/p1 = n/q1 < n, didapat k = p2 · · · pr = q2 · · · qs . Lakukan lagi proses hipotesis induksi secara berulang. Dengan demikian didapat banyaknya bilangan prima pada masing-masing faktor harus sama, yaitu r − 1 = s − 1, akibatnya r = s. Jadi pi , 2 ≤ i ≤ r dan q j , 2 ≤ j ≤ r harus sama kecuali hanya pada urutannya. X



Terema Fundamental Aritmatika yang baru saja dibuktikan berakibat bahwa diberikan sebarang bilangan bulat n > 1, maka n dapat ditulis sebagai produk pa11 pa22 · · · pakk , c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

32

Pendahuluan..

dimana pi adalah bilangan prima berbeda untuk masing-masing i dan, pi ini dan pangkatpangkatnya ai adalah tunggal. Bila bilangan-bilangan bulat dituliskan dalam cara tersebut, maka mudah untuk memperoleh pembagi persekutuan terbesaranya, sebagaimana diberikan oleh contoh berikut. Contoh 1.3.13 Sebagaimana telah dibahas dalam Contoh 1.3.10, fpb(924, 105) = 21. Tetapi 924, 105 dan 21 dapat difaktorkan kedalam bentuk pangkat dari bilangan prima sebagai berikut: 924 = 22 · 31 · 71 · 111

105 = 31 · 51 · 71

21 = 31 · 71 .

Sekedar untuk membandingkan, ditulis lagi 924 = 22 · 31 · 50 · 71 · 111 105 = 20 · 31 · 51 · 71 · 110 21 = 20 · 31 · 50 · 71 · 110 . Terlihat bahwa yang mana saja pangkat pada bilangan prima dalam faktorisasi 21 lebih kecil dari pangkat pada bilangan prima yang sama dalam faktorisasi dari 924 dan 105. Sebaliknya, bila diambil pangkat-pangkat yang lebih besar, maka didapat bilangan 22 · 31 · 51 · 71 · 111 = 4620. Sebagaiman telah diketahui bahwa 21 adalah pembagi persekutuan terbesar dari 924 dan 105, sebaliknya 4620 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 924 dan 105.



Definisi 1.3.5 Diberikan dua bilangan bulat n dan m keduanya taknol, kelipatan persekutuan terkecil dari n dan m adalah bilangan bulat l ≥ 1 yang memenuhi (1) n | l dan m | l. (2) Untuk sebarang bilangan bulat k, bila n | k dan m | k, maka l | k. Dalam hal ini ditulis l = kpk(n, m). Proposisi 1.3.3 Diberikan

•X

2

k

n = pa11 pa22 · pakk dan m = pb11 pb2 · · · pbk , dimana pi bilangan prima berbeda dan ai , bi ≥ 0, maka (1) fpb(n, m) = pc11 pc22 · · · pckk , dimana ci = min{ai , bi }, (2) kpk(n, m) = pd11 pd22 · · · pdk k , dimana di = max{ai , bi }, (3) kpk(n, m) · fpb(n, m) = nm. Bukti Sebagai latihan.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

33

Sifat-sifat dari Z..

Bilangan Bulat modulo n Untuk mengakhiri bagian ini dibahas kembali topik relasi ekivalen. Yaitu relasi ekivalen yang khusus pada Z yang mana sifat-sifat Z ini telah dibahas sebelumnya. Definisi 1.3.6 Misalkan n > 0 adalah sebarang bilangan bulat tetapi tetap. Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b adalah kongruen mod n ditulis a≡b bila n | (a − b). Proposisi 1.3.4

mod n

•X

(1) Relasi kongruen mod n adalah suatu relasi ekivalen pada Z (2) Relasi ekivalen tersebut mempunyai tepat sebanyak n klas ekivalen yaitu nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ. (3) Bila a ≡ b mod n dan c ≡ d mod n, maka a + c ≡ b + d mod n

ac ≡ bd

mod n.

(4) Bila a dan n prima relatif, maka ab ≡ ac

mod n berakibat b ≡ c mod n.

Bukti (1) Untuk semua a, b, c ∈ Z didapat a ≡ a mod n sebab n | 0 = (a − a). Selanjutnya, bila a ≡ b mod n, maka n | (a − b) = −(b − a). Jadi b ≡ a mod n. Berikutnya, bila a ≡ b mod n dan b ≡ c mod n, maka n | (a−b) dan n | (b−c). Jadi n | ((a−b)+(b−c)) = (a−c). Terlihat bahwa n | (a − c) atau a ≡ c mod n. (2) Untuk sebarang a ∈ Z, misalkan [a]n adalah klas ekivalen dari a ∈ Z. Dengan menggunakan algoritma pembagian didapat a = qn + r untuk beberapa q, r ∈ Z dengan 0 ≤ r < n. Terlihat bahwa a ≡ r mod n. Jadi [a]n = [r]n . Jadi hanya ada n klas ekivalen yaitu: 0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ. Semuanya berbeda, sebab untuk r dan s dengan 0 ≤ r, s < n didapat n | (r − s) bila dan hanya bila r = s. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

34

Pendahuluan..

(3) Bila a ≡ b mod n dan c ≡ d mod n, maka n | (a − b) dan n | (c − d). Didapat n | ((a − b) + (c − d)) = (a + c) − (b + d).

Terlihat bahwa a + b ≡ b + d mod n. Juga

n | (c − b) ⇒ n | (ac − bd).

Terlihat bahwa ac ≡ bd mod n.

(4) Bila a dan n prima relatif dan ab ≡ ac mod n, maka

n | (ab − ac) = a(b − c),

•X

berdasarkan Proposisi 1.3.2 bagian (2), maka n | (b−c). Jadi b ≡ c mod n.

Contoh 1.3.14 Diberikan himpunan klas kongruen mod 5, yaitu Z5 = {[0]5 , [1]5 , [2]5 , [3]5 , [4]}.

Proposisi 1.3.4 menjamin bahwa bila [r1 ]5 = [r2 ]5 dan [s1 ]5 = [s2 ]5 , maka [r1 +s1 ] = [r2 +s2 ]. Dengan demikian bahwa dapat didefinisikan operasi tambah oleh [r]5 + [s]5 = [r + s]5 . Dengan cara yang sama didapat [r1 s1 ]5 = [r2 s2 ]5 . Dengan demikian dapat didefinisikan operasi perkalian oleh [r]5 [s]5 = [rs]5 . Hasil operasi tambah dan perkalian pada Z5 diberikan oleh tabel berikut. Tabel 1: + [0]5 [0]5 [0]5 [1]5 [1]5 [2]5 [2]5 [3]5 [3]5 [4]5 [4]5

Penjumlahan mod 5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5 [2]5 [3]5 [4]5 [0]5 [3]5 [4]5 [0]5 [1]5 [4]5 [0]5 [1]5 [2]5 [0]5 [1]5 [2]5 [3]5

× [0]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5

Tabel 2: Perkalian mod 5 [0]5 [1]5 [2]5 [3]5 [0]5 [0]5 [0]5 [0]5 [0]5 [1]5 [2]5 [3]5 [0]5 [2]5 [4]5 [1]5 [0]5 [3]5 [1]5 [4]5 [0]5 [4]5 [3]5 [2]5

[4]5 [0]5 [4]5 [3]5 [2]5 [1]5



Definisi 1.3.7 Untuk sebarang n > 0, misalkan Zn = {[0]n , [1]n , [2]n , . . . , [n − 1]n }

adalah himpunan klas kongruen mod n. Sebagaimana pada contoh sebelumnya, Proposisi 1.3.4 menjamin bahwa operasi penjumlahan dan perkalian mod n [r]n + [s]n = [r + s]n dan [r]n [s]n = [rs]n adalah terdefinisi secara baik di Zn , karena bila [r1 ]n = [r2 ]n dan [s1 ]n = [s2 ]n di Zn , maka [r1 ]n + [s1 ]n = [r1 + s1 ]n = [r2 + s2 ]n = [r2 ]n + [s2 ]n dan [r1 ]n [s1 ]n = [r1 s1 ]n = [r2 s2 ]n = [r2 ]n [s2 ]n . Himpunan Zn dengan operasi tersebut dinamakan bilangan bulat mod n. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

35

Sifat-sifat dari Z..

Proposisi berikut kumpulan beberapa sifat dasar dari tambah dan perkalian dalam bilangan bulat modulo n. Proposisi 1.3.5 Untuk setiap [r]n , [s]n dan [t]n di Zn didapat (1) Komutatif [r]n + [s]n = [s]n + [r]n

[r]n [s]n = [s]n [r]n .

(2) Assosiatif [r]n + ([s]n + [t]n ) = ([r]n + [s]n ) + [t]n

[r]n ([s]n [t]n ) = ([r]n [s]n )[t]n .

(3) Distributif [r]n ([s]n + [t]n ) = [r]n [s]n + [r]n [t]n . (4) Identitas [0]n + [r]n = [r]n = [r]n + [0]n

[1]n [r]n = [r]n [1]n .

Bukti (1) Komutatif [r]n + [s]n = [r + s]n = [s + r]n = [s]n + [r]n , [r]n [s]n = [rs]n = [sr]n = [s]n [r]n . (2) Assosiatif [r]n + ([s]n + [t]n ) = = = =

[r]n + ([s + t]n ) [r + (s + t)]n = [(r + s) + t]n ([r + s]n ) + [s]n ([r]n + [s]n ) + [t]n ,

[r]n ([s]n [t]n ) = [r]n ([st]n ) = [r(st)]n = [(rs)t]n = ([rs]n )[t]n = ([r]n [s]n )[t]n . (3) Distributif [r]n ([s]n + [t]n ) = = = = =

[r]n ([s + t]n ) [r(s + t)]n [rs + rt]n [rs]n + [rt]n [r]n [s]n + [r]n [t]n .

(4) Identitas [0]n + [r]n = = = =

[0 + r]n [r]n [r + 0]n [r]n + [0]n

[1]n [r]n = [1 · r]n = [r]n = [r · 1]n = [r]n [1]n .

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

36

Pendahuluan..

Contoh 1.3.15 Diberikan Z10 = {[0]10 , [1]10 , . . . , [9]10 }, misalkan himpunan bagian U(10) = {[n]10 ∈ Z10 | kpk(n, 10) = 1} = {[1]10 , [3]10 , [7]10 , [9]10 } Tabel hasil perkalian mod 10 untuk U10 diberikan sebagai berikut: Tabel 3 Perkalian dalam U(10) × [1]10 [3]10 [7]10 [9]10

[1]10 [1]10 [3]10 [7]10 [9]10

[3]10 [3]10 [9]10 [1]10 [7]10

[7]10 [7]10 [1]10 [9]10 [3]10

[9]10 [9]9 [7]10 [3]10 [1]10

Hasil penghitungan Tabel 3, memperlihatkan bahwa bila [r]10 , [s]10 ∈ U(10), maka [r]10 [s]10 ∈ U(10). Alasan ini bisa dilihat pada proposisi berikutnya. Juga, didapat bahwa untuk sebarang [r]10 ∈ U(10) ada suatu [s]10 ∈ U(10) sedemikian hingga [r]10 [s]10 = [1]10 . Alasannya adalah bila fpb(r, 10) = 1, maka menurut Teorema 1.3.6 didapat rs + 10t = 1 untuk beberapa bilangan bulat s dan t. Hal ini berarti bahwa rs ≡ 1 mod 10 atau [rs]10 = [r]10 [s]10 = [1]10 . Definisi 1.3.8 Diberikan Zn dan



U(n) = {[u]n ∈ Zn | fpb(u, n) = 1} ⊂ Zn . Elemen-elemen di U(n) dinamakan unit mod n.

•X

Proposisi 1.3.6 Untuk sebarang [r]n , [s]n ∈ U(n) didapat [r]n [s]n ∈ U(n). Bukti Bila [r]n , [s]n ∈ U(10), maka fpb(n, s) = kpk(n, r) = 1. Dengan menggunakan Proposisi 1.3.2 bagian (3) didapat fpb(n, rs) = 1. Dengan demikian [rs]n ∈ U(10) atau X [r]n [s]n ∈ U(10).



Proposisi 1.3.7 Untuk sebarang [r]n ∈ U(n) ada suatu [s]n ∈ U(n) yang memenuhi [r]n [s]n = [1]n . Bukti Bila [r]n ∈ U(n), maka fpb(n, r) = 1. Dengan menggunakan Teorema 1.3.6 didapat rs + nt = 1 untuk beberapa bilangan bulat s dan t. Tetapi hal ini berakibat bahwa rs ≡ 1 mod n atau [rs]n = [1]n . Tetapi sebagaimana telah diketahui [rs]n = [r]n [s]n , dengan X demikian didapat [r]n [s]n = [1]n .



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

37

Sifat-sifat dari Z..

Latihan Latihan 1.3.1 Dengan menggunakan induksi matematika pada n buktikan pernyataan berikut. 1. 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)/2

untuk n ≥ 1.

2. 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 3. 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2 (n + 1)2 /4 4. Bila 0 ≤ x ≤ y, maka xn ≤ yn 5. n < 2n

untuk

untuk

n ≥ 1.

untuk n ≥ 1.

untuk

n ≥ 0.

n ≥ 0.

•X

Latihan 1.3.2 Barisan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . didefinisikan oleh F1 = F2 + 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn untuk n ≥ 1. 1. Tunjukkan bahwa (Fn+1 )2 − Fn Fn+2 = (−1)n . 2. Tunjukkan bahwa Fn+1 Fn+2 − Fn Fn+3 = (−1)n . 3. Tunjukkan bahwa Fn < 2n untuk n ≥ 1.

•X

Latihan 1.3.3 Bila a, r ∈ R dan r , 1, tunjukkan bahwa untuk n ≥ 1 memenuhi a + ar + ar2 + · · · + arn = a(1 − rn+1 )/(1 − r). Latihan 1.3.4 Misalkan P(n) adalah pernyataan tentang bilangan bulat positip dan n0 adalah sebarang bilangan bulat positip. Asumsikan (1) P(n0 ) adalah benar. (2) Bila P(k) benar untuk semua k dengan n0 ≤ k < m, maka P(m) benar. Dengan menggunakan prinsip keterurutan secara baik, tunjukkan bahwa P(n) adalah X benar untuk semua n ≥ n0 .



Latihan 1.3.5 Tunjukkan bahwa tiga pernyataan prinsip berikut adalah saling ekivalen satu dengan yang lainnya. (a) Prinsip keterurutan secara baik. (b) Prinsip induksi matematika. (c) Prinsip modifikasi induksi matematika.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

38

Pendahuluan..

Latihan 1.3.6 Tunjukkan bahwa untuk 0 ≥ r ≤ n, maka ! ! n n = r n−r Latihan 1.3.7 Misalkan p adalah bilangan prima dan

•X

(1 + a)p = 1 + c1 a + c2 a2 + · · · + cp−1 ap−1 + ap ,



dengan a ∈ R. Tunjukkan bahwa p | ci untuk semua i, dengan 1 ≤ i ≤ p − 1. X

•X

Latihan 1.3.8 Dalam Contoh 1.3.7, bila p = 11, maka dapatkan c1 , c10, c2 , c9, c4 , c6.

Latihan 1.3.9 Gunakan Algoritma Euclide untuk menghitung kpk(52, 135) dan tulis X hasilnya sebagai kombinasi linier dari 52 dan 135.



Latihan 1.3.10 Misalkan a dan b adalah prima relatif. Tunjukkan bahwa untuk sebarang X bilangan bulat n ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi n = xa + yb.



Latihan 1.3.11 Tunjukkan bahwa a = a′ d dan b = b′ d, dimana d = kpk(a, b), maka kpk(a′ , b′ ) = 1. X





Latihan 1.3.12 Tunjukkan bahwa kpk(a, b) = ab bila dan hanya bila fpb(a, b) = 1. X



Latihan 1.3.13 Dapatkan fpb(9750, 59400) dan kpk(9750, 59400). X

Latihan 1.3.14 Tunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat n3 ≡ n mod 6.

•X

Latihan 1.3.15 Tunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat n bila tidak didapat X n ≡ 0 mod 5, maka didapat n4 ≡ 1 mod 5.



Latihan 1.3.16 Tunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat n, didapat n5 ≡ n X mod 5.



Latihan 1.3.17 Tunjukkan bahwa n adalah bilangan prima bila dan hanya bila dalam Zn , [r]n [s]n = [0]n selalu berakibat [r]0 = [0]n atau [s]n = [0]n . X



Latihan 1.3.18 Tunjukkan bahwa bila fpb(n, r) = 1, maka ada suatu bilangan bulat s X yang memenuhi fpb(n, s) = 1 dan rs ≡ 1 mod n.



Latihan 1.3.19 Bila fpb(m, n) = 1, tunjukkan bahwa untuk sebarang pasangan dua bilangan bulat a dan b ada suatu bilangan bulat x yang memenuhi x ≡ a mod m dan x ≡ b mod n. X



c the author Subiono Aljabar, Copyright: 2016

39

Bilangan Kompleks..

Latihan 1.3.20 (Teorema Sisa Pembagian China) (a) Bila m1 , m2, . . . , ms adalah bilangan bulat yang lebih besar 1 sedemikian hingga sebarang dua dari bilangan tersebut adalah prima relatif, dan bila a1 , a2 , . . . , as adalah sebarang bilangan bulat, tunjukkan bahwa ada suatu bilangan bulat x yang memenuhi x ≡ ai mod mi untuk semua i, dengan 1 ≤ i ≤ s. (Gunakan Latihan 1.3.19). X



(b) Tunjukkan bahwa bila x dan x′ keduanya memenuhi kongruen dalam bagian (a), X maka x ≡ x′ mod M dimana M = m1 m2 · · · ms .



1.4 Bilangan Kompleks Pemahaman mengenai bilangan kompleks akan merupakan suatu yang esensial. Sebagaimana akan terlihat pada bahasan berikut. Dibutuhkan bilangan kompleks untuk mendapatkan semua penyelesaian persamaan polinomial. Ketika diberikan per√ √ 2 2 samaan x −√2 = 0, atau x = 2 penyelesaiannya adalah 2 dan − 2. Ini benar, sebab √ 2 2 ( 2) = (− 2) = 2. Selanjutnya diberikan √persamaan√x2 + 1 = 0 atau √ x = −1 dengan √ cara yang sama √ penyeaiannya adalah −1 dan − −1. Sebab √ ( −1)2 = −1 dan 2 (− −1) = −1. Bila −1 dianggap suatu bilangan, dan ditulis i = −1. Didapat i2 = −1 dan −i2 = −1. Dengan demikian √ dapat dikombinasikan i dengan bilangan yang lain misalnya 2i, i/3, −1 + i dan (1 + 2i)/2. Berikut ini diberikan pernyataan dari apa yang baru saja dibahas. Definisi 1.4.1 Himpunan dari bilangan kompleks dinotasikan oleh C, didifinikan sebagai C = {a + bi | a, b ∈ R dan i2 = −1}. Bila z = a + bi adalah bilangan kompleks, maka a dinamakan bagian riil dari z dan b dinamakan bagian imajiner dari z. X



Setiap bilangan riil a adalah bilangan kompleks dengan bagian imajinernya adalah nol, jadi a = a + 0 · i. Dengan demikian didapat Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Contoh 1.4.1 √Bagian riil dari 4i adalah 0 sedangkan bagian imajinernya√ adalah 4. Bagian riil dari (1 + 2i)/2 adalah 1/2 sedangkan bagian imajinernya adalah 2/2.



Contoh 1.4.2 Memperlakukan a+bi sebagai bilangan, sehingga dapat dilakukan operasi penjumlahan dan perkalian. Asumsikan dengan hukum-hukum yang biasa berlaku pada operasi tersebut dan ingat i2 = −1, maka didapat (4 + 2i) − (1 − 3i) = (4 − 1) + (2 − (−3))i = 3 + 5i (4 + 2i)(1 − 3i) = 4 − 12i + 2i − 6i2 = 10 − 10i.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

40

Pendahuluan..

definisi berikut adalah pernytaan yang lebih tepat. Definisi 1.4.2 Diberikan dua bilangan kompleks z = a + bi dan w = c + di, diddefinisikan tambah dan perkalian dari z dan w oleh z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ∈ C zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ∈ C. Tentunya disini, operasi pada a, b, c dan d adalah operasi sebagaimana biasa dilakukan pada bilangan riil. X



Bila digunakan operasi yang telah didefinisikan tersebut pada bilangan riil, maka bilangan kompleks dengan bagian imajiner nol, z = a+ 0 · i dan w = c + 0 · i didapat z+ w = a+ c dan zw = ac. Tambah dan perkalian bilangan kompleks adalah sama seperti tambah dan perkalian pada bilangan riil. Dengan kata lain, operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan kompleks adalah perluasan dari operasi yang berkaitan pada bilangan riil. Pengurangan dapat dilakukan dalam cara yang sama: z − w = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i ∈ C. Catatan bahwa, z − w = 0 = 0 + 0 · i bila dan hanya bila a − c = 0 dan b − d = 0 atau bila dan hanya bila a = c dan b = d yang berarti bahwa z = w. Selanjutnya dilakukan pembagian pada C sebagaimana sesuai yang dilakukan pada pembagian di R. Ingat bahwa untuk sebarang pasangan bilangan riil a, b , 0 pembagian a/b dapat dilihat sebagai perkalian dari a · 1/b. Dengan begitu dibutuhkan dulu 1/w dengan w adalah bilangan kompleks taknol. Contoh 1.4.3 Apakah w = 1/(1+2i) adalah suatu bilangan kmpleks? Untuk menghitung sebagai suatu bilangan kompleks harus dapat dituliskan dalam bentuk a + bi. Hal ini dapat dilakukan sebagai berikut: w=

1 1 1 − 2i 1 − 2i 1 2 = · = = − i, 1 + 2i (1 + 2i) (1 − 2i) 1+4 5 5

karena 1/5 dan −2/5 adalah bilangan riil, maka w adalah bilangan kompleks.



Contoh yang baru dibahas, mengisyaratkan bagaimana kasus pembagian yang lain dilakukan. Contoh 1.4.4 Misalkan dihitung w = (3 − 2i)/(5 + 3i). w=

3 − 2i 3 − 2i 5 − 3i 9 − 19i 9 9 = · = = − i. 5 + 3i (5 + 3i) (5 − 3i) 34 34 34



Dalam dua contoh terakhir, telah dihitung (1+2i)(1−2i) = 12 +22 dan (5+3i)(5−3i) = 52 +32. Ungkapan a2 + b2 mempunyai arti geometris sebagai mana diberikan pada bahasan berikut. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

41

Bilangan Kompleks.. Sumbu Imajiner 3i 2i bi i −3

−2

−1

a + bi b

1

2 a 3 Sumbu Riil

−i

−2i −3i

Gambar 1.7: Bidang kompleks C

Definisi 1.4.3 Seperti halnya bilangan riil dapat disajikan sebagai suatu titik pada suatu garis, jadi suatu bilangan kompleks dapat disajikan sebagai titik pada suatu bidang yang dinamakan bidang kompleks. Bilangan kompleks z = a + bi disajikan sebagai titik dengan koordinat (a, b) sebgai mana diberikan dalam Gambar 1.7. Dalam hal ini sumbu-x dinamakan sumbu riil dan sumbu-y dinamakan sumbu imajiner. X



Suatu hal yang berkaitan dengan representasi geometri dari definisi yang telah dibahas adalah: pada bilangan riil, misalkan −2, maka nilai mutlaknya adalah | − 2| = 2. Ini mempunyai arti bahwa jarak titik −2 dari pusat 0 pada garis riil adalah 2. Diperluas pengertian ini pada nilai mutlak |a + bi| adalah jarak dari titik (a, b) dari titik pusat (0, 0) dalam bidang kompleks. Definisi 1.4.4 Untuk sebarang bilangan kompleks z = a + bi, nilai mutlak dari z didifinisikan oleh √ def |z| = |a + bi| = a2 + b2 .



Perlu diperhatikan bahwa, nilai mutlak ini adalah bilangan riil taknegatif. X √ Gunakan definisi ini pada suatu bilangan riil a = a + 0 · i didapat a2 yang sama dengan nilai mutlak sebagaimana biasanya, yaitu sama dengan a bila a ≥ 0 dan −a bila a < 0. √ √ √ √ Contoh 1.4.5 √ Dari definisi, |i| = |(1 + i)/ 2| = |(−1 + 3i)/2| = 1. Titik (0, 1), (1/ 2, 1/ 2) dan (−1/2, 3/2) semuanya terletak pada lingkaran satuan di bidang kompleks.



Definisi 1.4.5 Untuk sebarang bilangan kompleks z = a + bi didefinisikan kompleks konjuget atau singkatnya konjuget dari z oleh def

z = a + bi = a − bi.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

42

Pendahuluan..

Gunakan definisi ini pada bilangan riil a = a + 0 · i didapat a − 0 · i = a. Jadi sebarang bilangan riil mempunyai konjuget dirinya sendiri. Proposisi 1.4.1 (1) Bila z = a + bi sebarang bilangan kompleks, maka zz = |z|2 = |z|2 . (2) Bila w = c + di sebarang bilangan kompleks, maka z zw = . w |w|2 Bukti (1) (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = a2 + (−b)2 a + bi (a + bi) (c − di) ac + bd bc − sd = · = 2 + i. (2) c + di (c + di) (c − di) c + d2 c 2 + d2

•X

Berikutnya digunakan koordinat kutub (polar) dari titik dalam bidang untuk menyajikan bilangan kompleks untuk memfasilitasi penghitungan dalam menyelesaikan persamaan polinomial. Gambar garis dari tititik asal (0, 0) ke titik (a, b) yang merepresenSumbu Imajiner 3i z = a + bi = r(cos θ + i sin θ)

2i bi i

r Sumbu Riil

θ −2

−1

1

2

a 3

−i −2i

Gambar 1.8: Koordinat Polar dari C

tasikan bilangan kompleks z = a + bi sebagaimana diberikan dalam Gambar 1.8. Bila r adalah panjang segmen garis tersebut, maka didapat r2 = a2 + b2 = |z|2 dan r = |z|. Misalkan bahwa θ adalah sudut dari sumbu riil positip ke garis, maka didapat a = r cos θ dan b = r sin θ z = r cos θ + i sin θ = r(cos θ + i sin θ).

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

43

Bilangan Kompleks..

Definisi 1.4.6 Misalkan z adalah suatu bilangan kompleks. maka representasi z = a + bi dinamakan representasi Cartesian dari z, sedangkan z = r(cos θ + i sin θ) dinamakan representasi kutub dari z. X



Catatan, r adalah selalu bilangan riil taknegatif. Jadi, representasi dari −2 adalah 2(cos π + i sin π) Contoh 1.4.6 Representasi kutub dari beberapa bilangan kompleks sebagaimana berikut: i = 1(cos π2 + i sin π2 ) √ √ π 2 2 + i = 1(cos + i sin π4 ) 2 2 4

3π + i sin 3π −i = 1(cos ) 2 2 √ π 1 + i = 2(cos + i sin π4 ). 4



Penulisan bilangan kompleks dalam bentuk kutub memberikan kemudahan dalam berbagai penghitungan, sebagaimana terlihat pada beberapa proposisi berikut. Proposisi 1.4.2 Diberikan dua bilangan kompleks dalam representasi kutub z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) dan z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ), maka z1 z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )). Bukti z1 z2 = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 ((cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 )) X = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ1 )).



Kesimpulan 1.4.1 Diberikan suatu bilangan kompleks z = r(cos θ + i sin θ), maka z2 = r2 (cos 2θ + i sin 2θ). Bukti Gunakan Proposisi 1.4.2 didapat z2 = r2 (cos θ + θ) + i sin(θ + θ)) = r2 (cos 2θ + i sin 2θ). X



Kesimpulan 1.4.2 (Formula De Moivre) Diberikan sebarang bilangan kompleks z = r(cos θ + i sin θ), maka untuk bilangan positip n didapat zn = rn (cos nθ + i sin nθ) Bukti Digunakan induksi matematika, untuk n = 1 jelas. Selanjutnya, misalkan benar untuk k dengan 1 < k < n, maka zk+1 = zk z = rk (cos kθ + i sin kθ) r(cos θ + i sin θ) = rk+1 (cos kθ + i sin kθ)(cos θ + i sin θ) (gunakan Proposisi 1.4.2) = rk+1 (cos (k + 1)θ + i sin (k + 1)θ). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

44

Pendahuluan..

Terlihat bahwa untuk n = k + 1 benar bahwa zk+1 = rk+1 (cos (k + 1)θ + i sin (k + 1)θ), dengan demikian untuk bilangan bulat n > 0 benar bahwa



zn = rn (cos nθ + i sin nθ). X √ Contoh 1.4.7 Diberikan z = 1 − 3i, untuk menghitung z8 , lakukan hal berikut: √ 1. Jadikan z kedalam bentuk kutub. √Didapat r2 = |z|2 = 12 + ( 3)2 = 4 atau r = 2. Jadi z dapat ditulis sebagai z = 2( 21 − 23 i) dan dicari sudut θ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π yang √√   5π 3 1 5π dan z = 2 cos 5π memenuhi cos θ = 2 dan sin θ = − 2 , didapat θ = + i sin . 3 3 3 2. Gunakan formula De Moivre, didapat   40π 40π z8 = 28 cos + i sin 3 3   4π 4π ) + i sin(12π + ) = 256 cos(12π + 3 3   4π 4π = 256 cos + i sin 3 3 √ ! 3 1 i = 256 − − 2 2 √ = −126 − 128 3i.



√ √ Contoh 1.4.8 Hitung i. Misalkan z = i didapat z2 = i. Ubah z kedalam bentuk kutub z = r(cos θ + i sin θ), didapat r2 (cos 2θ + i sin 2θ) = z2 = i = 1(cos

π π + i sin ). 2 2

π π + 2πk, atau θ = + πk untuk beberapa bilangan bulat 2 4 π k. Tetapi diinginkan 0 ≤ θ ≤ 2π, dengan demikian k = 0, 1. Sehingga didapat θ = dan 4 5π 2 . Jadi nilai dari z = i yang memenuhi adalah θ= 4 √  √  π 2 2 π + i = z1 = 1 cos + i sin 4 4 2 2 Jadi r2 = 1 atau r = 1 dan 2θ =

dan

√ √   5π 5π 2 2 z2 = 1 cos + i sin − i. =− 4 4 2 2

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



45

Bilangan Kompleks..

Contoh 1.4.9 Dapatkan penyelesaian dari z3 + 8i = 0. Dalam hal ini dicari bilangan kompleks z = r(cos θ + i sin θ) yang memenuhi   3π 3π 3 3 z = r (cos 3θ + i sin 3θ) = −8i = 8 cos + i sin . 2 2 π 2π 3π + 2πk atau θ = + k, dengan k = 0, 1, 2. 2 2 3 Dengan demikian nilai-nilai θ adalah θ = π2 , 7π , 11π . Jadi nilai z yang memenuhi adalah 6 6

Didapat r3 = 8 atau r = 2 dan 3θ =

π π + i sin ) = 2(0 + i) = 2i, 2 2 √ √ 3 1 7π 7π z2 = 2(cos + i sin ) = 2(0 + i) = 2(− − i) = − 3 − i 6 6 2 2 z1 = 2(cos

dan

√ √ 11π 11π 3 1 z3 = 2(cos + i sin ) = 2(0 + i) = 2( − i) = 3 − i 6 6 2 2 3 Gambar 1.9 menyatakan bahwa tiga penyelesaian dari z +8i = 0 terletak pada lingkaran b

z1 = 2i

2π/3 2π/3 √ z2 = − 3 − i b

2π/3 b

z3 =

√ 3−i

Gambar 1.9: Penyelesaian dari z3 + 8i = 0

jari-jari 2 dengan pusat (0, 0).



Latihan Latihan 1.4.1 Pada latihan berikut ungkapkan bilangan kompleks dalam bentuk a + bi, dimana a, b ∈ R. 1. (2 + 3i) + (7 − 5i) 4. i7 7. i32 10. (3 + 2i)(2 + 5i) 13. (1 + i)/i

2. 3i − (4 − 2i) 4. i12 8. i38 11. (5 − 2i)(3 + 4i) 14. (2 + i)/(1 − i) √ √ Latihan 1.4.2 Hitung |2 − 3i|, |1 + i|, | 2 − 3i|. X



3. (4 − i) − (2 − 3i) 6. i17 9. (−i)5 12. (1 + i)9 X 15.i/(1 + 3i)



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

46

Pendahuluan..

Latihan 1.4.3 Ungkapkan bilangan kompleks berikut dalam bentuk kutub r(cos θ + i sin θ). √ 1. 1 − i 2. − 1 − i 3. − 1 + 3i. X Latihan 1.4.4 Dapatkan semua penyelesaian dari persamaan berikut. 1. z3 = 1 4. z3 = −8

2. z4 = 1 5. z3 = −i

3. z4 = −1 6. z3 = −125i.



•X

Latihan 1.4.5 Dengan menggunakan ekspasi deret dari ex , cos x dan sin x tunjukkan formula Euler eix = cos x + i sin x. X



Latihan 1.4.6 Dengan menggunakan formula Euler pada latihan sebelumnya, tunjukkan X formula De Moivre.



1.5 Matriks Untuk mengakhiri bab pendahuluan ini ditinjau ulang bahasan matriks. Beberapa macam pengertian matriks memberikan suatu hal yang penting sebagaimana diperlukan pada bahasan bab berikutnya. Contoh 1.5.1 Suatu matriks berukuran 2×2 adalah susunan persegi dari empat bilangan bulat, misalnya # " # " −1 2 1 2 atau B = . A= 3 4 0 −4

Suatu matriks berukuran 2 × 3 adalah susunan persegi panjang dengan dua baris dan tiga kolom dari enam bilangan bulat, misalnya. " # " # 1 −1 0 2 1 −1 C= atau D = . 0 3 7 −1 0 5

Dua matriks yang mempunyai bentuk sama dapat dilakukan operasi penjumlahan. Operasi penjumlahan dilakukan pada elemen-elemen yang seletak. Jadi # # " " # " # " 0 4 1 + (−1) 2 + 2 1 2 −1 2 = = A+B= + 0 −4 3 + 0 4 + (−4) 3 0 3 4 dan "

# " # " # " # 1 −1 0 2 1 −1 1 + 2 −1 + 1 0 + (−1) 3 0 −1 C+D= + = = . 0 3 7 −1 0 5 0 + (−1) 3 + 0 7+5 −1 3 12 Dua matriks yang tidak mempunyai bentuk yang sama tidak dapat ditambahkan satu dengan yang lainnya.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

47

Matriks..

Definisi 1.5.1 Suatu matriks A berukuran n × m adalah susunan dari elemen-elemen dalam n baris dan m kolom. Ditulis A = {ai, j }, dimana ai, j adalah elemen dalam baris ke-i kolom ke-j dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ m. X



Definisi 1.5.2 Notasi Mn×m (R) adalah himpunan semua matriks ukuran n × m dengan elemen-elemen di R. Bila n = m, Notasi Mn×n (R) ditulis sebagai M(n, R). Himpunan R bisa Z, Q, R, C atau sebarang Zp dengan p bilanga prima. X



Definisi 1.5.3 Misalkan A = {ai, j } ∈ Mn×m (R) dan B = {bi, j } ∈ Mn×m (R). Jumlah dari A dan B adalah A + B = {ai, j + bi, j } dengan kata lain adalah matriks {ci, j } ∈ Mn×m (R), dimana ci, j = ai, j + bi, j untuk semua i dan j, dimana 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤≤ m. Produk dari suatu X elemen t ∈ R dengan suatu matriks A = {ai, j } didefinisikan oleh matriks tA = {tai, j }.



Perkalian dari dua matriks didifiniskan sebagai berikut.

Definisi 1.5.4 Misalkan A = {ai, j } ∈ Mn×m (R) dan B = {b j,k } ∈ Mm×r (R). Perkalian dari A dan B adalah matriks berukuran n × r yang diberikan oleh matriks AB = {ci,k } ∈ Mn×r (R) dimana ci,k = ai,1 b1,k + ai,2 b2,k + · · · + ai,m bm,k , untuk semua i dan k dengan 1 ≤ n dan 1 ≤ k ≤ r.

•X

Contoh 1.5.2 Diberikan matriks-matriks   # " 2 1    1 2 3   A= , B =  3 7    5 3 4 5 6

Elemen baris ke-1 kolom ke-2 dan baris ke-2 kolom ke-1 matriks perkalian AB diberikan sebagai berikut   #  2 1  " # "  1 2 3   33  3 7  = AB =  5 3 4  43  5 6 (1  1) + (2  7) + (3  6) = 33 (5  2) + (3  3) + (4  6) = 43

Dengan melakukan hal yang serupa didapat # " #  2 1  "  23 33 1 2 3  AB =  3 7  =  39 50 5 3 4  5 6

dan perkalian matriks BA diberikan oleh     2 1  " 1 2 3 #  7 7 10    BA =  3 7  =  38 27 37   5 3 4  5 6 35 28 39 terlihat bahwa AB , BA.



    

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

48

Pendahuluan..

Contoh 1.5.3 Dalam M(n, R) dimana R bisa sebarang dari Z, Q, R, C atau Zp , didapat suatu matriks identitas In dengan elemen diagonal ai,i = 1 untuk semua i dimana 1 ≤ i ≤ n dan semua elemen yang lainnya sama dengan nol yaitu ai, j = 0 bila i , j. Misalnya, matriks identitas   1 0 0   I3 = 0 1 0 .   0 0 1 Mudah diselidiki bahwa diberikan sebarang matriks 3 × 3 yaitu A = {ai, j }, maka AI3 = A = I3 A.



Contoh 1.5.4 Diberikan dua matriks " # 2 1 A= 1 1 Didapat

dan

"

# 1 −1 dan B = . −1 2

" #" # " # 2 1 1 −1 1 0 AB = = 1 1 −1 2 0 1 "

#" # " # 1 −1 2 1 1 0 BA = = . −1 2 1 1 0 1

Terlihat bahwa AB = I2 = BA.



Definisi 1.5.5 Suatu matriks A ∈ M(n, R) mempunyai invers bila ada suatu matriks A−1 ∈ M(n, R) yang memenuhi AA−1 = In = A−1 A. Matriks A−1 dinamakan invers dari A. X



Untuk menentukan matriks invers, perlu diberikan suatu pengertian dari apa yang dinamkan determinan dari suatu matriks. Pembahasan masalah ini hanya dibatasi untuk matriks yang berukuran 2 × 2. Definisi 1.5.6 Diberikan matriks suatu matriks A ∈ M(2, R) oleh " # a b A= , c d determinan dari matriks A didefinisikan sebagai det(A) = ad − bc ∈ R.

•X

Contoh berikut menjelaskan sifat penting hubungan determinan dari dua matriks. Contoh 1.5.5 Diberikan dua matriks " # 3 1 A= 4 2

dan

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

" # 4 5 B= . 1 2

49

Matriks..

Maka det(A) = (3)(2) − (1)(4) = 2 dan det(B) = (4)(2) − (5)(1) = 3. Selanjutnya dihitung " #" # " # 3 1 4 5 13 17 AB = = . 4 2 1 2 18 24 Didapat det(AB) = (13)(24) − (17)(18) = 312 − 306 = 6. Terlihat bahwa det(AB) = 6 = (2)(3) = det(A) det(B). X



Apa yang baru saja dibahas dalam contoh secara lebih general diberikan oleh proposisi berikut. Proposisi 1.5.1 Untuk sebarang matriks A, B ∈ M(2, R) didapat det(AB) = det(A) det(B). Bukti Misalkan

" # a b A= c d

" ′ ′# a b dan B = ′ ′ . c d

Didapat det(A) det(B) = (ad − bc)(a′ d′ − b′ c′ ) = (ada′ d′ + bcb′ c′ ) − (bca′ d′ + adb′ c′ ). Selanjutnya dihitung perkalian # " ′ aa + bc′ ab′ + bd′ . AB = ′ a c + dc′ cb′ + dd′ Didapat det(AB) = = = =

(aa′ + bc′ )(cb′ + dd′ ) − (ab′ + bd′ )(a′ c + dc′ ) ❳✘ ❳✘ ′ ✘ ′ ✘ ′ ✘ ′ ′ ✘ (aa′ dd′ + bc′ cb′ ) + (✘ aa❳ cb❳′ + ✘ bc✘ dd✘′ ) − (✘ ab❳ a❳ c +✘ bd✘ dc✘′ ) − (ab′ dc′ + bd′ a′ c) (ada′ d′ + bcb′ c′ ) − (bca′ d′ + adb′ c′ ) X det(A) det(B).



definisi determinan dan bukti sifat perkalian determinan dapat diperluas untuk matriks berukuran n×n yang mana dapat dijumpai pada buku aljabar linier. Selanjutnya kembali pada matriks berukuran 2 × 2 apa syaratnya suatu matriks ukuran 2 × 2 mempunyai invers? Pertanyaan ini dijawab oleh proposisi berikut. Proposisi 1.5.2 Diberikan matriks " # a b A= c d mempunyai invers bila dan hanya bila det(A) , 0, dan bila det(A) , 0, maka " # 1 d −b −1 . A = det(A) −c a c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

50

Pendahuluan..

Bukti Bila det(A) = 0, maka dengan proposisi sebelumnya det(AB) = det(A) det(B) = 0 · det(B) = 0, sedangkan det(I2 ) = 1. Jadi AB , I2 untuk sebarang matriks B. Dengan demikian A tidak mempunyai invers. Bila det(A) , 0, maka didapat " #" # " # " # 1 1 a b d −b ad − bc 0 1 0 · = · = = I2 . c d −c a 0 ad − bc ad − bc 0 1 det(A) Terlihat A mempunyai invers sebagaimana diberikan oleh A−1 .

•X

Latihan Latihan 1.5.1  4  1. 0  3

Hitung hasil operasi matriks berikut.    " # " # 5  −2 1 i 2i 1 3    −1 +  3 5 di M3×2 (Z) 2. + di M(2, C)    1 0 i 1 −3 3 2

" # " # 1−i 3+i 3i 1 − i 3. + di M(2, C) 0 4 i 2i "

"

# " # i 2i 1 3 4. + di M(2, C) 1 0 i 1

# −1 1 − i 5. i di M(2, C) 1+i i

" # 3 2 6. 2 di M(2, Z5 ) 4 1

" #" # 3 4 4 2 7. di M(2, Z5 ) 4 1 3 4

" #" # 1 i 2i i 8. di M(2, C) i −1 −i 1

"

i 0 9. 0 i

#5

di M(2, C)

"

1 i 10. −i 1

#4

di M(2, C).

Latihan 1.5.2 Hitung determinan matriks berikut. " # " # i 1+i 4 2 1. di C 2. di Z7 2i −i 5 3 " # 5 1 3. di Z7 2 2

" # 10 9 4. di Z11 . 7 8

•X

•X

Latihan 1.5.3 Tentukan matriks berikut punya invers atau tidak. " # " # 1 1 cos θ − sin θ 1. di M(2, Q) 2. di M(2, C) 1 −1 sin θ 3 cos θ "

# i i 3. di M(2, C) i −i c the author Subiono Aljabar, Copyright: 2016

"

# 4 1 4. di M(2, Z5 ). −3 2

•X

51

Matriks..

Latihan 1.5.4 Tunjukkan bahwa bila A, B ∈ M(2, C) mempunyai invers, maka AB juga punya invers. X



Latihan 1.5.5 Dapatkan semua matriks yang punya invers di M(2, Z2 ). Latihan 1.5.6 Dapatkan semua matriks A di M(2, Z3 ) dimana det(A) = 1.

•X •X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

52

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Pendahuluan..

Bagian I Teori Grup

53

Bab

2

Grup Sekarang siap untuk memulai kajian tentang aljabar abstrak. Kata "aljabar" berasal dari judul buku "Hisab al-jabr w’al-muqabala" ditulis oleh Abu Ja’far Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi (790-840). Kata al-jabr sendiri berasal dari akar berbentuk unit dan mengacu pada salah satu metode penyelesaian persamaan kuadrat yang dijelaskan dalam buku tersebut. Buku ini dapat dianggap sebagai risalah pertama pada aljabar. Pembahasan dalam bab ini dimulai dengan konsep grup. Beberapa sumber memberikan kontribusi terhadap munculnya konsep grup abstrak. Pertama, memahami sifat mendalam yang berbeda dari bilangan bulat adalah salah satu yang paling mengasyikan bagi matematikawan kuno. Selanjutnya, mencari solusi untuk persamaan polinomial selama berabad-abad adalah sumber penting lain dari masalah matematika. Akhirnya, kajian tentang transformasi objek geometris memunculkan ide-ide baru dalam pengembangan matematika di zaman modern. Ketiga disiplin matematika teori bilangan, teori persamaan aljabar, dan teori transformasi geometris semuanya berkontribusi untuk pengembangan matematika dimasa kini, yaitu disebut konsep grup abstrak, atau sederhananya disebut grup. Kata grup pertama kali diperkenalkan sebagai suatu istilah teknis dalam matematika untuk menyajikan suatu grup permutasi oleh matematikawan Prancis terkenal Galois yang mempunyai nama lengkap Évariste Galois. Galois berumur tidak panjang. Dia lahir di Bourg-la-Reine pada tanggal 25 Oktober 1811 dan meninggal 31 Mei 1832 kerena suatu perkelahian. Walaupun berumur tidak panjang, hasil kerjanya menempatkan pondasi yang mendasar yaitu teori Galois adalah suatu cabang utama dari aljabar abstrak dan subfield dari keterkaitan Galois. Dalam bab ini akan terlihat bagaimana gagasan grup muncul dalam beberapa situasi yang benar-benar berbeda dan kemudian bagaimana mempelajarinya untuk bekerja dengan grup abstrak. Dalam bab pertama ini konstruksi grup dijadikan sebagai contoh dasar yang digunakan di seluruh bab-bab berikutnya. 55

56

Grup..

2.1 Contoh-contoh dan Konsep Dasar Pada awal bahasan ini diberikan beberapa contoh yang membantu untuk memahami konsep baru yang dikenalkan pada bab ini. Contoh 2.1.1 Dapatkan semua akar dari persamaan f (x) = x3 − 1 di C. Perlu diperhatikan bahwa f (x) dapat difaktorkan menjadi f (x) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).

√ 3i)/2 dan ω2 = Bila digunakan formula untuk persamaan kuadrat didapat ω = (−1 + √ (−1 − 3i)/2 adalah dua akar kompleks dari x2 + x + 1. Jadi akar-akar dari f (x) adalah {1, ω, ω2 }. Catatan bahwa, karena f (ω) = 0, didapat ω3 = 1 dan ω4 = ω. Bila digunakan perkalian bilangan kompleks sebagaimana biasanya, maka didapat tabel perkalian yang diberikan oleh Tabel 2.1. Tabel 2.1: Perkalian dalam {1, ω, ω2 } 1 1 ω ω2

× 1 ω ω2

ω2 ω2 1 ω

ω ω ω2 1



Contoh 2.1.2 Dapatkan semua akar dari f (x) = x4 − 1 di C. Catatan bahwa, f (x) bisa difaktorkan sebagai (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i). Jadi empat akar dari f (x) adalah {1, −1, i, −i}. Bila digunakan perkalian bilangan kompleks sebagaimana biasa, didapat tabel perkalian yang disajikan oleh Tabel 2.2. Tabel 2.2: Perkalian dalam {1, i, −1, −i} × 1 i −1 −i

1 1 i −1 −i

i i −1 −i 1

−1 −1 −i 1 i

−i −i 1 i −1

• c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

57

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

Contoh 2.1.3 Untuk Z3 = {[0]3 , [1]3 , [2]3 }, bila operasi penjumlahan diberlakukan di Z3 , didapat Tabel 2.3. Tabel 2.3: Penjumlahan dalam Z3 [0]3 [0]3 [1]3 [2]3

+ [0]3 [1]3 [2]3

[1]3 [1]3 [2]3 [0]3

[2]3 [2]3 [0]3 [1]3



Contoh 2.1.4 Untuk Z4 = {[0]4 , [1]4 , [2]4 , [3]4 } bila dalam Z4 diberlakukan operasi penjumlahan sebagaimana biasa didapat Tabel 2.4. Tabel 2.4: Penjumlahan dalam Z4 + [0]4 [1]4 [2]4 [3]4

[0]4 [0]4 [1]4 [2]4 [3]4

[1]4 [1]4 [2]4 [3]4 [0]4

[2]4 [2]4 [3]4 [0]4 [1]4

[3]4 [3]4 [0]4 [1]4 [2]4



Bila dari contoh-contoh yang telah dibahas dan diperhatikan bahwa Tabel 2.1 dan Tabel 2.3 mempunyai kesamaan pola atau struktur, kecuali bahwa nama-nama elemennya yang berbeda. Hal yang sama juga terjadi pada Tabel 2.2 dan Tabel 2.4. Contohcontoh yang dibahas ini adalah struktur dari apa yang dinamakan grup. Sebelum diberikan definisi secara formal dari konsep grup, diberikan beberapa contoh lagi yang berbeda. Contoh 2.1.5 Diberikan segitiga sama sisi. Dibahas semua simetri dari segitiga sama sisi atau gerakan dari segitiga yang mempertahankan bentuk. Ada ada enam macam: identitas ρ0 adalah menyatakan segitiga tetap pada posisi semula; ρ menyatakan rotasi 120◦ terhadap pusat segitiga berlawanan arah jarum jam; ρ′ rotasi 240◦ terhadap pusat segitiga berlawanan arah jarum jam. Tiga pencerminan terhadap garis tengah: µ1 , µ2 dan µ3 Hal ini akan lebih memudahkan bila titik sudut segitiga dilabeli sebagaimana diberikan oleh Gambar 2.1. Misalkan S3 adalah himpunan dari enam simetri yaitu S3 = {ρ0 , ρ, ρ′ , µ1 , µ2 , µ3 } c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

58

Grup..

1

1

1

1

ρ0

µ1 2

1

3 2

3

2

3

1

3 3

3

2

µ2

ρ 2

1

3 1

2

2

2

1

3 2

2

1

µ3

ρ′ 2

3 3

1

2

3 1

3

Gambar 2.1: Semua Simetri dari ∆

Elemen-elemen S3 adalah fungsi pada {1, 2, 3}, misalnya ρ(1) = 2, ρ(2) = 3, ρ(3) = 1 dan µ1 (1) = 1, µ1 (2) = 3, µ1 (3) = 2. Selanjutnya bila di S3 diberlakukan operasi komposisi fungsi, misalnya ρ′ adalah hasil melakukan 2 kali ρ yaitu ρ′ = ρρ = ρ2 . Makna µ1 µ2 adalah komposisi fungsi yaitu µ1 (µ2 (x)), ∀x ∈ {1, 2, 3}. Jadi µ1 (µ2 (1)) = µ1 (3) = 2, µ1 (µ2 (2)) = µ1 (2) = 3, µ1(µ2 (3)) = µ1 (1) = 1,

Terlihat bahwa µ1 µ2 = ρ. Selain itu juga didapat µ2 (µ1 (1)) = µ2 (1) = 3, µ2 (µ1 (2)) = µ2 (3) = 1, µ2(µ1 (3)) = µ2 (2) = 2, Terlihat bahwa µ2 µ1 = ρ′ dan µ1 µ2 , µ2 µ1 .



Contoh 2.1.6 Diberikan masalah yang serupa sebelumnya simetri dari persegi. Ada sebanyak 4(2) = 8 simetri. Empat adalah rotasi yang diberikan oleh Gambar 2.2. Empat rotasi dari persegi yang diberikan oleh Gambar 2.2 adalah rotasi persegi masingmasing dirotasi 0◦ , 90◦ , 180◦ dan 270◦ terhadap pusat benda berlawanan arah dengan jarum jam. Perlu diperhatikan bahwa ρ adalah rotasi benda pada pusat berlawanan dengan arah jarum jam sebesar 90◦ dan ρ adalah fungsi pada {1, 2, 3, 4} dengan ρ(1) = 2, ρ(2) = 3, ρ(3) = 4 dan ρ(4) = 1. Dengan demikian rotasi sebesar dua kali 90◦ yaitu 180◦ adalah komposisi ρ2 . Dengan demikian didapat ρ2 (1) = ρ(ρ(1)) = ρ(2) = 3, ρ2 (2) = ρ(ρ(2)) = ρ(3) = 4, ρ2 (3) = ρ(ρ(3)) = ρ(4) = 1 dan ρ2 (4) = ρ(ρ(4)) = ρ(1) = 2. Semetri yang lain dari persegi adalah empat pencerminan yang diberikan oleh Gambar 2.3. Sama halnya pada rotasi, pencerminan juga fungsi pada {1, 2, 3, 4}. Jadi pencerminan pada sumbu horizontal τ diberikan oleh τ(1) = 2, τ(2) = 1 dan τ(3) = 4, τ(4) = 3. Sedangkan pencerminan pada diagonal 2-4 dalam hal ini diberikan oleh komposisi fungsi ρτ, dengan demikian didapat ρτ(1) = ρ(τ(1)) = ρ(2) = 3, ρτ(2) = ρ(τ(2)) = ρ(1) = 2, ρτ(3) = ρ(τ(3)) = ρ(4) = 1 dan ρτ(4) = ρ(τ(4)) = ρ(3) = 4. Himpunan fungsi-fungsi pada persegi yang dibahas tersebut dinotasikan oleh D4. Jadi D4 = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 , τ, ρτ, ρ2τ, ρ3 τ}. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



59

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

1

4

1

4

2 1

3 4

2 4

3 3

2 1

3 4

1

2

3

2

2 1

3 4

4

1

2

1

2

3

3

4

ρ0 = identitas

ρ = rotasi 90◦

2

ρ = rotasi 180



ρ3 = rotasi 270◦

Gambar 2.2: Simetri Rotasi 2

1

4

2

3

2 1

3 4

1 3

4 4

2 1 2 ρ τ = pencerminan pada sumbu vertikal 2 1 3 ρ τ = pencerminan pada diagonal 1-3 2

3 4

2

1

4

1

3 4

3

2

1

2

3

4

3

τ = pencerminan pada sumbu horizontal

ρτ = pencerminan pada diagonal 2-4

Gambar 2.3: Pencerminan dari 2

Semua contoh-contoh yang telah dibahas adalah berkaitan dengan suatu himpunan dan operasi pada himpunan tersebut dengan sifat-sifat yang tertentu sebagaimana didefinisikan berikut. Definisi 2.1.1 Suatu himpunan tak-kosong G bersama dengan suatu operasi ∗ pada G dinamakan grup terhadap operasi ∗ bila memenuhi aksiomatik grup: c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

60

Grup..

(1) Teretutup Untuk setiap a, b ∈ G berlaku a ∗ b ∈ G. (2) Assosiatif Untuk setiap a, b, c ∈ G berlaku a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. (3) Identitas Ada suatu elemen e ∈ G sedemikian hingga untuk semua a ∈ G berlaku a ∗ e = a = e ∗ a. Elemen e dinamakan elemen identitas di G. (4) Invers Untuk setiap a ∈ G ada elemen a−1 ∈ G yang memenuhi a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a. Elemen a−1 dinamakan invers dari elemen a. X



Catatan bahwa, operasi ∗ pada G yang memenuhi (1), juga dinyatakan sebagai fungsi yang diberikan oleh def

∗ : G × G → G, dengan ∗ (a, b) = a ∗ b, ∀(a, b) ∈ G × G. Penghapusan kurung, dikarenakan operasi biner ∗ adalah assosiatif, maka penulisan (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ d ditulis a ∗ b ∗ c ∗ d. Misalkan n > 3 dan g, h ∈ G dengan g = (g1 · · · gi )(gi+1 · · · gn ), h = (g1 · · · g j )(g j+1 · · · gn ) Tanpa mengurangi generalitas, misalkan i ≤ j untuk i = j jelas g = h. Jadi, misalkan i < j , maka kurung dapat disusun sebagai berikut g = (g1 · · · gi )((gi+1 · · · g j )(g j+1 · · · gn )) h = ((g1 · · · gi )(gi+1 · · · g j ))(g j+1 · · · gn ) Misalkan A = (g1 · · · gi ), B = (gi+1 · · · g j ) dan C = (g j+1 · · · gn ), didapat g = A(BC) = (AB)C = h. Kondisi aksiomatik grup dipenuhi oleh semua Contoh 2.1.1 sampai Contoh 2.1.6. Definisi 2.1.2 Suatu grup G dengan operasi ∗ dinamakan grup Abelian atau komutatif X bila untuk setiap a, b ∈ G berlaku a ∗ b = b ∗ a.



Himpunan tak-kosong H dan suatu operasi ∗ pada H ditulis sebagai hH, ∗i. Contoh 2.1.1 sampai Contoh 2.1.4 adalah contoh grup Abelian sedangkan Contoh 2.1.5 dan Contoh 2.1.6 bukan grup Abelian. Contoh 2.1.7 Diberikan hZ, +i adalah grup Abelian, dengan elemen identitas 0 ∈ Z dan untuk setiap a ∈ Z elemen −a adalah invers a.



Contoh 2.1.8 Diberikan h2Z, +i adalah grup Abelian, sebab sebarang dua bilangan bulat genap bila ditambahkan hasilnya juga genap. Lebih general hnZ, +i adalah grup Abelian untuk setiap n ∈ Z.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

61

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

Contoh 2.1.9 Tiga contoh berikut ini hQ, +i , hR, +i dan hC, +i adalah grup komutatif.



Contoh 2.1.10 Himpunan bilangan rasional dengan operasi perkalian hQ, ·i bukan grup. Walaupun sebagian aksiomatik grup dipenuhi, termasuk semua elemen taknol a ∈ Q punya iners 1/a. Elemen 0 tidak punya invers terhadap perkalian.



Contoh 2.1.10 menunjukan bahwa hQ, .i bukan grup tetapi pada Contoh 2.1.9, hQ, +i adalah grup. Hal ini mengisyaratkan bahwa suatu grup ditentukan oleh operasi binernya. Contoh 2.1.11 Misalkan himpunan Q∗ = Q − {0}, maka hQ∗ , ·i adalah grup komutatif. Dengan cara yang sama himpunan R∗ = R − {0}, maka hR∗ , ·i adalah grup komutatif.Himpunan Z, walaupun tampa elemen nol terhadap operasi perkalian bukan grup. Untuk setiap bilangan bulat a , ±1 tidak mempunyai invers di Z.



Contoh 2.1.12 Himpunan Zn = {[0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n } dengan operasi penjumlahan adalah grup komutatif. Setiap a ∈ Zn mempunyai invers n − a.



Contoh 2.1.13 Diberikan himpunan U(n) = {a ∈ Zn | fpb(a, n) = 1} dengan operasi perkalian adalah grup komutatif. Lihat Teorema 1.3.6, Proposisi 1.3.6 dan Proposisi 1.3.7.



Contoh 2.1.14 Pada contoh himpunan semua akar dari polinomial x4 − 1 terhadap perkalian adalah membentuk grup. Faktanya hal ini berlaku untuk himpunan semua akar dari xn − 1, yaitu {1, ω, ω2 , . . . ωn−1 } dimana ω = cos(2π/n) + i sin(2π/n).



Contoh 2.1.15 Himpunan z ∈ C merupakan lingkaran dengan jari-jari satu diberikan oleh S1 = {z ∈ C | |z| = 1} = {cos θ + i sin θ | θ ∈ R},

adalah grup terhadap operasi perkalian bilangan kompleks sebab: Untuk setiap z1 , z2 ∈ S1 , maka z1 = cos θ1 + i sin θ1 dan z2 = cos θ2 + i sin θ2 , didapat z1 z2 = (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ) = cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) ∈ S1 . Terlihat bahwa S1 tertutup terhadap operasi perkalian. Sifat assosiatif sebagai berikut: Untuk z j = cos θ j + i sin θ j ∈ S1 dengan j = 1, 2, 3 didapat (z1 z2 )z3 = = = = = = =

((cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 ))(cos θ3 + i sin θ3 ) (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )(cos θ3 + i sin θ3 ) cos((θ1 + θ2 ) + θ3 ) + i sin((θ1 + θ2 ) + θ3 ) cos(θ1 + (θ2 + θ3 )) + i sin(θ1 + (θ2 + θ3 )) (cos θ1 + i sin θ1 )(cos(θ2 + θ3 ) + i sin(θ2 + θ3 )) (cos θ1 + i sin θ1 )((cos θ2 + i sin θ2 )(cos θ3 + i sin θ3 )) z1 (z2 z3 ). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

62

Grup..

Terlihat dalam S1 berlaku sifat assosiatif. Sifat elemen netral: e = 1 = 1 + i 0 = cos 0 + i sin 0 ∈ S1 dan untuk sebarang z = cos θ + i sin θ ∈ S1 didapat ez = 1(cos θ + i sin θ) = (cos 0 + i sin 0)(cos θ + i sin θ) = cos θ + i sin θ = z dan z e = (cos θ + i sin θ) 1 = (cos θ + i sin θ)(cos 0 + i sin 0) = cos θ + i sin θ = z. Terlihat bahwa e memenuhi kondisi elemen netral dari S1 . Sifat invers, diberikan sebarang z = cos θ+i sin θ ∈ S1 dapat dipilih z−1 = cos(−θ)+i sin(−θ) ∈ S1 yang memenuhi z z−1 = (cos θ + i sin θ)(cos(−θ) + i sin(−θ) = cos 0 + i sin 0 = 1 = e dan z−1 z = (cos(−θ) + i sin(−θ))(cos θ + i sin θ) = cos 0 + i sin 0 = 1 = e. Terlihat bahwa setiap elemen z = (cos θ + i sin θ) ∈ S1 mempunyai invers yang diberikan oleh z−1 = (cos(−θ) + i sin(−θ)) ∈ S1 .



Contoh 2.1.16 Pada Contoh 2.1.6 dibahas grup D4 yaitu grup simetri dari persegi. Dengan cara yang sama dapat dikonstruksi grup simetri untuk segi-n beraturan yang dinamakan grup dihedral Dn . Misalkan untuk n ≥ 3, segi-n beraturan pada bidang-x, y 1

2

n

3

o Gambar 2.4: Segi-n beraturan

dengan pusat di O sebagaimana diberikan oleh Gambar 2.4. Maka bisa diperoleh 2n elemen dari Dn sebagai berikut: Misalkan ρ adalah rotasi pada pusat O berlawanan arah jarum jam sebesar 2π/n radian dan τ adalah pencerminan terhadap sumbu yang melalui pusat O dan titik sudut 1. Maka Dn = {ρ0 , ρ, ρ2 , . . . , ρn−1 , τ, ρτ, ρ2τ, . . . , ρn−1 τ}, dimana ρ0 adalah identitas dan ρτ = τρ−1 .



Pada tiga contoh berikut ini dibahas himpunan matriks berukuran 2 × 2 dengan elemenelemen di R, dalam hal ini R dapat berupa Q, R, C atau Zn . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

63

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

Contoh 2.1.17 Misalkan M(2, R) adalah himpunan semua matriks berukuran 2 × 2 dengan elemen-elemen di R. Maka M(2, R) adalah grup terhadap operasi penjumlahan matriks.



Contoh 2.1.18 Sebagaimana telah dibahas pada Proposisi 1.5.2 suatu matriks A mempunyai invers bila dan hanya bila det(A) , 0. Perlu diperhatikan bahwa, det(AB) = det(A) det(B). Jadi bila A dan B punya invers, maka AB juga punya invers. Misalkan, GL(2, R) adalah himpunan semua matriks berukuran 2 × 2 dengan determinan taknol. Maka GL(2, R) adalah suatu grup terhadap perkalian matriks. matriks identitas dan invers diberikan oleh " # " # " #−1 1 1 0 a b d −b −1 I= dan A = . = 0 1 c d ad − bc −c c Secara umum perkalian matriks tidak komutatif. Jadi GL(2, R) bukan grup komutatif dan dinamakan grup linier umum.



Contoh 2.1.19 Grup Linier Spesial, SL(2, R) adalah himpunan semua matriks berukuran 2 × 2 dengan elemen-elemen di R dan det(A) = ±1. Grup ini bukan grup komutatif.



Dua contoh berikut berkaitan dengan grup berhingga. Contoh 2.1.20 Grup Empat Klein V yang dapat direpresentasikan oleh empat matriks di SL(2, R), yaitu " # " # " # " # 1 0 −1 0 1 0 −1 0 I= , , , . 0 1 0 1 0 −1 0 −1

Bila digunakan tabel hasil perkalian matriks di grup V, maka akan diperoleh suatu pola yang tidak sama pada Contoh 2.1.2 dan 2.1.4.



Contoh 2.1.21 Grup Quaternion Q8 dapat direpresentasikan oelh delapan matriks di SL(2, C), Q8 = {±I, ±i, ±j, ±k}, dimana " # " # " # " # 1 0 i 0 0 1 0 i I= ,i = ,j = ,k = . 0 1 0 −i −1 0 i 0 Karena ij = k dan jk = −k, maka Q8 bukan grup komutatif.

•X

Terdapat tidak banyak sifat-sifat dasar grup yang sudah dapat dilihat dari beberapa contoh yang telah dibahas. Misalnya dalam beberapa kasus terlihat bahwa elemen identitas tunggal dan setiap elemen selalu mempunyai elemen invers tunggal. Hal ini bisa dilihat dalam tabel grup pada Contoh 2.1.1 sampai 2.1.4. Untuk pembahasan berikutnya bila dibahas grup abstrak G penulisan a ∗ b ditulis ab dan hG, ∗i cukup ditulis grup G. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

64

Grup..

Proposisi 2.1.1 Untuk sebarang grup G (1) Elemen identitas dari G tunggal. (2) Untuk setiap a ∈ G invers a−1 adalah tunggal. (3) Untuk sebarang a ∈ G, (a−1 )−1 = a. (4) Untuk sebarang a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1 a−1 . (5) Untuk sebarang a, b ∈ G persamaan ax = b dan ya = b mempunyai penyelesaian tunggal. (6) Untuk sebarang a, bc ∈ G berlaku bila ac = bc, maka a = b dan bila ca = cb, maka a = b. Atau dengan kata lain berlaku hukum kanselasi kanan dan kiri. Bukti (1) Misalkan e dan e′ adalah elemen identitas di G. Didapat ee′ = e′ (sebab e elemen identitas di G). Juga ee′ = e (sebab e′ elemen identitas di G). Terlihat bahwa e′ = e. (2) Bila a′ dan a” adalah invers dari a ∈ G, maka

a′ = a′ e = a′ (aa”) = (a′ a)a” = ea” = a”.

(3) Dari aa−1 = e dan (a−1 )−1 a−1 = e, terlihat bahwa inversnya a−1 adalah a dan juga (a−1 )−1 . Berdasarkan (2) elemen invers adalah tunggal, jadi a = (a−1 )−1 . (4) Dari (b−1 a−1 )(ab) = b−1 (a−1 a)b = b−1 eb = b−1 b = e dengan cara yang sama didapat (ab)(b−1 a−1 ) = e. Terlihat bahawa inversnya (ab) adalah b−1 a−1 , tetapi juga inversnya (ab) adalah (ab)−1 . Kerena invers adalah tunggal, maka b−1 a−1 = (ab)−1 . (5) Untuk a, b ∈ G, persamaan ax = b berakibat a−1 (ax) = a−1 b. Karena a−1 (ax) = (a−1 a)x = ex = x, didapat x = a−1 b. Juga, karena a−1 adalah tunggal, maka x tunggal. Dengan cara yang sama ya = b berakibat y = ba−1 dan y tunggal sebab a−1 tunggal. (6) Dari ac = bc berakibat bahwa (ac)c−1 = (bc)c−1 . Gunankan hukum assosiatif didapat a = c. Juga dengan cara yang sama ca = cb berakibat a = c. Untuk bilangan bulat positip n, penulisan a · a · · · a ditulis an dan a−1 · a−1 · · · a−1 ditulis | {z } | {z } sebanyak n

sebanyak n

0 def

a , sedangkan a = e. Bila operasi pada grup adalah penjumlahan an ditulis na untuk n ∈ Z. −n

Contoh 2.1.22 Dalam grup U = {1, 2, 4, 5, 7, 8} terhadap perkalian mod 9, didapat 2 · 5 = 1, 4 · 7 = 1 dan 8 · 8 = 1.

Terlihat bahwa 5 = 2−1 , 7 = 4−1 dan 8 = 8−1 . Juga, 8−1 = (2 · 4)−1 = 4−1 · 2−1 = 7 · 5 = 8.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

65

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

Contoh 2.1.23 Dalam grupsimetri dari segitiga, S3 Contoh 2.1.5, didapat ρµ1 = µ3 , µ−1 = 1 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 µ1 , ρ−1 = ρ , µ3 = µ3 dan (ρµ1 ) = µ3 = µ3 = µ1 ρ = µ1 ρ .



Contoh berikut membahas bagaimana mengkonstruksi grup abstrak dengan menggunakan suatu tabel grup. Contoh 2.1.24 Diberikan grup abstrak G dengan tiga elemen. Ada berapa banyak tabel grup yang mungkin terjadi? Misalkan grup G = {e, a, b} dengan e , a , b dan e adalah elemen identitas dari G. Karena G adalah grup, maka berlaku aksiomatik tertutup, jadi ab, ba, aa, bb ∈ G. Bila ab = a, maka b = e. Jadi ab , a. Bila ab = b maka a = e. Juga didapat ab , b. Jadi haruslah ab = e, dengan cara yang sama didapat ba = e. Selanjutnya, bila aa = e, maka aa = ab. Dengan hukum kanselasi didapat a = b (tidak mungkin). Jadi aa , e. Bila aa = a, maka a = e (tidak mungkin). Jadi haruslah aa = b. dengan cara yang sama didapat bb = a. Dengan demikian tabel grup yang mungkin diberikan oleh Tabel 2.5. Tabel 2.5: Grup abstrak G, dengan |G| = 3 e e a b

e a b

a a b e

b b e a

Tabel grup dari sebarang grup dengan elemen sebanyak tiga harus mempunyai bentuk Tabel 2.5 walaupun elemen-elemenya berbeda. Hal ini bisa dibandingkan dengan tabel dalam Contoh 2.1.1 dan 2.1.3.



Definisi 2.1.3 Banyaknya elemen dari grup G dinamakan order G dan dinotasikan oleh |G|. Grup G berhingga bila |G| berhingga. X



Jadi Z dan nZ adalah grup dengan order tak-berhingga, sedangkan |U(12)| = 4, |S3 | = 6, |D4| = 8, |V| = 4, |Q8| = 8 dan |Zn | = n adalah grup dengan order berhingga.

Contoh 2.1.25 Fungsi-φ Euler φ(n) untuk bilangan bulat n ≥ 2 didefinisikan sebagai banyaknya semua bilangan positip s dengan 1 ≤ s ≤ n dan fpb(s, n) = 1. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat n ≥ 2 didapat |U(n)| = φ(n) dan utuk bilangan prima p didapat |U(p)| = p − 1 = φ(p).



Latihan Latihan 2.1.1 Tunjukan himpunan G dengan operasi yang diberikan memenuhi aksiomatik dari definisi grup. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

66

Grup..

1. G = 2Z dengan operasi penjumlahan. 2. G = Z5 dengan operasi penjumlahan mod 5. 3. G = U(10) dengan operasi perkalian mod 10. 4. G = C∗ = C − {0} dengan operasi perkalian bilangan kompleks.

•X

5. G = GL(2, Q) dengan operasi perkalian matriks.

Latihan 2.1.2 Buat tabel grup untuk grup yang diberikan berikut dan tentukan komutatif atau tidak. 1. G = S3 (lihat Contoh 2.1.5). 2. G = D4 (lihat Contoh 2.1.6). 3. G = V (lihat Contoh 2.1.20). 4. G = Q8 (lihat Contoh 2.1.21).

•X

Latihan 2.1.3 Tunjukkan bahwa GL(2, Q) tidak komutatif.

•X

Latihan 2.1.4 Tunjukkan bahwa bila G adalah grup komutatif, maka untuk semua a, b ∈ G dan untuk semua bilangan bulat n, (ab)n = an bn . X



Latihan 2.1.5 Dalam S3 dapatkan elemen-elemen a, b sedemikian hingga (ab)2 , a2 b2 . X



Latihan 2.1.6 Dalam S3 dapatkan semua elemen a sedemikian hingga a2 = ρ0 = identitas X dan semua elemen b sedemikian hingga b3 = ρ0 .



Latihan 2.1.7 Dapatkan invers masing-masing elemen dari U(10) dan U(15).

•X

Latihan 2.1.8 Misalkan G adalah grup perkalian dari akar-akar polinomial xn − 1. Bila X a ∈ G, maka tentukan a−1 (lihat Contoh 2.1.14).



Latihan 2.1.9 Dalam D4 dapatkan invers dari ρ, τ dan ρτ (lihat Contoh 2.1.6).

•X

Latihan 2.1.10 Dalam grup Klein-4, tunjukkan bahwa setiap elemen mempunyai invers X dirinya sendiri.



Latihan 2.1.11 Tunjukkan bahwa bila setiap elemen dari suatu grup G mempunyai X invers dirinya sendiri, maka G adalah komutatif.



Latihan 2.1.12 Meniru Contoh 2.1.24, konstruksi semua tabel grup yang mungkin untuk suatu grup G dengan order4. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

67

Subgrup..

Latihan 2.1.13 Konstruksi semua tabel grup yang mungkin untuk suatu grup G berorder 5. (Petunjuk: pertama tunjukkan bahwa untuk sebarang a ∈ G, a , e, didapat ak , e untuk semua bilangan bulat 1 ≤ k < 5). X



Latihan 2.1.14 Berapakah order dari grup GL(2, Z2 )?

•X

Latihan 2.1.15 Tunjukkan bahwa bila G adalah grup berhingga berorder genap, maka X G mempunyai suatu elemen a , e yang memenuhi a2 = e.



Latihan 2.1.16 Dalam dihedral grup Dn n ≥ 3, tunjukkan bahwa ρτ = τρ−1 (lihat Contoh 2.1.16). X



Latihan 2.1.17 Tunjukkan bahwa, suatu grup berhingga adalah komutatif bila dan hanya bila mempunyai grup tabel adalah suatu matriks simetri, yaitu matriks {ai, j } dimana ai, j = a j,i untuk semua i dan j. X



Latihan 2.1.18 Misalkan G adalah suatu grup, a ∈ G dan m, n bilangan bulat prima relatif. Tunjukkan bahwa bila am = e, maka ada suatu elemen b ∈ G yang memenuhi X a = bn .



Latihan 2.1.19 Misalkan G adalah grup berhingga komutatif sedemikian hingga untuk semua a ∈ G, a , e didapat a2 = e. Bila a1 , a2 , . . . , an adalah semua elemen dari G yang berbeda, maka hitung a1 a2 · · · an . X



Latihan 2.1.20 Tunjukkan bahwa semua elemen taknol di Zp dengan p bilangan prima X membentuk suatu grup terhadap perkalian mod p.



Latihan 2.1.21 (Teorema Wilson) Buktikan bahwa bila p prima, maka (p − 1)! ≡ −1 mod p. X



2.2 Subgrup Dalam beberapa contoh yang dibahas pada bagian sebelumnya, himpunan elemenelemen dari grup adalah suatu himpunan bagian dari suatu grup yang lain dengan operasi yang sama. Contoh 2.2.1 Himpunan bilangan genap 2Z adalah himpunan bagian dari Z, dan keduanya adalah grup terhadap operasi penjumlahan.



Contoh 2.2.2 Himpunan akar-akar polinomial x4 − 1, yaitu {±1, ±i} adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks taknol C∗ , keduanya adalah grup terhadap perkalian bilangan kompleks.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

68

Grup..

Contoh 2.2.3 Diberikan grup Z8 = {[0]8 , [1]8 , [2]8 , [3]8 , [4]8 , [5]8 , [6]8 , [7]8 } dan himpunan bagian H = {[0]8 , [2]8 , [4]8 , [6]8 } ⊂ Z8 .

Maka H juga grup dengan operasi penjumlahan mod 8. Tabel grup sebagaimana diberikan oleh Tabel 2.6. Tabel 2.6: Grup H [0]8 [0]8 [2]8 [4]8 [6]8

+ [0]8 [2]8 [4]8 [6]8

[2]8 [2]8 [4]8 [6]8 [0]8

[4]8 [4]8 [6]8 [0]8 [2]8

[6]8 [6]8 [0]8 [2]8 [4]8



Himpunan bagian dari suatu grup G yang merupakan grup terhadap oprasi yang sama seperti di G memainkan suatu peranan penting untuk identifikasi grup-grup yang berbeda. Definisi 2.2.1 Suatu himpunan bagian tak-kosong H dari suatu grup G adalah suatu subgrup dari G bila H terhadap operasi yang sama di G adalah grup. Dalam hal ini X ditulis H ≤ G, bila H ⊆ G dan ditulis H < G, bila H ⊂ G.



Contoh 2.2.4 Z < Q < R < C terhadap operasi penjumlahan. Contoh 2.2.5 Q∗ < R∗ < C∗ terhadap operasi perkalian.





Contoh 2.2.6 Untuk sebarang grup G dengan elemen identitas e, {e} adalah subgrup dari G dinamakan trivial subgrup dan G sendiri adalah subgrup dari G dinamakan subgrup tak-sejati. Sebarang subgrup selain {e} dan G sendiri dinamakan subgrup sejati tak-trivial.



Contoh 2.2.7 Himpunan {±1} < {±1, ±i} terhadap operasi perkalian.



Contoh 2.2.8 Himpunan {ρ0 , ρ, ρ2 } < S terhadap operasi komposisi fungsi.



Untuk membuktikan bahwa suatu himpunan bagian H dari suatu grup G membentuk suatu grup, dibuktikan bahwa empat aksiomatik grup dipenuhi. Hal ini akan merumitkan dalam berbagai kasus, oleh karena itu untuk memudahkannya dibuktikan teorema berikut. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

69

Subgrup..

Teorema 2.2.1 (Test Subgrup) Suatu himpunan bagian tak-kosong H dari suatu grup G adalah subgrup dari G bila dan hanya bila kondisi berikut dipenuhi: ab−1 ∈ H, untuk setiap a, b ∈ H.

(2.1)

a−1 b ∈ H, untuk setiap a, b ∈ H.

(2.2)

atau Bukti (⇒) Asumsikan H adalah suatu subgrup dari G dan ambil sebarang a, b ∈ H. Karena H subgrup setiap elemen di H mempunyai invers, jadi b−1 ∈ H. Lagi, karena H subgrup, maka H tertutup terhadap operasi yang berlaku, jadi ab−1 ∈ H. (⇐) Misalkan kondisi (2.1) dipenuhi. Didapat, karena H tak-kosong, maka ada a, b = a ∈ H dan gunakan kondisi (2.1) didapat e = aa−1 = ab−1 ∈ H Jadi H memuat elemen identitas. Selanjutnya untuk setiap b ∈ H dan karena a = e ∈ H, gunakan lagi kondisi (2.1) didapat b−1 = eb−1 = ab−1 ∈ H. Terlihat bahwa setiap elemen di H punya invers. Berikutnya, untuk setiap a, b ∈ H dan karena b−1 ∈ H, maka untuk a, b−1 ∈ H gunakan kondisi (2.1) didapat ab = a(b−1 )−1 ∈ H. Jadi H memenuhi kondisi tertutup. Operasi pada H adalah assosiatif, sebab sifat ini diwarisi dari sifat grup G. Sejalan dengan yang telah dilakukan, (⇒) asumsikan H adalah suatu subgrup dari G dan ambil sebarang a, b ∈ H. Karena H subgrup setiap elemen di H mempunyai invers, jadi a−1 ∈ H. Lagi, karena H subgrup, maka H tertutup terhadap operasi yang berlaku, jadi a−1 b ∈ H. (⇐) Misalkan kondisi (2.2) dipenuhi. Didapat, karena H tak-kosong, maka ada b = a, b ∈ H dan gunakan kondisi (2.2) didapat e = b−1 b = a−1 b ∈ H. Jadi H memmuat elemen identitas. Selanjutnya untuk setiap a ∈ H dan karena b = e ∈ H, gunakan lagi kondisi (2.2) didapat a−1 = a−1 e = a−1 b ∈ H. Terlihat bahwa setiap elemen di H punya invers. Berikutnya, untuk setiap a, b ∈ H dan karena a−1 ∈ H, maka untuk a−1 , b ∈ H gunakan kondisi (2.2) didapat ab = (a−1 )−1 b ∈ H. Jadi H memenuhi kondisi tertutup. Juga, operasi pada H adalah assosiatif, sebab sifat ini diwarisi dari sifat grup G. X



Catatan bahwa, bila operasi pada grup adalah penjumlahan, maka kondisi (2.1) ditulis sebagai a − b ∈ H, untuk setiap a, b ∈ H. Contoh 2.2.9 Untuk sebarang bilangan bulat n ≥ 0, nZ adalah subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan. Sebab, bila a, b ∈ Z, maka a = nr untuk beberapa bilangan bulat r dan b = ns untuk beberapa bilangan bulat s. Didapat, a − b = nr − ns = n (r − s) ∈ nZ. |{z} ∈Z



Contoh 2.2.10 Himpunan bilangan bulat ganjil H bukan suatu subgrup dari grup Z terhadap perkalian. Sebab, 1, 5 ∈ H, tetapi −4 = 1 − 5 < H.



Alternatif lain untuk test subgrup teorema berikut dapat digunakan. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

70

Grup..

Teorema 2.2.2 Suatu himpunan bagian tak-kosong H dari suatu grup G adalah subgrup bila dan hanya bila pernyataan berikut dipenuhi: (1) (Tertutup) ab ∈ H, untuk setiap a, b ∈ H. (2) (Invers) Untuk setiap b ∈ H, b−1 ∈ H. Bukti (⇒) Bila H subgrup, maka kondisi tertutup dan invers dipenuhi sebab semua aksiomatik grup dipenuhi oleh H. (⇐) Asumsikan kondisi tertutup dan invers dipenuhi di H. Misalkan a, b ∈ H, didapat b−1 ∈ H. Jadi ab−1 ∈ H (menggunakan kondisi tertutup). Selanjutnya digunakan Teorema TeoriSubgrup, didapat bahwa H adalah subgrup dari grup G. X



Contoh 2.2.11 Himpunan SL(2, Q) adalah subgrup dari grup GL(2, Q). Bila A ∈ SL(2, Q), maka det(A) = 1, jadi det(A−1 ) = ±1/ det(A) = 1/ ± 1 = ±1. Jadi A−1 ∈ Sl(2, Q). Selanjutnya bila A, B ∈ SL(2, Q), maka det(AB) = det(A) · det(B) = ±1 · ±1 = ±1, jadi AB ∈ SL(2, Q). Dengan menggunakan Teorema 2.2.2 didapat SL(2, Q) adalah subgrup dari GL(2, Q).



Teorema 2.2.3 Misalkan G adalah suatu grup dan H ⊂ G dengan H berhingga. Maka H adalah subgrup dari G bila dan hanya bila memenuhi (Tertutup) ab ∈ H untuk sebarang a, b ∈ H. Bukti Menggunakan Teorema 2.2.2 hanya butuh menunjukkan sifat tertutup berakibat kondisi invers dipenuhi. Jadi asumsikan kondisi tertutup dipenuhi dan misalkan sebarang a ∈ H. Bila a = e, maka a−1 = e−1 = e = a ∈ H. Bila e , e, perhatikan pangkat berikut a = a1 , a2 , a3 , a4 , . . .. Kondisi tertutup berakibat ai ∈ H untuk semua i. Karena H berhingga, ada beberapa pangkat-pangkat tersebut yang sama. Oleh karena itu ada beberapa i dan j dengan i < j dan ai = a j atau a(i−j) = ai (a j )−1 = ai a−j = e. Jadi aa(i−j−1) = e. Terlihat a−1 = a(i−j−1) ∈ H. Dengan demikian kondisi invers dipenuhi. X



Definisi 2.2.2 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G. Didefinisikan himpunan def

hai = {an | n ∈ Z}. Bila operasi dalam grup adalah penjumlahan, maka def

hai = {na | n ∈ Z}.

•X

Proposisi 2.2.1 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G. Maka hai adalah suatu subgrup dari G, yang dinamakan subgrup siklik dibangun oleh a. Bukti Misalkan x, y ∈ hai, maka x = am , y = an untuk beberapa m, n ∈ Z. Didapat xy−1 = xm (an )−1 = am−n . Karena m − n ∈ Z, maka xy−1 ∈ hai. Jadi hai adalah subgrup dari X grup G.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

71

Subgrup..



Contoh 2.2.12 Dalam Z subgrup yang dibangun oleh 3 adalah h3i = 3Z.

Contoh 2.2.13 Dalam C∗ subgrup yang dibangun oleh i adalah hii = {i, i2, i3 , i4 } = {i, −1, −i, 1}.





Contoh 2.2.14 Dalam S3 subgrup yang dibangun oleh ρ adalah hrhoi = {ρ0 , ρ, ρ2 }.

Contoh 2.2.15 Dalam D4 , ρ = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 } dan hτi = {ρ0 , τ}.

•X

Contoh 2.2.16 Semua subgrup dari Z6 adalah: {0}, subgrup trivial. {[0]6 , [1]6 , [2]6 , [3]6 , [4]6 , [5]6 } = Z6 , subgrup taksejati. {[0]6 , [2]6 , [4]6 } = h[2]6 i = h[4]6 i {[0]3 , [3]6 } = h[3]6 i. Catatan bahwa, bila H adalah suatu subgrup dan 5 ∈ H, maka −5 = 1 ∈ H dan bila 2, 3 ∈ H, maka 3 − 2 = 1 ∈ H. Dalam hal yang demikian H = Z6 . Jadi semua subgrup dari Z6 telah dibuat.



Pengertian berikut yang dikenalkan adalah penting sekali untuk kajian grup. Definisi 2.2.3 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G. Order elemen a ditulis |a| adalah bilangan bulat positip terkecil n yang memenuhi an = e atau takberhingga bila n tidak X ada. Bila operasi pada grup adalah penjumlahan an = e ditulis na = e. Contoh 2.2.17 Dalam S3 , |µ1 | = 2, |ρ| = 3.





Contoh 2.2.18 Dalam Z6 , |[0]6 | = 1, |[1]6 | = |[5]6 | = 6, |[2]6| = |[4]6 | = 3, |[3]6 | = 2. Contoh 2.2.19 Dalam Z, |0| = 1 dan |n| takhingga untuk semua n , 0. Contoh 2.2.20 Dalam C∗ , |i| = 4.







Sebelum mengakhiri bagian ini, dikenalkan subgrup yang sangat penting dari suatu grup G. Definisi 2.2.4 Misalkan G sebarang grup. Maka senter dari G ditulis Z(G), ada himpunan bagian dari G yang elemen-elemennya komutatif dengan semua elemen G, dengan kata lain def

Z(G) = {x ∈ G | xy = yx, untuk semua y ∈ G}.

Catatan bahwa, ey = y = ye untuk semua y ∈ G. Jadi e ∈ Z(G) dengan demikian X Z(G) , ∅.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

72

Grup..

Teorema 2.2.4 Senter Z(G) dari suatu grup G adalah subgrup dari G. Bukti Cukup dibuktikan memenuhi tertutup dan invers. Misalkan a, b ∈ Z(G), maka ax = xa untuk semua x ∈ G dan bx = xb untuk semua x ∈ G. Didapat (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab). Terlihat bahwa ab ∈ Z(G). Selanjutnya diberikan sebarang a ∈ Z(G), maka ay = ya untuk semua y ∈ G. Didapat a−1 y = a−1 (y−1 )−1 = (y−1 a)−1 = (ay−1 )−1 = (y−1 )−1 a−1 = ya−1 . Terlihat bahwa a−1 ∈ Z(G). X



Catatan bahwa, bila G grup komutatif, maka Z(G) = G. Contoh 2.2.21 Misalkan dicari senter dari grup takkomutatif D4 (Contoh 2.1.6), D4 = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 , τ, ρτ, ρ2τ, ρ3τ}. Didapat τρ = ρ3 τ, jadi ρ < Z(D4 ) dan ρ3 < Z(D4 ). Dilain pihak, didapat τρ2 = (τρ)ρ = (ρ3 τ)ρ = ρ3 (τρ) = ρ3 (ρ3 τ) = (ρ3 ρ3 )τ = ρ2 τ. Maka, mudah ditunjukkan bahwa ρ2 komutatif dengan semua elemen dari D4 . Jadi ρ2 ∈ Z(D4 ). Selanjutnya, didapat (ρτ)ρ = ρ(ρ3 τ) = τ , ρ2 τ = ρ(ρτ) (ρ2 τ)ρ = ρ2 (ρ3 τ) = ρτ , ρ3 τ = ρ(ρ2 τ) (ρ3 τ)ρ = ρ3 (ρ3 τ) = ρ2 τ , τ = ρ(ρ3 τ). Jadi Z(D4 ) = {ρ0 , ρ2 }.



Subgrup penting lainnya diberikan oleh definisi berikut. Definisi 2.2.5 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G. Maka sentralisir dari a ∈ G dinotasikan oleh CG (a) didefinisikan sebagai berikut: CG (a) = {x ∈ G | ax = xa}. Catatan bahwa, untuk sebarang a ∈ G didapat Z(G) ⊆ CG (a). Hal ini berarti bahwa senter dari G termuat dalam sentralisir sebarang elemen. X



Untuk grup yang sudah jelas, penulisan CG (a) cukup ditulis C(a). Contoh 2.2.22 Misalkan dicari sentralisir dari ρ dalam S3 . Jelas ρ0 , ρ, ρ2 ∈ C(ρ). Juga ρµ1 , µ1 ρ. Dapat dihitung pula ρµ2 = µ1 sedangkan µ2 ρ = µ3 . jadi ρµ2 , µ2 ρ. Juga, ρµ3 = µ2 dan µ3 ρ = µ1 . Jadi µ3 ρ , ρµ3 . Dengan demikian C(ρ) = {ρ0 , ρ, ρ2 }.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

73

Subgrup..

Latihan Latihan 2.2.1 Dapatkan order elemen dari grup yang berikut ini. 1. 3. 5. 7. 9.

2 ∈ Z3 µ2 ∈ S3 ρ2 τ ∈ D4 j ∈ Q8 √ (−1 − 3i)/2 ∈ C∗

2. 4 ∈ Z10 4. ρ ∈ D4√ 6. (−1 + 3i)/2 ∈ C∗ 8. − i ∈ C∗ 10. cos(2π/7) + i sin(2π/7) ∈ C∗ .

•X

Latihan 2.2.2 Dapatkan setidaknya dua subgrup sejati taktrivial dari grup berikut. 1. Z 4. Z8 7. 8Z

2. Q 5. S3 8. GL(2, Q)

3. C∗ 6. D4 9. Q8 .

•X

D E Latihan 2.2.3 Misalkan G adalah suatu grup. Tunjukkan bahwa hai = a−1 dan |a| = |a−1 |. X √ Latihan 2.2.4 Misalkan G = {a + b 2i | a, b ∈ Q}. Tunjukkan bahwa G adalah subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. X





Latihan 2.2.5 Misalkan G = {n + mi | m, n ∈ Z, i2 = −1}. Tunjukkan bahwa G adalah subgrup dari C terhadap operasi penjumlahan. X



Latihan 2.2.6 Misalkan G = {cos(2kπ/7) + i sin(2kπ/7), | k ∈ Z}. Tunjukkan bahwa G adalah subgrup dari C∗ terhadap operasi perkalian. Berapakah |G|? X



Latihan 2.2.7 Misalkan G = {a + bi | a, b ∈ R, a2 + b2 = 1}. Tentukan apakah G subgrup dari C∗ atau bukan subgrup terhadap operasi perkalian. X



Latihan 2.2.8 Untuk θ ∈ R, misalkan A(θ) ∈ SL(2, R) adalah matriks representasi dari suatu rotasi θ radian: " # cos θ − sin θ A(θ) = . sin θ cos θ (a) Tunjukkan bahwa H = {A(θ) | θ ∈ R} adalah suatu subgrup dari SL(2, R). (b) Dapatkan invers dari A(2π/3). (c) Dapatkan order dari A(2π/3).

•X

Latihan 2.2.9 Dalam SL(2, Z10 ), misalkan " # 1 2 A= . 0 1

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

74

Grup..

(a) Hitung A3 dan A11 .

•X

(b) Dapatkan order dari A.

Latihan 2.2.10 Dalam Sl(3, R), untuk sebarang a, b ∈ R, misalkan   1 a b   D(a, b, c) = 0 1 c  .   0 0 1

Tunjukkan bahwa H = {D(a, b, c) | ab, c ∈ R} adalah subgrup dari SL(3, R).

•X

Latihan 2.2.11 Tunjukkan bahwa dalam suatu grup komutatif G, himpunan yang semua X elemen-elemennya mempunyai order berhingga di G adalah subgrup dari G.



Latihan 2.2.12 Tunjukkan bahwa bila H dan K adalah subgrup dari G, maka H ∩ K adalah subgrup dari G. X



Latihan 2.2.13 Tunjukkan bahwa bila G adalah suatu grup dan a, b ∈ G, maka |aba−1 | = |b|. X



Latihan 2.2.14 Tunjukkan bahwa bila G adalah suatu grup dan a, b ∈ G, maka |ab| = |ba|. X



Latihan 2.2.15 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G. Tunjukkan bahwa sentralisir dari a, CG (a) adalah subgrup dari G. X



Latihan 2.2.16 Dapatkan sentralisir C(µ1 ) di S3 . Latihan 2.2.17 Dapatkan sentralisir C(ρ2 ) di D4 .

•X •X

Latihan 2.2.18 Misalkan bahwa G adalah suatu grup dan a ∈ G. Tunjukkan bahwa C(a) = G X bila dan hanya bila a ∈ Z(G).



Latihan 2.2.19 Dapatkan senter Z(S3 ) dari grup S3 .

•X

Latihan 2.2.20 Diberikan grup G dan H ⊂ G dengan H , ∅. Tunjukkan bahwa H adalah subgrup dari G bila dan hanya bila berlaku a−1 b ∈ H, untuk setiap a, b ∈ H. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

75

Grup Siklik..

2.3 Grup Siklik Pada bagian ini dibahas kajian dari grup khusus yang dinamakan grup siklik. Dalam pembahasan sebelumnya sudah dikenalkan pengertian subgrup siklik hai dari suatu grup G yang dibangun oleh suatu elemen a. Contoh 2.3.1 Sudah diperlihatkan bahwa dalam Z6 subgrup yang dibangun oleh [1]6 adalah Z6 sendiri, juga dibangun oleh [5]6 . Jadi Z6 = h[1]6 i = h[5]6 i.



Contoh 2.3.2 Dalam Z, subgrup yang dibangun oleh 1 dan −1 adalah Z sendiri, jadi Z = h1i = h−1i.



Contoh 2.3.3 Dalam G = {1, i, −1, −i}, subgrup yang dibangun oleh i dan −i adalah G sendiri. Jadi G = hii = h−ii.



Contoh-contoh yang baru saja dibahas adalah grup siklik. Berikut ini secara formal diberikan pengertian grup siklik. Definisi 2.3.1 Suatu grup G dinamakan siklik bila ada suatu elemen a ∈ G sedemikian hingga G = hai = {an | n ∈ Z}. Dalam hal ini elemen a dinamakan suatu generator dari G. X



Bila operasi pada grup adalah penjumlahan kondisi G = {an | n ∈ Z} ditulis G = {na | n ∈ Z}. Ketika menghitung hai untuk suatu elemen a di G, dihitung berturut-turut pangkat dari a. Sedangkan bila operasi pada grup adalah penjumlahan, maka dihitung berturutturut kelipatan dari a. Bila semua hasil hitungan memberikan semua elemen-elemen dari G, maka G dibangun oleh a. Contoh 2.3.4 Untuk sebarng n > 1, Zn = h[1]n i = h[n − 1]n i adalah grup siklik berorder n.



Contoh 2.3.5 Diberikan Z[1]10 = h[1]10 i = h[3]10 i = h[1]7 i = h[9]10 i, terlihat bahwa semua generator dari Z10 adalah [1]10 , [3]10 , [7]10 dan [9]10 . Akan diperlihat menghitung kelipatan dari [3]10 secara berturutan sebagai berikut. Dimulai dari 1 · [3]10 = [3]10 dan berikutnya 2 · [3]10 = [6]10 , 3 · [3]10 = [9]10 , 4 · [3]10 = [12]10 = [2]10 , 5 · [3]10 = [15]10 = [5]10 , 6 · [3]10 = [18]10 = [8]10 , 7 · [3]10 = [21]10 = [1]10 , 8 · [3]10 = [24]10 = [4]10 , 9 · [3]10 = [27]10 = [7]10 , 10 · [3]10 = [30]10 = [0]10 . Terlihat penghitungan kelipatan dari [3]10 secara berturut-turut menghasilkan semua elemen-elemen di Z10 , jadi [3]10 adalah generator dari Z10 . Perlakuan yang serupa akan memberikan hasil yang sama bila dilakukan pada elemen [1]10 , [7]10 dan [9]10 .



Contoh 2.3.6 Juga, U(10) = {[1]10 , [3]10 , [7]10 , [9]10 } = {[3]010 , [3]110 , [3]210 , [3]310 } = h[3]10 i. Berikut ini diberikan grup yang tidak siklik.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

76

Grup..



Contoh 2.3.7 Dalam S3 , ρ = ρ2 = {ρ0 , ρ, ρ2 } dan µi = {ρ0 , µi }, i = 1, 2, 3. Jadi tak ada elemen dari S3 yang membangun S3 sebagai grup. Dengan demikian S3 bukan grup siklik.



Contoh 2.3.8 Grup 2Z = h2i, secara umum, untuk setiap n ≥ 1 didapat nZ = hni. Semua grup ini adalah grup siklik takberhingga.



Contoh 2.3.9 Grup Z10 , h[2]10 i = {[0]10 , [2]10 , [4]10 , [6]10 , [8]10 }. Penghitungan kelipatan dari [2]10 secara berturutan sampai 5 kali menghasilkan semua elemen di h[2]10 i. Bila hal ini dilanjutkan didapat 6[2]10 = [2]10 , 7[2]10 = [4]10 , 8[2]10 = [6]10 , 9[10]10 = [8]10 . 10[2]10 = [0]10 . Terlihat menghasilkan pola yang berulang lagi.



Teorema berikut menjelaskan bahwa pengulangan bentuk dalam contoh yang baru saja dibahas terjadi secara umum. Teorema 2.3.1 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G. Maka untuk semua i, j ∈ Z didapat (1) Bila a mempunyai order takhingga, maka ai = a j bila dan hanya bila i = j. (2) Bila a mempunyai order berhingga, maka ai = a j bila dan hanya bila n membagi i − j. Bukti (1) Misalkan a mempunyai order takhingga. Bila i = j, maka jelas ai = a j . Sebaliknya, bila ai = a j , maka ai−j = ai a−j = e. Tetapi karena a mempunyai order takhingga, maka an = e bila dan hanya bila n = 0. Sehingga didapat i − j = 0 atau i = j. (2) Misalkan |a| = n. Bila n membagi i − j, maka i − j = nk untuk beberapa k ∈ Z atau i = nk + j untuk beberapa k ∈ Z. Didapat ai = ank+j = ank a j = (an )k a j = ek a j = ea j = a j . Sebaliknya, bila ai = a j atau ekivalen ai−j = e. Dengan menggunakan algoritma pembagian bilangan bulat didapat i − j = qn + r, dimana 0 ≤ r < n. Jadi e = ai−j = aqn+r = aqn ar = (an )q ar = eq ar = ear = ar . Karena 0 ≤ r < n dan n adalah order dari a, maka n adalah bilangan positip terkecil yang memenuhi an = e. Jadi haruslah r = 0. Dengan demikian didapat i − j = qn atau n membagi i − j. X



Kesimpulan 2.3.1 Misal G adalah suatu grup dan a ∈ G dengan |a| = n. Maka untuk sebarang k ∈ Z, ak = e bila dan hanya bila n membagi k. Bukti Gunakan Teorema 2.3.1 bagian (2) didapat n membagi k. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

77

Grup Siklik..

Kesimpulan 2.3.2 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G dengan |a| = n. Maka hai = {e, a, a2 , . . . , an−1 }. Bukti Misalkan |a| = n dan

hai = {am | m ∈ Z}.

Dengan menggunakan algoritma pembagian bilangan bulat m = qn + r untuk beberapa q ∈ Z dan 0 ≤ r < n. Sehingga didapat hai = = = = = = =

{am | m ∈ Z} {aqn+r | 0 ≤ r < n} {(aqn )ar | 0 ≤ r < n} {(an )q ar | 0 ≤ r < n} {eq ar = ear | 0 ≤ r < n} {ar | 0 ≤ r < n} {e, a, a2, . . . , an−1 }. X



Kesimpulan 2.3.3 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G mempunyai order berhingga. Maka | hai | = |a|. Bukti Misalkan |a| = n. Dengan menggunakan Kesimpulan 2.3.2 didapat hai = {e, a, a2 , . . . , an−1 } Jelas bahwa | hai | = n. Jadi | hai | = |a|.

•X

Contoh 2.3.10 Diberikan G grup siklik dengan |G| =. Jadi G = hai = {e, a, a2, a3 , a4 , a5 }. Didapat

(a4 )2 = a8 = a6+2 = a6 a2 = ea2 = a2 , e,

sedangkan Jadi |a4 | = 3.



(a4 )3 = a12 = a6+6 = a6 a6 = e · e = e.

Teorema berikut sangat penting menjadikan mudah untuk mendapatkan order elemen dari suatu grup siklik. Teorema 2.3.2 Misalkan G = hai dan |G| = |a| = n. Maka untuk sebarang elemen ak ∈ G didapat |ak | = n/fpb(n, k). Bukti Dari Kesimpulan 2.3.1 didapat (ak )m = akm = e bila dan hanya bila n membagi c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

78

Grup..

km atau km kelipatan dari n juga kelipatan dari k. Jadi bila order |ak | adalah bilangan bulat positip terkecil m sedemikian hingga km kelipatan dari n dan k atau ekivalen km adalah bilangan bulat positip terkecil yang merupakan kelipatan dari n dan k, yaitu km = kpk(n, k). Dengan menggunakan Proposisi 1.3.3 bagian (3) didapat k✁m = k✁n/fpb(n, k) atau m = n/fpb(n, k). Jadi |ak | = n/fpb(n, k). X



Contoh 2.3.11 Dalam suatu grup siklik G = hai dengan |G| = 210, maka



|a80 | = 210/fpb(210, 80) = 210/10 = 21.

Contoh 2.3.12 Dalam Z105 , maka |[84]105 | = 105/fpb(105, 84) = 105/21 = 5.



Teori yang baru dibahas tidak hanya untuk menyederhanakan penghitungan order sebarang elemen dari suatu grup siklik sebagaimana pembahasan contoh sebelumnya, tetapi juga untuk mendapatkan generator dari grup sebagaimana diberikan dalam contoh berikut. Contoh 2.3.13 Diberikan grup Z12 . Untuk mendapatkan order semua elemen dari Z12 , atau mendapatkan semua [s]12 ∈ Z12 yang memenuhi |[s]12 | = 12. Gunakan Teorema 2.3.2, didapat |[s]12 | = 12/fpb(12, s).

Jadi |[s]12 | = 12 bila dan hanya bila 12/fpb(12, s) = 12 atau fpb(12, s) = 12/12 = 1. Dengan demikian elemen-elemen [s]12 ∈ Z12 adalah generator dari Z12 bila fpb(12, s) = 1. Jadi elemen-elemen tersebut adalah: [1]12 , [5]12 , [7]12 dan [11]12 .



Kesimpulan 2.3.4 Diberikan grup siklik G dengan generator a, G = hai dengan |G| = |a| = n. Maka as adalah generator dari G bila dan hanya bila fpb(n, s) = 1. Bukti Elemen as adalah generator dari G bila dan hanya bila G = has i. Gunakan Kesimpulan 2.3.3, didapat | has i | = |as |, dan dari Teorema 2.3.2 didapat |as | = n/fpb(n, s). Tetapi |as | = |G| = n. Jadi as adalah generator dari G bila dan hanya bila n/fpb(n, s) = n atau ekivalen fpb(n, s) = 1. X



Kesimpulan 2.3.5 Misalkan G adalah suatu grup siklik dengan order n. Maka banyaknya elemen generator dari G adalah φ(n) dimana φ adalah fungsi Euler. Bukti Dari kesimpulan yang baru saja dibahas, banyaknya elemen generator dari G adalah bilangan s dengan 1 ≤ s < n yang memenuhi fpb(n, s) = 1. Hal ini sesuai dengan definisi φ(n). X



Contoh berikut mengilustrasikan bahwa suatu sifat yang dipunyai oleh grup siklik, membuat sifat ini secara khusus mudah dipahami. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

79

Grup Siklik..

Contoh 2.3.14 Misalkan akan dicari semua subgrup dari grup Z15 . Untuk memulainya, jelas subgrup trivial h0i adalah subgrup dari Z15 . Misalkan H adalah sebarang subgrup tak-trivial dari Z15 . Dari Kesimpulan 2.3.4 didapat semua generator dari Z15 adalah [1]15 , [2]15 , [4]15 , [7]15 , [11]15 , [13]15 , [14]15 . Didapat subgrup tak-sejati: Z15 = h[1]15 i = h[2]15 i = h[4]15 i = h[7]15 i = h[8]15 i = h[11]15 i = h[13]15 i = h[14]15 i .

Selanjutnya, misalkan H adalah subgrup sejati tak-trivial dari G. Misalkan [3]15 ∈ H, maka untuk sebarang [y]15 ∈ H dan dengan menggunakan algoritma pembagian bilangan bulat didapat y = 3q + r untuk beberapa r dengan 0 ≤ r < 3. Tetapi [3]15 , [y]15 ∈ Z15 , maka [r]15 = [y]15 − q[3]15 ∈ H. Tetapi H adalah himpunan bagian sejati dari Z15 , maka [1]15 , [2]15 < H. Jadi haruslah r = 0. Dengan demikian semua elemen dari H adalah kelipatan dari [3]15 . Jadi H = h[3]15 i = {[0]15 , [3]15 , [6]15 , [9]15 , [12]15 } = 3Z15 . Karena 3[6]15 = 2[9]15 = 4[12]15 = [3]15 , maka sebarang subgrup sejati tak-trivial dari Z15 yang memuat [6]15 , [9]15 dan [12]15 juga pasti memuat [3]15 dan sama dengan 3Z15 = h[3]15 i = h[6]15 i = h[9]15 i = h[12]15 i .

Berikutnya, misalkan H subgrup sejati tak-trivial dan [5]15 ∈ H. Dengan argumentasi yang sama didapat H = h[5]15 i = {[0]15 , [5]15 , [10]15 } = 5Z15 , dan sebarang subgrup sejati yang memuat [10]10 juga sama dengan 5Z15 = h[5]15 i = h[10]15 i. Dengan demikian semua subgrup yang mungkin dari Z15 adalah 0Z15 = {[0]15 }, 1Z15 = Z15 , 3Z15 , dan 5Z15 .

Teorema 2.3.3 Setiap subgrup dari suatu grup siklik adalah siklik.



Bukti Misalkan G = hai dan H adalah sebarang subgrup dari G. Bila H adalah subgrup trivial, yaitu H={e}, maka H = hei adalah siklik. Asumsikan H subgrup tak-trivial. Jadi, dapat dipilih b ∈ H dengan b , e. Karena juga b ∈ G = hai, maka b = as untuk beberapa s ∈ Z dan karena b , e, maka s , 0. Juga karena b ∈ H, maka b−1 = (as )−1 = a−s ∈ H. Karena satu diantara s atau −s adalah positip, maka H memuat beberapa pangkat positip dari a. Dengan menggunakan prinsip keterurutan secara baik bilangan bulat positip, maka dapat diplih bilangan bulat positip terkecil m yang memenuhi am ∈ H. Selanjutnya, diberikan sebarang x ∈ H, maka y = an untuk beberap bilangan bulat n (sebab juga y ∈ G). Gunakan algoritma pembagian bilangan bulat pada m dan n didapat n = qm + r untuk beberapa bilangan bulat q dan 0 ≤ r < m. Didapat y = an = aqm+r = (am )q ar .

Hal ini berakibat ar = y(am )−q ∈ H (sebab H < G, y ∈ H dan am ∈ H).

Tetapi m adalah bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi am ∈ H, dengan dan juga ar ∈ H dengan 0 ≤ r < m. Jadi haruslah r = 0. Dengan demikian didapat y = an = aqm+r = aqm = (am )q , dengan q ∈ Z.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

80

Grup..

Terlihat bahwa sebarang y ∈ H merupakan suatu pangkat dari am , dengan demikian H = {(am )k | k ∈ Z} = ham i. Jadi H adalah subgrup siklik. X



Kesimpulan 2.3.6 Semua subgrup dari Z adalah nZ = hni untuk semua n ≥ 0. Bukti Z = h1i adalah siklik. Jadi menurut Teorema 2.3.3 sebarang subgrup H ≤ Z juga siklik. Oleh karena itu, H = hmi untuk beberapa bilangan bulat m. Karena h−mi = hmi dan salah satu dari m atau −m adalah taknegatip, maka H = hni untuk n ≥ 0. X



Contoh 2.3.15 Karena Z12 adalah grup siklik, maka semua subgrup dari Z12 adalah siklik. Jadi bila subgrup H = h[s]12 i, maka |H| = |[s]12 | = 12/fpb(12, s) adalah pembagi dari 12. Semua pembagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 sendiri. Subgrup H dengan |H| = 1 adalah {[0]12 } = h[0]12 i. Berikutnya bila 2 = |H| = |[s]12 | = 12/fpb(12, s), maka s = 6. Didapat H = h[6]12 i = {[0]12 , [6]12 }. Sedangkan subgrup yang lain adalah h[4]12 i = {[0]12 , [4]12 , [8]12 }, order | h[4]12 i | = 3, h[3]12 i = {[0]12 , [3]12 , [6]12 , [9]12 }, order | h[3]12 i | = 4,

h[2]12 i = {[0]12 , [2]12 , [4]12 , [6]12 , [8]12 , [10]12 }, order | h[2]12 i | = 6

dan h[1]12 i = Z12 dengan order | h[1]12 i | = |Z12 | = 12. Teorema 2.3.4 Misalkan G = hai berorder n. Maka



(1) Order |H| sebarang subgrup H dari grup G adalah pembagi dari n = |G|. (2) Untuk semua bilanganDbulat E positip d yang membagi n ada tunggal subgrup yang n/d berorder d yaitu H = a .

Bukti

(1) Misalkan H adalah suatu subgrup dari G = hai. Dengan menggunakan Teorema 2.3.3, didapat H = ham i untuk beberapa m ≥ 0, dan dengan menggunakan Teorema 2.3.2 didapat |H| = |am | = n/fpb(n, m). Terlihat bahwa order |H| membagi n. (2) Karena e ∈ H untuk sebarang subgrup H dari grup G, maka subgrup dari G yang berorder 1 hanya {e} = hei. Misalkan d pembagi dari n dan Dd > E1. Gunakan Teorema 2.3.2 didapat |an/d | = n/fpb(n, n/d) = n/(n/d) = d. Jadi an/d adalah subgrup berorder d. Tinggal menunjukkan ketunggalan, misalkan H adalah subgrup dari G yang berorder d dan karena G siklik yaitu G = hai, maka menurut Teorema 2.3.3 didapat H adalah subgrup siklik. Jadi H = ham i, dimana m adalah bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi am ∈ H. Selanjutnya dari Teorema 1.3.6 bagian (2) ada bilangan bulat u dan v yang memenuhi fpb(n, m) = un + vm. Sehingga didapat afpb(n,m) = aun+vm = aun avm = (an )u (am )v = eu (am )v = e(am )v = (am )v ∈ H. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

81

Grup Siklik..

Karena 1 ≤ fpb(n, m) ≤ m dan m adalah bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi am ∈ H, maka haruslah fpb(n, m) = m. Maka dengan menggunakan Teorema 2.3.2 didapat d = |H| = |am | = n/fpb(n, m) = n/m. E D Jadi d = n/m atau m = n/d. dengan demikian didapat H = ham i = an/d sebaX gaimana diharapkan.



Contoh 2.3.16 Dibahas lagi menentukan semua subgrup dari grup Z12 sebagaimana telah dibahas dalam Contoh 2.3.15. Tetapi sekarang menggunakan Teorema 2.3.4. Grup siklik Z12 = h[1]12 i, dengan demikian a = [1]12 , n = 12 dan semua pembagi dari n = 12 adalah d = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Untuk d = 1 didapat H = h(12/1)[1]12 i = h12[1]12 i = h[12]12 i = {[0]12 }. Untuk d = 2, didapat subgrup H = h(12/2)[1]12 i = h6[1]12 i = h[6]12 i = {[0]12 , [6]12 }. Untuk d = 3, didapat subgrup H = h(12/3)[1]12 i = h4[1]12 i = h[4]12 i = {[0]12 , [4]12 , [8]12 }. Untuk d = 4, didapat subgrup H = h(12/4)[1]12 i = h3[1]12 i = h[3]12 i = {[0]12 , [3]12 , [6]12 , [9]12 } . Untuk d = 6, didapat subgrup H = h(12/6)[1]12 i = h2[1]12 i = h[2]12 i = {[0]12 , [2]12 , [4]12 , [6]12 , [8]12 , [10]12 } . Untuk d = 12, didapat subgrup H = h(12/12)[1]12 i = h1[1]12 i = h[1]12 i = Z12 . Gambar 2.5 adalah penampilan dari semua subgrup dari Z12 dalam bentuk diagram yang dinamakan lattice subgrup. Gambar tersebut menunjukkan bagaimana subgrupsubgrup mempunyai keterkaitan satu dengan yang lainnya. Garis dalam diagram menyatakan inklusi. Jadi, dalam diagram menunjukkan bahwa h[3]12 i memuat h[6]12 i dan h[6]12 i memuat h[0]12 i. Diagram menunjukkan bahwa irisan dari h[3]12 i dan h[2]12 i adalah h[6]12 i dan irisan dari h[6]12 i dan h[4]12 i adalah h[0]12 i.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

82

Grup.. h[1]12 i h[2]12 i

h[3]12 i h[6]12 i

h[4]12 i h[0]12 i

Gambar 2.5: Lattice Subgrup

Latihan Latihan 2.3.1 Dapatkan order elemen dari grup berikut: (1) [6]10 ∈ Z10 (4) [77]210 ∈ Z210

(2) [6]15 ∈ Z15 (5) [40]210 ∈ Z210

(3) [10]42 ∈ Z42 (6) [70]210 ∈ Z210 .

•X

Latihan 2.3.2 Misalkan G = hai dan |G| = 21. Hitung order dari: a2 , a6 , a8 , a9 , a14 , a15 dan X a18 .



Latihan 2.3.3 Misalkan G adalah suatu grup dan a ∈ G dengan |a| = 6. (a) Tulis semua elemen dari hai. (b) Dapatkan dalam hai elemen-elemen a32 , a47 , a70 . X



Latihan 2.3.4 Dapatkan semua generator dari Z10 , Z12 dan Z15 .

•X

Latihan 2.3.5 Diberikan grup G = hai dan |G| = 30. Dapatkan semua generator dari G. X



Latihan 2.3.6 Gambar diagram lattice subgrup untuk Z18 . Latihan 2.3.7 Dapatkan semua elemen a ∈ Z15 dimana |a| = 5.

•X

•X

Latihan 2.3.8 Diberikan G = hai dengan |G| = 20. Dapatkan semua elemen b ∈ G dimana X |b| = 10.



Latihan 2.3.9 Dapatkan semua subgrup siklik dari S3 . Apakah S3 mempunyai suatu subgrup sejati tak-siklik? Jelaskan jawaban saudara. X



Latihan 2.3.10 Dapatkan semua subgrup siklik dari D4 . Apakah D3 mempunyai suatu subgrup sejati tak-siklik? Jelaskan jawaban saudara. X



Latihan 2.3.11 Apakah benar bahwa bila setiap subgrup sejati dari suatu grup G adalah siklik, maka G harus juga siklik? Jawab dengan suatu bukti bila benar atau berikan X contoh penyangkal bila salah.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

83

Grup Siklik..

Latihan 2.3.12 Berikan contoh-contoh subgrup siklik berhingga dari C∗ . Latihan 2.3.13 Tunjukkan bahwa setiap grup siklik adalah komutatif. Latihan 2.3.14 Berikan suatu contoh grup yang memenuhi sifat berikut:

•X •X

(a) suatu grup siklik takberhingga. (b) suatu grup komutatif takberhingga yang tak-siklik. (c) suatu grup siklik berhingga dengan tepat mempunyai enam generator. (d) suatu grup komutatif berhingga yang tak-siklik.

•X

Latihan 2.3.15 Misalkan H dan K adalah subgrup siklik dari suatu grup komutatif G dengan |H| = 10 dan |K| = 14. Tunjukkan bahwa G memuat suatu subgrup siklik yang berorder 70. X



Latihan 2.3.16 Diberikan grup G yang tak mempunyai subgrup sejati tak-trivial. (a) Tunjukkan bahwa G harus siklik. (b) Apa yang bisa dikatakan mengenai order dari G? X



Latihan 2.3.17 Diberikan bilangan bulat m dan n; dan himpunan def

mZ + nZ = {a + b | a ∈ mZ, b ∈ nZ}. (a) Tunjukkan bahwa mZ + nZ adalah suatu subgrup dari Z. (b) Dapatkan suatu generator untuk subgrup 12Z + 21Z.

•X

(c) Dapatkan suatu generator untuk subgrup mZ + nZ.

Latihan 2.3.18 Dapatkan suatu generator subgrup 6Z ∩ 15Z dari grup Z.

•X

Latihan 2.3.19 Diberikan bilangan bulat m dan n. Dapatkan suatu generator subgrup mZ ∩ nZ dari grup Z. X



Latihan 2.3.20 Tentukan grup yang berikut siklik atau tidak: (a) U(10) (b) U(12) (c) U(20) (d) U(24). X



Latihan 2.3.21 Diberikan grup G dan a, b ∈ G dengan |a| = 14 dan |b| = 15. Uraikan subgrup hai ∩ hbi. Jelaskan jawaban saudara. X



Latihan 2.3.22 Diberikan grup G = hai dan |G| = 20. Himpunan H dan K adalah dua subgrup sejati tak-trivial yang berbeda dari grup G sedemikian hingga H < K dan a4 < K. Uraikan H dan K. X



Latihan 2.3.23 Diberikan grup G = hai dan |G| = n, d suatu pembagi dari n. Tunjukkan bahwa banyaknya elemen-elemen di G yang berorder d adalah φ(d) dimana φ adalah X fungsi-φ Euler.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

84

Grup..

2.4 Permutasi Pembahasan berikut ini tentang contoh yang paling penting dari grup berhingga, yaitu grup permutasi. Alasan grup permutasi menjadi pokok penting adalah bahwa, seperti yang akan terlihat pada bab mendatang , setiap grup berhingga dapat dilihat sebagai subgrup dari grup permutasi. Ini berarti bahwa kajian grup berhingga dapat dibahas pada sebagian kajian grup permuatsi. Ketika dikonstruksi suatu grup berhingga dengan sifat tertentu, dapat ditemukan grup permutasi yang menghasilkan subgrup dengan sifat-sifat yang sama. Bahasan dimulai dengan memberikan beberapa contoh permutasi dan fungsi yang bukan permutasi. Contoh 2.4.1 Diberikan fungsi f : Z → Z didefinisikan oleh f (n) = n + 1, ∀n ∈ Z adalah satu-satu, sebab bila f (n1 ) = f (n2 ), maka n1 + 1 = n2 + 1 dan n1 = n2 . Fungsi f juga pada, sebab untuk sebarang m ∈ Z (kodomain), maka dapat diplih m − 1 ∈ Z (domain) sehingga f (m − 1) = (m − 1) + 1 = m.



Contoh 2.4.2 Diberikan fungsi g : Z → Z didefinisikan oleh g(n) = 2n, ∀n ∈ Z adalah satu-satu, sebab bila g(n1 ) = g(n2 ), maka 2n1 = 2n2 dan n1 = n − 2. Fungsi g tidak pada, sebab g(Z) = 2Z , Z.



Contoh 2.4.3 Fungsi j : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} didefinisikan oleh j(1) = 3, j(2) = 4, j(3) = 1, j(4) = 2. Jelas fungsi j satu-satu dan pada.



Contoh 2.4.4 Fungsi k : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} didefinisikan oleh k(1) = 2, k(2) = 2, k(3) = 4, j(4) = 3. Jelas fungsi k tidak satu-satu dan tidak pada.



Definisi 2.4.1 Suatu fungsi φ : A → A dinamakan permutasi dari himpunan A bila φ fungsi satu-satu dan pada atau bijektif. X



Dari contoh-contoh yang dibahas, maka Contoh 2.4.1 dan 2.4.3 adalah permutasi. Sedangkan Contoh 2.4.2 dan 2.4.4 bukan permutasi. Contoh 2.4.5 Diberikan himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan dua permutasi φ dan τ yang disajikan oleh ! ! 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 φ= , τ= . 4 6 1 2 3 5 2 3 5 4 6 1 Penyajian φ dan τ mempunyai arti : φ(1) = 4, φ(2) = 6, φ(3) = 1, φ(4) = 2, φ(5) = 3, φ(6) = 5 c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

85

Permutasi..

dan τ(1) = 2, τ(2) = 3, τ(3) = 5, τ(4) = 4, τ(5) = 6, τ(6) = 1. Karena φ dan τ adalah fungsi, maka dapat dikonstruksi komposisi fungsi φ ◦ τ : A → A sebagai berikut φ ◦ τ(1) = φ(τ(1)) = φ(2) = 6, φ ◦ τ(2) = φ(τ(2)) = φ(3) = 1, φ ◦ τ(3) = φ(τ(3)) = φ(5) = 3, didapat ! 1 2 3 4 5 6 φ◦τ= . 6 1 3 2 5 4 Dengan cara yang sama didapat ! 1 2 3 4 5 6 τ◦φ= . 4 1 2 3 5 6 Catatan bahwa hasil komposisi fungsi juga fungsi bijektif oleh karenanya juga permutasi. Pada umumnya komposisi dari permutasi tidak komutatif, dalam contoh terlihat bahwa φ ◦ τ , τ ◦ φ.



Definisi 2.4.2 Diberikan dua permutasi φ dan τ pada suatu himpunan A komposisi φ◦τ dinamakan produk permutasi dari φ dan τ dan operasi komposisi disebut perkalian permutasi. X



Perkalian permutasi adalah operasi yang akan digunakan untuk membuat himpunan semua permutasi pada suatu himpunan A membentuk grup. Perlu diingatkan lagi, dimana grup permutasi ini telah dikenal. Contoh 2.4.6 Misalkan dicari semua permutasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Pertama, perlu dicatat akan ada tepat enam permutasi. Bila dimulai dari 1 ada tiga kemungkinan pengaitan 1 → 1, 1 → 2 atau 1 → 3, selanjutnya untuk 2 tinggal 2 pilihan pengaitan sebab fungsinya pada dan untuk 3 tinggal satu pilihan pengaitan. Dengan demikian ada sebanyak 3 · 2 · 1 = 6 permutasi. Enam permutasi pada A adalah: !

1 2 3 ρ= 2 3 1

!

1 2 3 ρτ = 2 1 3

1 2 3 ρ0 = 1 2 3 1 2 3 τ= 1 3 2

!

1 2 3 ρ2 = 3 1 2

!

!

! 1 2 3 ρ2 τ = . 3 2 1

Permutasi yang terbentuk sudah dikenal sebagai grup simetri dari segitiga sama sisi S3 yang sudah dibahas dalam Contoh 2.1.5.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

86

Grup..

Teorema 2.4.1 Diberikan A = {1, 2, 3, . . . , n} dan Sn adalah himpunan semua permutasi pada A. Maka Sn adalah suatu grup terhadap perkalian permutasi. Bukti (Tertutup) Dari Teorema 1.1.1 menyatakan bahwa komposisi fungsi satu-satu dan pada menghasilkan fungsi satu-satu dan pada. Karena permutasi adalah fungsi satusatu dan pada serta perkalian permutasi bermakna komposisi fungsi, maka berdasarkan teorema yang telah disebutkan sifat tertutup dipenuhi. (Assosiatif) Sifat ini juga dipenuhi berdasarkan Teorema 1.1.1. (Identitas) Permutasi yang didefinisikan oleh ρ0 (i) = i untuk semua i ∈ A adalah elemen identitas terhadap perkalian permutasi. (Invers) Untuk sebarang φ ∈ Sn , φ adalah satu-satu dan pada, maka berdasarkan Teorema 1.1.3 fungsi diberikan oleh φ−1 (i) = j dimana φ(j) = i adalah terdefinisi dengan baik dan merupakan invers dari φ terhadap operasi perkalian permutasi. X



Karena elemen-elemen dari sebarang himpunan dengan n elemen dapat dilabel oleh 1, 2, 3, . . . , n,berlaku juga Teorema 2.4.1 berlaku juga untuk seberang himpunan berhingga A. Definisi 2.4.3 Grup dari himpunan Sn terhadap operasi perkalian permutasi dinamakan X grup simetri berderajad n.



Proposisi 2.4.1 Grup simetri Sn mempunyai order |Sn | = n!. Bukti Misalkan φ ∈ Sn , φ dapat ditulis sebagai

! 1 2 3 ... n −1 n φ= . φ(1) φ(2) φ(3) . . . φ(n − 1) φ(n)

Ada sebanyak n pilihan untuk menetapkan niali φ(1). Sekali telah dipilih suatu nilai untuk φ(1), ada sebanyak n−1 pilihan untuk menetapkan nilai φ(2). Sekali nilai φ(1) dan φ(2) dipilih, ada sebanyak n − 2 pilihan untuk menetapkan nilai φ(3), dan seterusnya. Dengan demikian ada sebanyak n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 = n!.

•X

Contoh 2.4.7 Diberikan himpunan A = {1, 2, 3, . . . , 9} dan permutasi ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 φ= ∈ S9 . 7 9 1 8 6 4 3 5 2 Selanjutnya dibahas aplikasi dari φ secara berulang dikenakan pada berbagai elemen dari himpunan A: 1 → φ(1) = 7 → φ2 (1) = φ(7) = 3 → φ3 (1) = φ(3) = 1. Permutasi φ dikenakan pada 1 sebanyak 3 kali, hasilnya kembali lagi ke 1. 2 → φ(2) = 9 → φ2 (2) = φ(9) = 2. Permutasi φ dikenakan pada 2 sebanyak 2 kali, hasilnya kembali lagi ke 2. 4 → φ(4) = 8 → φ2 (4) = φ(8) = 5 → φ3 (4) = φ(5) = 6 → φ4 (4) = φ(6) = 4. Permutasi φ dikenakan pada 4 sebanyak 4 kali, hasilnya kembali lagi ke 4. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

87

Permutasi..

2b

1b 3

b

4b 6

b

b

b b

b

7

9

5

8

Gambar 2.6: Pengulangan φ dikenakan pada i ∈ A

Pertama pemutasi φ berturut-turut memetakan : 1 ke 7, 7 ke 3, 3 ke 1 dan tinggalkan elemen yang lain tetap didapat (1 7 3). Selanjutnya dengan cara yang sama didapat (2 9) dan (4 8 5 6). Tiga permutasi yang didapat diberikan oleh Gambar 2.6. Permutasi asal φ adalah produk φ = (1 7 3)(2 9)(4 8 5 6). Akibatnya, permutasi φ mempartisi himpunan A = {1, 2, 3, 4, . . . , 9} menjadi tiga himpunan bagian yang saling asing, dengan demikian menentukan suatu relasi ekivalen pada himpunan A. Dua elemen i, j ∈ A ekivalen , ditulis i ∼ j bila φn (i) = j untuk beberapa n ∈ Z. Jadi 1 ∼ 3 sebab φ2 (1) = 3 dan 4 ∼ 6 sebab φ3 (4) = 6. Klas ekivalennya adalah {1, 7, 3}, {2, 9} dan {4, 8, 5, 6}.



Teorema 2.4.2 Diberikan permutasi φ ∈ Sn , maka φ menentukan suatu ralasi klas ekivalen pada himpunan A = {1, 2, 3, . . . , n} yang didefinisikan oleh kondisi untuk r, s ∈ A, r ∼ s bila dan hanya bila s = φi (r) untuk beberapa i ∈ Z. Bukti (Refkesif) r ∼ r sebab r = φ0 (r). (Simetri) Bila r ∼ s, didapat s = φi (r) untuk beberapa i ∈ Z. Dengan demikian r = φ−i (s), dimana −i ∈ Z. Jadi s ∼ r. (Transitif) Bila r ∼ s dan s ∼ t, maka s = φi (r) dan t = φ j (s) untuk beberapa i, j ∈ Z. X Dengan demikian, t = φ j (s) = φ j (φi (r)) = φ j+i (r) dimana j + i ∈ Z. Jadi r ∼ t.



Definisi 2.4.4 Diberikan φ ∈ Sn , klas ekivalen dalam A = {1, 2, 3, . . .} yang ditentukan oleh φ dinamakan orbit dari φ. X



Definisi 2.4.5 Suatu permutasi σ ∈ Sn dinamakan sikel bila permutasi ini setidaknya adalah satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Panjang dari sikel adalah banyaknya elemen yang paling besar pada orbit-orbitnya. Suatu sikel dengan panjang k juga dinamakan sikel-k dan dapat ditulis (a1 a2 . . . ak ), dimana untuk semua i, ai adalah elemen dari orbit terbesar dan a2 = σ(a1 ), a3 = σ2 (a1 ) = σ(a2 ), . . . , ak = σk−1 (a1 ) = σ(ak−1 ), a1 = σk (a1 ) = σ(ak ). Dua sikel saling asing bila himpunan orbitnya saling asing.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

88

Grup..

Contoh 2.4.8 Semua sikel-3 dalam S4 adalah (1 2 3) (1 3 4)

(1 3 2) (1 4 3)

(1 2 4) (2 3 4)

(1 4 2) (2 4 3).

Catatan, sikel yang sama dapat ditulis lebih dari satu cara, misalnya (1 2 3) = (2 3 1) = (3 1 2).



Teorema 2.4.3 Setiap permutasi φ ∈ Sn dapat ditulis sebagai produk dari sikel-sikel yang saling asing. Bukti Misalkan orbit dari φ adalah O1 , O2, . . . , Os . Untuk masing-masing orbit Oi didefinisikan sikel yang sesuai σi sebagai berikut:    φ(a), bila a ∈ Oi σi (a) =   a, bila a < Oi .

Sikel-sikel adalah saling asing sebab orbit Oi adalah klas ekivalen dengan demikian σi adalah sikel yang saling asing. Selanjutnya ditunjukan bahwa φ = σ1 σ2 . . . σs . Misalkan sebarang a ∈ A, bila a ∈ Oi , maka σ1 σ2 . . . σs (a) = σi (a) = φ(a), dan bila a < Oi , maka a ∈ O j0 untuk suatu j0 , i dengan 1 ≤ j0 ≤ s, sehingga didapat σ1 σ2 . . . σs (a) = σ j0 (a) = φ(a). Jadi φ(a) = σ1 σ2 . . . σs (a) untuk semua a ∈ A. Dengan demikian φ = σ1 σ2 . . . σs . Contoh 2.4.9 Dalam S6 , diberikan sikel σ = (1 3 5 4) dan τ = (1 5 6). Didapat ! 1 2 3 4 5 6 τσ = (1 5 6)(1 3 5 4) = 3 2 6 5 4 1 dan

•X

! 1 2 3 4 5 6 στ = (1 3 5 4)(1 5 6) = . 4 2 5 1 6 3

Terlihat bahwa τσ , στ.



Dalam Contoh 2.4.9 menunujukkan bahwa produk dari dua sikel tidak komutatif. Sifat berikut ini memberikan suatu kondisi bahwa produk dua sikel adalah komutatif. Proposisi 2.4.2 Misalkan σ1 dan σ2 adalah dua sikel yang saling asing di Sn . Maka σ1 σ2 = σ2 σ1 .

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

89

Permutasi..

Bukti Misalkan O1 dan O2 masing-masing adalah orbit dari sikel σ1 dan σ2 yang saling asing. Catatan, untuk i = 1 atau i = 2, didapat σi (a) ∈ Oi bila a ∈ Oi dan σi (a) = a bila a < Oi . Oleh karena itu, bila b ∈ O1 , maka σ1 σ2 (b) = σ1 (σ2 (b)) = σ1 (b) dan σ2 σ1 (b) = σ2 (σ1 (b)) = σ1 (b). Selanjutnya bila b < O1 ini berarti b ∈ O2 , didapat σ1 σ2 (b) = σ1 (σ2 (b)) = σ2 (b) dan σ2 σ1 (b) = σ2 (σ1 (b)) = σ2 (b). Dengan demikian σ1 σ2 (b) = σ2 σ1 (b), ∀b ∈ O1 ∪ O2 . Jadi σ1 σ2 = σ2 σ1 .

•X

Proposisi yang baru saja dibahas dapat digunakan untuk menghitung order permutasi. Contoh 2.4.10 Dalam S10 , diberikan permutasi ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 φ= . 8 6 10 7 2 9 5 3 4 1 Dalam notasi sikel didapat φ = (1 8 3 10) (2 6 9 4 7 5). Order dari (1 8 3 10) adalah 4 dan order dari (2 6 9 4 7 5) adalah 6. Karena dua permutasi tersebut saling asing, maka komutatif, jadi |φ| = kpk(4, 6) = 12.



Contoh 2.4.11 Elemen dari D4 grup simetri dari segi empat beraturan dapat direpresentasikan sebagai permutasidalam S4 dengan melabel empat titik sudut pada persegi: 1, 2, 3, 4 sebagaimana dalam Contoh 2.1.6. Didapat ρ0 = identitas ρ = (1 2 3 4) ρ2 = (1 3)(2 4) ρ3 = (1 4 3 2)

τ = (1 2)(3 4) ρτ = (1 2 3 4)(1 2)(3 4) = (1 3) ρ2 τ = (1 3)(2 4)(1 2)(3 4) = (1 4)(2 3) ρ3 τ = (1 4 3 2)(1 2)(3 4) = (2 4).



Contoh 2.4.12 Untuk menghitung produk φ = (1 4)(1 3)(1 2), dilakukan sebagai berikut: Dimulai dari permutasi (1 2) yang mengubah 1 menjadi 2, sedangkan (1 3) dan (1 4) tidak mengubah 2, jadi φ(1) = 2. Kemudian, (1, 2) mengubah 2 menjadi 1 sedangkan (1, 3) mengubah 1 menjadi 3 dan (1 4) tidak mengubah 3, jadi φ(2) = 3. Berikutnya, (1 2) tidak mengubah 3, (1 3) mengubah 3 menjadi 1 dan (1 4) mengubah 1 menjadi 4, jadi φ(3) = 1. Terakhir, (1 2) tidak mengubah 4, (1 3) juga tidak mengubah 4, sedangkan (1 4) mengubah 4 menjadi 1, jadi φ(4) = 1. Dengan demikian didapat φ = (1 4) (1 3) (1 2) = (1 2 3 4).



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

90

Grup..

Teorema 2.4.4 Setiap sikel dapat ditulis sebagai produk dari sikel-2. Bukti Suatu cara yang sama sebagaimana telah dikerjakan dalam Contoh 2.4.12, secara umum didapat (a1 a2 a3 · · · an ) = (a1 an )(a1 an−1 ) · · · (a1 a3 )(a1 a2 ).

•X

Proposisi 2.4.3 Setiap permutasi dapat ditulis sebagai produk dari sikel-2. Bukti Pertama, tulis sebarang permutasi sebagai produk dari sikel yang saling asing (berdasarkan Teorema 2.4.3). Selanjutnya pada sikel-sikel yang terbentuk gunakan Teorema 2.4.4 didapat semua sikel yang terbentuk dapat ditulis sebagai produk dari sikel-2. Dengan demikian sebarang permutasi dapat ditulis sebagai produk dari sikel-2. X



Contoh 2.4.13 Umumnya, suatu permutasi dapat ditulis sebagai prduk dari sikel-2 dalam beberapa cara. Misalnya, dalam S6 permutasi identitas dapat ditulis sebagai (1 2)(1 2) dan juga sebagai (1 2)(3 4)(1 2)(3 4) dan sebagainya. Permutasi (1 2 3) dapat ditulis sebagai (1 3)(1 2) tetapi dapat juga sebagai (3 4)(1 2) atau sebagai (4 5)(1 3)(4 5)(1 2). Permutasi (1 2 3 4) dapat ditulis sebagai (1 4)(1 3)(1 2) juga dapat ditulis sebagai (5 6)(1 4)(1 3)(5 6)(1 2). Catatan, apapun penyajian penulisan pada semua penulisan produk dari sikel-2 dengan cara yang berbeda tersebut semuanya berkaitan dengan banyaknya sikel-2 yang terbentuk genap atau ganjil.



Contoh 2.4.14 Misalkan n bilangan bulat positip. Untuk sebarang barisan berhingga dari bilangan bulat s = (a1 , a2 , . . . , an ) didefinisikan

def

p(s) =

Y

1≤i
(ai − a j )

dan untuk sebarang τ ∈ Sn , misalkan τs = (aτ(1) , aτ(2) , · · · , aτ(n) ). Misalnya untuk n = 6 dan s = (1, 2, 3, 4, 5, 6), didapat p(s) = (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)(1 − 6)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)(2 − 6) (3 − 4)(3 − 5)(3 − 6)(4 − 5)(4 − 6)(5 − 6), bila τ = (2 5), maka τs = (1, 5, 3, 4, 2, 6). Dengan demikian p(τs) = (1 − 5)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 2)(1 − 6)(5 − 3)(5 − 4)(5 − 2)(5 − 6) (3 − 4)(3 − 2)(3 − 6)(4 − 2)(4 − 6)(2 − 6), dimana suku-suku yang digaris bawahi mempunyai tanda yang berubah. Suku-suku ini adalah (2 − 5), suku-suku (2 − j) untuk 2 < j < 5 dan suku-suku (i − 5) untuk 2 < i < 5. Catatan ada lima suku-suku tersebut Jadi tampa melakukan proses perkalian yang panjang terlihat bahwa p(τs) = (−1)5 p(s) = −p(s).



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

91

Permutasi..

Teorema 2.4.5 Dengan notasi sebagaimana baru saja dibahas, untuk sebarang bilangan bulat positip n, sebarang barisan bilangan bulat s = (a1 , a2 , . . . , an ) dan sebarang sikel-2 τ ∈ Sn , maka p(τs) = −p(s). Bukti Misalkan τ = (k l), dimana k < l dan misalkan dibandingkan produk dari p(s) dan p(τs). Dibedakan lima kasus: (1) Bila i < k, maka untuk sebarang j dengan i < j, didapat i = τ(i) dan i < τ(j), juga suku (ai − aτ( j) ) adalah suatu faktor dari p(τs) dan p(s). (2) Bila l < j, maka untuk sebarang i dengan i < j, dengan argumen yang sama suku (aτ(i) − a j ) adalah suatu faktor dari p(τs) dan p(s). (3) Bila i = k, maka untuk sebarang j dengan k < j < l didapat j = τ(j) dan (aτ(k) − aτ( j) ) = (al − a j ) = −(a j − al ). Jadi suku (a j − al ) di p(s) berubah tanda di p(τs). Dalam kasus ini, ada sebanyak (l − k − 1) suku yang berubah. (4) Bila j = l, maka untuk sebarang i dengan k < i < l, dengan argumen yang sama seperti yang dilakukan di (3), suku (al − ak ) di p(s) berubah tanda di p(τs). Ada sebanyak (l − k − 1) perubahan tanda. (5) Terakhir, (aτ(k) − aτ(l) ) = (al − ak ) = −(ak − al ), terlihat bahwa suku (ak − al ) di p(s) mengalami perubahan tanda di p(τs). Dari lima kasus yang telah dibahas total perubahan tanda yang terjadi dari p(s) menjadi p(τs) adalah 2(l − k − 1) + 1 yang merupakan bilangan bulat ganjil, dengan demikian X didapat p(τs) = −p(s).



Teorema 2.4.6 Tidak ada permutasi di Sn dapat ditulis sebagai produk dari sikel-2 sebanyak bilangan bulat genap dan sekaligus produk dari sikel-2 sebanyak bilangan bulat ganjil. Bukti Menggunakan notasi yang sama sebagaimana dalam pembahasan Teorema 2.4.5, misalkan τ dan ρ dua sikel-2 di Sn . Maka untuk sebarang barisan s = (a1 , a2 , . . . , an ) didapat (ρτ)s = = = =

(aρτ(1) , aρτ(2), . . . , aρτ(n) ) (aρ(τ(1)) , aρ(τ(2)) , . . . , aρ(τ(n))) ρ(aτ(1) , aτ(2), . . . , aτ(n)) ρ(τs),

dengan demikian didapat p((ρτ)s) = p(ρ(τs)) = −1 p(τs) = (−1)2 p(s). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

92

Grup..

Dengan cara yang sama, diberikan sebarang permutasi φ ∈ Sn , bila φ adalah produk dari sikel-2 sebanyak k, maka p(φs) = (−1)k p(s). Dengan demikian diberikan sebarang φ ∈ Sn , maka k salah satu dari dari hal yang berikut: k selalu genap atau k selalu ganjil dan tidak mungkin terjadi kedua-duanya untuk segala cara penulisan φ sebagai suatu produk dari sikel-2. X



Definisi 2.4.6 Suatu permutasi φ ∈ Sn dinamakan permutasi genap bila φ dapat dituliskan sebagai produk dari sikel-2 sebanyak bilangan bulat genap dan dinamakan permutasi ganjil bila φ dapat dituliskan sebagai produk dari sikel-2 sebanyak bilangan bulat ganjil. X



Proposisi 2.4.3 menjamin bahwa sebarang permutasi dapat dikelompokkan sebagai permutasi genap atau ganjil. Sedangkan Teorema 2.4.6 menyatakan bahwa sebarang permutasi adalah genap atau ganjil tidak bisa terjadi dua-duanya. Contoh 2.4.15 Dalam S9 , diberikan permutasi ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 φ= . 9 5 1 7 8 2 6 4 3 Permutasi φ dapat ditulis sebagai φ = (1 9 3)(2 5 8 4 7 6) = (1 3)(1 9)(2 6)(2 7)(2 4)(2 8)(2 5). Terlihat bahwa φ bisa disajikan oleh produk sikel-2 sebanyak 7, dengan demikian φ adalah permutasi ganjil. Menggunakan fakta dalam sebarang grup, maka (ab)−1 = b−1 a−1 , didapat φ−1 = (2 5)(2 8)(2 7)(2 6)(1 9)(1 3) = (2 6 7 4 8 5)(1 3 9) = (1 3 9)(2 6 7 4 8 5). Catatan bahwa, φ−1 juga permutasi ganjil.



Teorema 2.4.7 Misalkan An adalah himpunan semua permutasi genap di Sn . Maka An adalah subgrup dari Sn dalam hal ini An dinamakan grup alternating derajad n. Bukti Menggunakan Teorema 2.2.2 cukup dibuktikan tertutup dan eksistensi invers. (Tertutup) Bila φ, ρ ∈ An , maka φ dan ρ masing-masing dapat dituliskan sebagai produk dari sikel-2 sebanyak bilangan genap 2r dan 2s. Dengan demikian φρ dapat dituliskan sebagai produk dari sikel-2 sebanyak 2r + 2s = 2(r + s). Jadi φρ ∈ An . (Invers) Bila | {z } genap

φ ∈ An , maka φ dapat dituliskan sebagai produk sikel-2:

φ = σ1 σ2 · · · σ2r , 2r adalah genap, c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

93

Permutasi..

didapat φ−1 = (σ1 σ2 · · · σ2r )−1 = (σ2r )−1 · · · (σ2 )−1 (σ1 )−1 = σ2r · · · σ2 σ1 .

Terlihat bahwa φ−1 ∈ An .

•X

Contoh 2.4.16 Dalam S3 , dimana |S3 | = 3! = 6, himpunan permutasi genap adalah A3 = {ρ0 = elemen identitas, ρ = (1 2 3), ρ2 = (1 3 2)}. Terlihat ada tepat sebanyak 3 pemutasi genap, jadi banyaknya permutasi ganjil dalam S3 adalah 6 − 3 = 3. Selanjutnya dalam S4 dimana |S4 | = 4! = 24. Bila elemen di A4 ditulis sebagai produk sikel-sikel yang saling asing, didapat tiga permutasi yang yang mengubah semua elemen, yaitu σ1 = (1 2)(3 4)

σ2 = (1 3)(2 4)

σ3 = (1 4)(2 3).

Untuk i dengan 1 ≤ i ≤ 4 ada dua permutasi di A4 yang membuat i tetap. Sehingga ada delapan permutasi di A4 yang membuat tepat satu elemen tidak berubah (tetap) yaitu ρ1 ρ2 ρ3 ρ4

= (2 3 4) = (1 3 4) = (1 2 4) = (1 2 3)

ρ21 ρ22 ρ23 ρ24

= (2 4 3) = (1 4 3) = (1 4 2) = (1 3 2)

1 tetap 2 tetap 3 tetap 4 tetap.

Dalam A4 tidak ada permutasi yang membuat tetap dua elemen, elemen-elemen ini adalah sikel-2 yang tidak di A4 . Satu lagi elemen di A4 adalah elemen identitas. Jadi ada dua belas elemen di A4 : A4 = {ρ0 = elemen identiats, ρ1 , ρ21 , ρ2 , ρ22 , ρ3 , ρ23 , ρ4 , ρ24 , σ1 , σ2 , σ3 }.



Pada pembahasan A3 dalam S3 dan A4 dalam S4 tepat separuh dari permutasinya adalah permutasi genap. Hal ini berlaku secara umum untuk Sn dengan n ≥ 3. Teorema 2.4.8 Order dari grup alternating derajad n dengan n ≥ 3 adalah |An | = |Sn |/2 = n!/2. Bukti Misalkan On adalah himpunan semua permutasi ganjil di Sn . Karena setiap permuatasi di Sn adalah salah satu diantara berikut yaitu berada di An atau berada di On tetapi tidak di keduanya. Dengan demikian n! = |Sn | = |An | + |On |. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

94

Grup..

Jadi untuk membuktikan teorema cukup dibuktikan |An | = |On |. Untuk hal ini dibuat suatu pementaan γ : An → On , dengan aturan γ(φ) = φ(1 2), ∀φ ∈ An . Selanjutnya dibuktikan γ adalah satu-satu dan pada. Pemetaan γ adalah satu-satu, sebab bila γ(φ) = γ(ψ) didapat φ(1 2) = ψ(1 2) hal ini berakibat bahwa φ = φ(1 2)(1 2) = ψ(1 2)(1 2) = ψ. Terlihat bahwa γ adalah satu-satu. Tinggal menunjukkan γ adalah pada sebagai berikut. Karena sebarang τ ∈ On adalah permutasi ganjil, maka τ(1 2) ∈ An adalah permuatsi genap yang memenuhi γ(τ(1 2)) = τ(1 2)(1 2) = τ. X



Contoh 2.4.17 Sebagaimana telah dibahas dalam Contoh 2.1.6 D4 adalah subgrup dari S4 . Dengan cara yang sama, D5 adalah subgrup dari S5 , elemen-elemen dari D5 adalah: ρ0 = identitas ρ = (1 2 3 4 5) ρ2 = (1 3 5 2 4) ρ3 = (1 4 2 5 3) ρ4 = (1 5 4 3 2)

τ = (1 5)(3 4) ρτ = (1 2 3 4 5)(2 5)(3 4) = (1 2)(3 5) ρ2 τ = (1 3)(4 5) ρ3 τ = (1 4)(2 3) ρ4 τ = (1 5)(2 4).

Terlihat semua elemen di D5 adalah permutasi genap dalam S5 . Jadi D5 adalah subgrup dari A5 .



Latihan Latihan 2.4.1 Tentukan mana fungsi berikut yang merupakan permutasi atau tidak. Jelaskan jawaban saudara. √ 2. f : R → R, dimana f (x) = 3x2 + 2 1. f : R → R, dimana f (x) = 3x + 2 3. f : Z → Z, dimana f (x) = |x| 4. f : U(5) → U(5), dimana f (x) = x−1 5. f : Z6 → Z6 , dimana f (x) = x + 3. X



Latihan 2.4.2 Dapatkan semua orbit dari permutasi berikut. ! ! 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. φ = 2. φ = 7 6 3 2 1 4 5 6 5 9 4 1 8 7 2 3 3. τ : Z → Z, dimana τ(x) = x + 5

Latihan 2.4.3 Misalkan

4. τ : Z → Z, dimana τ(x) = x − 3.

! 1 2 3 4 5 6 7 8 φ= , 3 8 4 1 6 7 2 5 Hitung: (a) φτ dan τφ (c) φ−1 dan τ−1

(b) φ2 τ dan φτ2 (d) |φ| dan |τ|.

! 1 2 3 4 5 6 7 8 τ= . 6 4 1 2 7 8 5 3

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

95

Permutasi..

Latihan 2.4.4 Ungkapkan permutasi berikut sebagai suatu produk dari sikel yang saling asing dan hitung ordernya. ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. φ = 1 8 2 9 7 5 4 3 10 6 ! ! 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2. φ = 5 6 2 4 3 7 1 7 6 4 5 1 3 2 ! ! ! 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3. φ = . X 3 1 5 2 4 2 4 1 5 3 4 5 3 1 2



Latihan 2.4.5 Tunjukkan bahwa permutasi sikel-n mempunyai order n.

•X

Latihan 2.4.6 Tunjukkan bahwa bila ρ dan σ di Sn adalah sikel-sikel yang saling asing dan φ = ρσ, maka |φ| = kpk(|ρ|, |σ|). X



Latihan 2.4.7 Tunjukkan bahwa permutasi sikel-m adalah suatu permutasi genap bila dan hanya bila m adalah ganjil. X



Latihan 2.4.8 Tunjukkan bahwa himpunan semua permuatsi ganjil dalam Sn bukan suatu subgrup dari Sn . X



Latihan 2.4.9 Dapatkan order terbesar dari elemen-elemen dalam grup: 1. S4 , 2. S5 3. S6 4. S7 5. A5 6. A6 7. A7 . X



Latihan 2.4.10 Tunjukkan bahwa sebarang subgrup H dari grup Sn adalah salah satu dari hal yang berikut: setiap elemen dari H adalah suatu permutasi genap atau bila tidak H = An . X



Latihan 2.4.11 Buat tabel hasil operasi dalam grup A4 . Latihan 2.4.12 Misalkan H = {σ ∈ S4 | σ(2) = 2}. (a) Tunjukkan bahwa H adalah subgrup dari S4 . (b) Berapakah |H|? (c) Dapatkan semua permutasi genap dalam H.

•X

•X

Latihan 2.4.13 Misalkan n ≥ 3, i ≤ 3 dan H = {σ ∈ Sn | σ(i) = i}. (a) Tunjukkan bahwa H adalah subgrup dari Sn . (b) Berapakah |H|? (c) Dapatkan semua permutasi genap dalam H. X



Latihan 2.4.14 Tunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan bulat n ≥ 3 grup Sn adalah takkomutatif. X



Latihan 2.4.15 Dapatkan semua elemen yang berorder 2 dalam S4 .

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

96

Grup..

Latihan 2.4.16 Tunjukkan bahwa bila σ ∈ Sn dan |σ| = 2, maka σ adalah suatu produk dari sikel-2 yang saling asing. X



Latihan 2.4.17 Tunjukkan bahwa bila σ ∈ Sn , maka σ dapat dituliskan sebagai suatu X produk dari sikel-3.



Latihan 2.4.18 Tunjukkan bahwa bila σ ∈ Sn , maka σ dapat dituliskan sebagai suatu X produk dari sikel-3 (1 2 s) dimana s = 3, 4, . . . , n.



Latihan 2.4.19 Tunjukkan bahwa setiap permutasi ρ ∈ Sn dapat dituliskan sebagai suatu X produk sikel-2 berbentuk (i i + 1) dimana 1 ≤ i ≤ n.



Latihan 2.4.20 Tunjukkan bahwa setiap permutasi φ ∈ Sn dapat dituliskan sebagai suatu X produk dari pangkat ρ = (1 2 3 · · · n) dan φ = (1 2).



Latihan 2.4.21 Tunjukkan bahwa bila m ≤ n, maka banyaknya sikel-m (a1 a2 a3 · · · am ) dalam Sn adalah n(n − 1)(n − 2) · · · (n − m + 1)/m. X



Latihan 2.4.22 Diberikan gambar tetrahedon teratur berikut. 1

4 2 3 Gambar 2.7: Tetrahedron

(a) Dapatkan semua rotasi yang mugkin dari tetrahedron teratur. (b) Dapatkan semua rotasi dari tetrahedron teratur yang membentuk grup.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

97

Permutasi..

Latihan 2.4.23 Diberikan gambar kubus berikut. 2

1

3

4 6

5 8

7

Gambar 2.8: Kubus

Dapatkan suatu grup yang elemen-elemennya berkaitan dengan rotasi dari kubus.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

98

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Grup..

Bab

3

Homomorpisma Grup Pada pembahasan sebelumnya telah diberikan pengertian dari grup dan sifat-sifatnya dan dibahas berbagai macam grup yang berbeda dan subgrupnya. Pada bab ini dikenalkan empat pengertian dasar baru kesemuanya mempunyai keterkaitan yang erat. Pertama ditunjukkan bagaimana suatu subgrup menentukan suatu relasi ekivalen pada elemen-elemen grup. Oleh karena itu mempartisi grup kedalam klas ekivalen yang dinamakan koset dari subgrup. Partisi ini digunakan untuk memberikan suatu bukti yang sederhana dan elok pada teorema Lagrange merupakan hasil yang sangat dasar dalam teori grup. Kedua dikenalkan suatu pemetaan tertentu dikenakan pada grup yang dinamakan homomorpisma. Ketiga, ditunjukkan bagaimana pengertian suatu homomorpisma menimbulkan suatu gagasan subgrup khusus yang dinamakan subgrup normal. Keempat, image dari suatu grup oleh homomorpisma adalah suatu grup dengan struktur khusus. Selanjutnya ditunjukkan bahwa hal itu dapat dianggap sebagai suatu grup yang elemen-elemennya merupakan koset dari subgrup normal dari grup yang diberikan. Grup yang demikian dinamakan grup kuasi/grup faktor. Empat konsep baru: koset, homomorpisma, subgrup normal dan grup kuasi akan tampak alami setelah disadari betapa saling keterkaitannya.

3.1 Koset dan Teorema Lagrange Sudah ditunjukkan bahwa dalam Teorema 2.3.4 bila G adalah suatu grup siklik berhingga dan H adalah suatu subgrup dari G, maka order H membagi order G. Pada bagian ini dibuktikan teorema Lagrange, yang menyatakan pernyataan dalam Teorema 2.3.4 berlaku untuk sebarang grup berhingga G. Untuk membuktikan hal ini, pertama ditunjukkan bagaimana suatu subgrup H menentukan suatu relasi ekivalen pada G. Kemudian ditunjukkan bahwa masing-masing klas ekivalen ini banyaknya elemen adalah sama dan sama dengan banyaknya elemen H. Dari sini terlihat bahwa banyaknya elemen-elemen di G adalah kelipatan dari banyaknya elemen-elemen di H. Dimulai dari contoh-contoh untuk memberikan gambaran bagaimana sebarang subgrup H dari 99

100

Homomorpisma Grup..

sebarang grup G menentukan suatu relasi ekivalen pada G, bahkan hal ini tidak hanya pada grup berorder hingga. Contoh 3.1.1 Dalam grup Z, misalkan subgrup 3Z = h3i. Untuk bilangan bulat a, b ∈ Z, relasi ekivalen a ∼ b berlaku bila b − a ∈ 3Z atau dengan kata lain, bila a ≡ b mod 3. Maka tiga klas ekivalen adalah: 3Z = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, . . .}, 1 + 3Z = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . .}, dan 2 + 3Z = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, . . .}.



Contoh 3.1.2 Dalam grup Z15 , misalkan subgrup H = h[3]15 i. Maka H mempartisi Z15 sebagai berikut: H = {[0]15 , [3]15 , [6]15 , [9]15 , [12]15 }, [1]15 + H = {[1]15 , [4]15 , [7]15 , [10]15 , [13]15 }, dan [2]15 + H = {[2]15 , [5]15 , [8]15 , [11]15 , [14]15 }. Lagi, dari apa yang dibahas ini secara langsung relasi ekivalen dapat diungkapkan sebagai a ∼ b bila b − a ∈ H.



Berikut ini dinyatakan bahwa suatu relasi ekivalen ditentukan oleh suatu subgrup H dari sebarang grup G. Teorema 3.1.1 Misalkan G sebarang grup dan H adalah subgrup dari G. Maka (1) Untuk a, b ∈ G, relasi yang didefinisikan oleh a ∼ b bila a−1 b ∈ H adalah suatu relasi ekivalen pada G. (2) Untuk sebarang a ∈ G, klas ekivalen dari a adalah aH = {ah | h ∈ H}. Bukti (1) (Refleksif) Untuk sebarang a ∈ G, karena H subgrup dari G didapat e = a−1 a ∈ H. Jadi a ∼ a. (Simetri) Untuk sebarang a, b ∈ G. Bila a ∼ b, maka a−1 b ∈ H. Karena H subgrup dari G, maka b−1 a = (a−1 b)−1 ∈ H. Jadi b ∼ a. (Transitif) Untuk sebarang a, b, c ∈ G. Bila a ∼ b dan b ∼ c, maka a−1 b ∈ H dan b−1 c ∈ H. Karena H subgrup dari G, didapat a−1 c = (a−1 b)(b−1 c) ∈ H. Jadi a ∼ c. (2) Untuk sebarang a ∈ G klas ekivalen dari a memuat semua x ∈ G yang memenuhi a−1 x ∈ H. Bila x ∼ a, maka x = a(a−1 x) = ah dimana h = a−1 x ∈ H. Sebaliknya, bila x = ah untuk beberapa h ∈ H, maka a−1 x = (a−1 a)h = h ∈ H hal ini menunjukkan bahwa x ∼ a. X



Definisi 3.1.1 Misalkan G adalah suatu grup, H adalah suatu subgrup dari G dan sebarang a ∈ G tetapi tetap. Maka himpunan aH = {ah | h ∈ H} dinamakan koset kiri dari H dalam grup G dan himpunan Ha = {ha | h ∈ H} dinamakan koset kanan dari H dalam grup G. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

101

Koset dan Teorema Lagrange..

Contoh 3.1.3 Dalam S3 = {ρ0 , ρ, ρ2 , µ1 , µ2 , µ3} dan H = µ1 , maka koset kiri dari H adalah: H = {ρ0 , µ1 }, ρH = {ρ, ρµ1 = µ3 } dan ρ2 H = {ρ2 , ρ2 µ1 = µ2 }. Sedangkan koset kanan dari H adalah: H = {ρ0 , µ1 },

Hρ = {ρ, µ1 ρ = µ2 }

dan Hρ2 = {ρ2 , µ1 ρ2 = µ3 }.

Perlu diperhatikan bahwa dua relasi ekivalen yang ditentukan oleh H = µ1 memberikan dua partisi yang berbeda.



Dalam suatu grup komutatif G, karena semua elemen di G komutatif, maka koset kiri dan kanan dari suatu subgrup adalah sama. Contoh 3.1.4 Dalam Z perhatikan bahwa subgrup 3Z ⊇ 6Z. Koset dari 6Z dalam Z adalah 6Z, 1 + 6Z, 3 + 6Z, 4 + 6Z, 5 + 6Z. Sedangkan koset dari 6Z dalam 3Z adalah 6Z dan 3 + 6Z.



Teorema berikut memperlihatkan bahwa koset kiri dari suatu subgrup H dalam grup G mempartisi G menjadi klas-klas yang saling asing. Teorema 3.1.2 Untuk setiap dua elemen a dan b di grup G dan H < G, maka 1. Bila a ∼ b, maka aH = bH (Ha = Hb). 2. Bila a / b, maka aH ∩ bH = ∅ (Ha ∩ Hb = ∅). 3. aH = bH bila dan hanya bila a−1 b ∈ H (ab−1 ∈ H). Bukti 1. Misalkan a ∼ b, maka a−1 b = h0 untuk suatu h0 ∈ H, didapat b = ah0 atau a = bh−1 . 0 −1 Misalkan sebarang ah ∈ aH, didapat ah = h(bh0 )h = b(hh0 ) ∈ bH. Jadi aH ⊂ bH. Misalkan sebarang bh ∈ bH, maka bh = (ah0 )h = a(hh0 ) ∈ aH. Jadi bH⊂ aH. Maka dari itu, didapat aH = bH. 2. Misalkan a / b dan andaikan g ∈ aH ∩ bH, maka g = ah1 untuk suatu h1 ∈ H dan g = bh2 untuk suatu h2 ∈ H. Jadi a−1 = h1 g−1 dan b = gh−1 2 . Didapat −1 −1 −1 −1 a−1 b = (h1 g−1 )(gh−1 2 ) = h1 (g g)h2 = h1 eh2 = h1 h2 ∈ H

(sebab H < G).

Terlihat bahwa a ∼ b, kontradiksi dengan kenyataan bahwa a / b. Dengan demikian haruslah aH ∩ bH = ∅. 3. Misalkan a−1 b ∈ H, hal ini berarti bahwa a ∼ b. Akibatnya menurut hasil 1. didapat aH = bH. Sebaliknya misalkan aH = bH. Karena b ∈ bH, maka b ∈ aH. Jadi b = ah untuk beberapa h ∈ h atau a−1 b = h ∈ H. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

102

Homomorpisma Grup..

Teorema berikut menjelaskan bahwa banyaknya elemen sebarang koset dalam satu koset dengan koset yang lainnya adalah sama. Teorema 3.1.3 Misalkan G adalah grup dan H < G. Maka untuk sebarang a ∈ G, |H| = |aH| = |Ha|. def

Bukti Didefinisikan pemetaan f : H → aH oleh f (h) = ah, ∀h ∈ H. Pemetaan f adalah satu-satu, sebab bila f (h) = f (h1 ) atau ah = ah1 , maka h = h1 . Pemetaan f adalah pada, sebab bila diberikan sebarang ah ∈ aH, maka dapat dipilih h ∈ H sehingga f (h) = ah. Jadi pemetaan f adalah satu-satu pada, maka dari itu |H| = |aH|. Dengan cara yang sama def

bila didifisikan pemetaan g : H → Ha oleh g(h) = ha, ∀h ∈ H. Maka pemetaan g adalah satu-satu, sebab bila g(h) = g(h1 ) atau ha = h1 a, maka h = h1 . Pemetaan g adalah pada, sebab bila diberikan sebarang ha ∈ Ha, maka dapat dipilih h ∈ H sehingga g(h) = ha. Jadi pemetaan g adalah satu-satu pada, maka dari itu |H| = |Ha|. X



Teori-teori yang telah dibahas digunakan untuk membuktikan teorema Lagrange, sebagaimana berikut. Teorema 3.1.4 (Teorema Lagrange) Misalkan G grup berhingga dan H < G. Maka (1) |H| membagi |G|. (2) Banyak nya koset yang berbeda dari H sama dengan |G|/|H|. Bukti Menggunakan Teorema 3.1.2 didapat koset kiri kiri dari H mempartisi G menjadi klas-klas yang saling asing. Misalkan a1 H, a2H, . . . , as H adalah semua koset kiri dari H yang saling asing dalam G, maka didapat s

z }| { |G| = |a1 H| + |a2 H| + · · · + |as H|,

dan dari Teorema 3.1.3 didapat |ai H| = |H| untuk semua ai ∈ G. Jadi |G| = s · |H| dan s = |G|/|H adalah banyaknya koset kiri dari H yang berbeda dalam G. X



Catatan bahwa, jugah sudah dibuktikan bahwa |aH| = |Ha| = |H|. Dengan demikian, |G|/|H| juga adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari H dalam G. Berikut ini diberikan nama untuk banyaknya koset yang berbeda dari H dalam G. Definisi 3.1.2 Misalkan G adalah suatu grup dan H < G. Maka banyaknya koset kiri dari H dalam G dinamakan indeks dari H dalam G dan dinotasikan oleh indeksG (H) atau [G : H]. X



Mengingat Definisi 3.1.2, maka dua pernyataan dalam Teorema 3.1.4 dapat dikombinasikan dalam formulasi |G| = |H| · [G : H]. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

103

Koset dan Teorema Lagrange..

Contoh 3.1.5 Misalkan H adalah subgrup dari grup G dengan |G| = 10, maka menurut teorema Lagrange didapat |H| = 1, 2, 5 atau 10. Misalnya, bila G = D5 = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 , ρ4 , τ, ρτ, ρ2τ, ρ3 τ, ρ4τ} sebagaimana dalam Contoh 2.4.17, maka D E D E ρ0 = 1, ρi = 5, |hτi| = ρi τ = 2, untuk 1 ≤ i ≤ 4 dan |D5| = 10.



Contoh 3.1.6 Grup simetri S3 dapat dilihat sebagai suatu subgrup dari grup simetri S4 dimana S3 = {φ ∈ S4 | φ(4) = 4}. Karena |S4 | = 4! = 24 dan |S3 | = 3! = 6, indeks [S4 : S3 ] = 24/6 = 4. Dengan demikian S3 mempunyai empat koset dalam S4 . Untuk mendapatkan empat koset yang berbeda dari S3 , pertama dapatkan elemen φ ∈ S4 tetapi φ < S3 , dengan kata lain φ(4) , 4. Salah satu elemen ini adalah φ = (1 2 3 4) ∈ S4 . Karena φ < S3 dengan menggunakan Teorema 3.1.2 bagian (3) didapat φS3 , S3 . Juga φ2 = (1 3)(2 4) < S3 dan φ−1 φ2 < S3 , gunakan lagi Teorema 3.1.2 bagian (3) didapat φ2 S3 , S3 dan φ2 S3 , φS3 . Terakhir, φ3 = (1 4 3 2) < S3 , φ−1 φ3 < S3 dan φ2 φ3 < S3 . Dengan demikian sekali lagi digunakan Teorema 3.1.2 bagian (3) didapat S3 , φS3 , φ2 S3 dan φ3 S3 adalah empat koset yang berbeda dari S3 dalam S4 .



Kesimpulan berikut adalah akibat langsung dari teorema Lagrange. Kesimpulan 3.1.1 Dalam suatu grup berhingga G, order |a| dari sebarang elemen a membagi order |G| dari grup G. Bukti Untuk sebarang elemen a ∈ G dengan |G| berhingga, misalkan H = hai. Maka H adalah suatu subgrup dari G dan menurut Kesimpulan 2.3.3 maka |H| = | hai | = |a|. Selanjutnya gunakan teorema Lagrange bagian (1) didapat |H| membagi |G|. Dengan demikian |a| membagi |G|. X



Kesimpulan berikut memberikan suatu hasil yang sangat penting.

Kesimpulan 3.1.2 Misalkan G adalah suatu grup berhingga dan sebarang elemen a ∈ G. Maka a|G| = e, dimana e adalah elemen netral dari G. Bukti Dari kesimpulan 3.1.1 didapat a|G| = am |a| , untuk beberapa m ∈ Z. Gunakan Kesimpulan 2.3.1, didapat  m am |a| = a|a| = em = e.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

104

Homomorpisma Grup..

Contoh 3.1.7 Misalkan G adalah grup berorder 7. Maka dengan menggunakan Teorema Lagrange G tidak mempunyai subgrup sejati tak-trivial. Sebab misalkan sebarang a ∈ G dan a , e, maka |a| , 1. Jadi |a| = 7 dan G = hai adalah siklik.



Teorema 3.1.5 Suatu grup yang berorder p dengan p adalah prima adalah grup siklik. Bukti Misalkan grup G dengan |G| = p dimana p adalah prima dan sebarang a ∈ G dengan a , e. Maka |a| , 1, jadi |a| = p = |G|. Dengan demikian G = hai. X



Contoh 3.1.8 Grup G taksiklik yang beroder |G| < 7 yang sudah dijumpai adalah dua macam: (1) Grup yang berorder 4, misalnya adalah U(8), U(12) dan grup-4 Klein V sebagaimana diberikan dalam Contoh 2.1.20. (2) Grup berorder 6, misalnya adalah S3 .



Pada bahasan akhir ini ditunjukkan suatu hasil terkenal dalam teori bilangan, yaitu Teorema Euler yang dapat diturukan dari Teorema Lagrange. Teorema 3.1.6 Diberikan bilangan bulat n ≥ 2 dan a dimana fpb(a, n) = 1. Maka aφ(n) ≡ 1 mod n. Bukti Gunakan algoritma pembagian bilangan bulat didapat, a = qn + r, dimana 0 ≤ r < n. Karena fpb(a, n) = 1, maka fpb(r, n) = 1. Jadi r ∈ U(n). Karena |U(n)| = φ(n) dan gunakan Kesimpulan 3.1.2 didapat rφ(n) = 1 di U(n). Dengan demikian aφ(n) ≡ rφ(n) ≡ 1 mod n. X



Teorema 3.1.7 (Teori Fermat Kecil) Bila p adalah prima, maka untuk sebarang bilangan bulat a didapat ap ≡ a mod p. Bukti Bila p membagi a, maka a ≡ 0 mod p dan jelas bahwa ap ≡ 0 mod p. Bila p tidak membagi a, maka fpb(a, p) = 1 dan gunakan Teorema 3.1.6 didapat aφ (p) ≡ 1 mod p. Tetapi φ(p) = p − 1. Dengan demikian didapat ap−1 = aφ(p) ≡ 1 mod p. Jadi ap ≡ a X mod p.



Contoh 3.1.9 Misalkan dihitung sisa pembagian dari 5148 oleh 7. Karena 56 ≡ 1 mod 7 dan 148 = 24 · 6 + 4 didapat 5148 = (56 )24 · 54 ≡ 1 · 54

mod 7 ≡ (−2)4

Jadi sisa pembagian dari 5148 oleh 7 adalah 2.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



mod 7 ≡ 2

mod 7.

105

Koset dan Teorema Lagrange..

Contoh 3.1.10 Misalkan akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilngan bulat n maka n13 − n habis dibagi oleh 15. Untuk menunjukkan bahwa 15 = 3 · 5 membagi n13 − n = n(n12 − 1) cukup ditunjukkan bahwa 3 dan 5 keduanya membagi n(n12 − 1). Jelas bahwa bila 3 membagi n, maka 3 membagi n(n12 − 1). Bila 3 tidak membagi n, maka n2 ≡ 1 mod 3, jadi n12 − 1 = (n2 )6 − 1 ≡ 0 mod 3. Terlihat bahwa 3 membagi (n12 − 1). Dengan demikan 3 membagi n(n12 − 1). Dengan cara yang sama didapat, bila 5 membagi n, maka 5 membagi n(n12 − 1) dan bila 5 tidak membagi n, maka n4 ≡ 1 mod 5. Jadi, n12 − 1 = (n2 )6 − 1 ≡ 0 mod 5. Terlihat bahwa 5 membagi n12 − 1. Dengan demikian 5 membagi n(n12 − 1).



Latihan Latihan 3.1.1 Dapatkan semua koset dari subgrup 5Z dalam Z.

•X

Latihan 3.1.2 Dapatkan semua koset dari 9Z dalam Z dan dalam 3Z.

•X

Latihan 3.1.3 Dapatkan semua koset dari h6i dalam Z12 dan semua koset dari h6i dalam subgrup h2i dari grup Z12 . X



Latihan 3.1.4 Dalam D4 dapatkan semua koset kiri dan kanan dari hτi. Latihan 3.1.5 Dapatkan indeks dari h10i dalam Z12 .

Latihan 3.1.6 Dapatkan indeks dari µ2 dalam S3 .

Latihan 3.1.7 Dapatkan indeks dari ρ2 τ dalam D4 .

•X •X •X

•X

Latihan 3.1.8 Misalkan H = {φ ∈ Sn | φ(n) = n}. Dapatkan indeks dari H dalam Sn .

•X

Latihan 3.1.9 Misalkan H adalah subgrup dari grup G. Tunjukkan untuk sebarang a ∈ G bahwa aH = H bila dan hanya bila a ∈ H. X



Latihan 3.1.10 Misalkan H = 5Z dalam Z. Tentukan apakah koset dari H berikut adalah sama: (a) 12 + H dan 27 + H (b) 13 + H dan −2 + H (c) 126 + H dan −1 + H.

•X

Latihan 3.1.11 Diberikan grup G berorder 42. Dapatkan semua order yang mungkin untuk subgrup H dari G. Untuk hal yang demikian tentukan banyaknya koset kiri dari H. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

106

Homomorpisma Grup..

Latihan 3.1.12 Misalkan G = hai adalah suatu grup siklik berorder 60 dan H = a35 . Daftarkan semua koset kiri dari H dalam GG. X



Latihan 3.1.13 Misalkan G adalah grup berorder 36. Bila G mempunyai suatu elemen X a ∈ G dimana a12 , e dan a18 , e. Tunjukkan bahwa G adalah siklik.



Latihan 3.1.14 Misalkan grup G dengan |G| < 300. Bila G mempunyai suatu subgrup H berorder 24 dan suatu subgrup K berorder 54, berapakah order G? X



Latihan 3.1.15 Misalkan H dan K adalah subgrup dari grup G dimana |H| = 9, |K| = 12 X dan indeks [G : H ∩ K] , |G|. Dapatkan |H ∩ K|.



Latihan 3.1.16 Misalkan G grup dengan |G| = p2 , dimana p adalah prima. Tunjukkan bahwa sebarang subgrup sejati dari G adalah siklik. X



Latihan 3.1.17 Diberikan grup G dengan |G| = pq dimana p dan q adalah prima. TunX jukkan bahwa setiap subgrup sejati dari G adalah siklik.



Latihan 3.1.18 Misalkan H dan K adalah subgrup dari grup G dengan |H| = n, |K| = m X dan fpb(m, n) = 1. Tunjukkan bahwa H ∩ K = {e}.



Latihan 3.1.19 Misalkan G adalah grup dan a, b ∈ G dengan |a| = n, |b| = m dan fpb(m, n) = 1. Bila untuk beberapa bilangan bulat k didapat ak = bk , tunjukkan bahwa mn membagi k. (Petunjuk gunakan Latihan 3.1.18). X



Latihan 3.1.20 Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, bilangan n19 − n habis X dibagi oleh 21.



Latihan 3.1.21 Dapatkan sisa pembagian 91573 oleh 11. Latihan 3.1.22 Hitung φ(p2 ), dimana p adalah prima.

•X •X

Latihan 3.1.23 Hitung φ(pq), dimana p dan q adalah prima berbeda. Latihan 3.1.24 Dapatkan sisa pembagian 51258 oleh 12.

•X

•X

Latihan 3.1.25 Misalkan G adalah grup takkomutatif dimana |G| = 2p dan p adalah X prima. Tunjukkan bahwa ada suatu elemen g ∈ G yang memenuhi |g| = p.



Latihan 3.1.26 Misalkan G adalah grup takkomutatif dimana |G| = 2p dan p adalah prima. Tunjukkan bahwa G mempunyai sebanyak p elemen yang berorder 2. X



Latihan 3.1.27 Misalkan G adalah suatu grup berorder |G| > 1 yang mana G tidak mempunyai subgrup sejati tak-trivial. Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup siklik X berhingga berorder prima.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

107

Homomorpisma..

Latihan 3.1.28 Misalkan G adalah grup beroder 15. Tunjukkan bahwa G memuat suatu elemen beroder 3. X



Latihan 3.1.29 Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup berhingga G dan K adalah suatu subgrup dari H. Misalkan indeks [G : H] = n dan indeks [H : K] = m. Tunjukkan bahwa indeks [G : K] = mn. (Petunjuk: Misalkan xi H adalah koset-koset kiri yang berbeda dari H dalam G dan y j K adalah koset-koset kiri yang berbeda dari K dalam H. X Tunjukkan bahwa xi y j K adalah koset-koset kiriyang berbeda dari K dalam G).



Latihan 3.1.30 Misalkan H dan K adalah subgrup dari grup G dan untuk semua a, b ∈ G, a ∼ b bila dan hanya bila a = hbk untuk beberapa h ∈ H dan beberapa k ∈ K. Tunjukkan bahwa relasi ∼ adalah relasi ekivalen. Uraikan klas ekivalennya (klas ekivalen ini X dinamakan koset ganda).



Latihan 3.1.31 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup berhingga G dengan indeks [G : H] = n dan indeks [G : K] = m. Tunjukkan bahwa kpk(m, n) ≤ [G : H ∩ K] ≤ mn.

•X

Latihan 3.1.32 Diberikan H dan K adalah subgrup berhingga dari suatu grup G. Misalkan himpunan HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}. S Tunjukkan bahwa |HK| = |H| |K|/|H ∩ K|. (Petunjuk: HK = hK). X h∈H



Latihan 3.1.33 Untuk sebarang bilangan positip n tunjukkan bahwa n = φ adalah fungsi-φ Euler.

P

φ(d), dimana

d|n

Latihan 3.1.34 Tunjukkan bahwa kebalikan dari Teorema Lagrange tidak benar. (PetunX juk: Tunjukkan bahwa A4 tidak mempunyai subgrup yang berorder 6).



3.2 Homomorpisma Sudah dibahas mengenai apa grup dan subgrup dan beberapa macam grup: siklik dan taksiklik, komutatif dan takkomutatif, berhingga dan takberhingga. Apapun itu, belum dibahas pemetaan diantara grup. Karena grup bukan sekedar suatu himpunan, tatapi bersamaan himpunan ini melekat suatu operasi biner yang memenuhi beberapa aksiomatik tertentu. Pemetaan diantara grup yang akan dibahas dikaitkan dengan operasi biner yang berlaku pada masing-masing grup. Contoh 3.2.1 Dibahas tiga fungsi berbeda dari Z to Z dan diidentifikasi beberapa sifat dari fungsi tersebut Misalkan tiga fungsi f, g, h : Z → Z yang diberikan oleh (1) f (x) = x2

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

108

Homomorpisma Grup..

(2) g(x) = x + 1 (3) h(x) = 2x. Dalam kasus (1), image dari f bukan suatu subgrup dari Z. Juga bila diambil dua elemen x, y ∈ Z didapat f (x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 , x2 + y2 = f (x) + f (y). Dalam kasus (2), image dari g adalah subgrup dari Z, sebab im( f ) = Z dan g(x + y) = x + y + 1 , (x + 1) + (y + 1) = g(x) + g(y). Dalam kasus (3), image dari h adalah subgrup 2Z dari grup Z dan h(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = h(x) + h(y).



Definisi 3.2.1 Diberikan suatu pemetaan φ : G → G′ dimana G dan G′ adalah grup. Pemetaan φ dinamakan homomorpisma grup bila memenuhi φ(ab) = φ(a)φ(b), untuk semua a, b ∈ G. Perlu diperhatikan bahwa, dalam φ(ab) operasi biner yang digunakan adalah dalam G, X sedangkan dalam φ(a)φ(b) operasi biner yang digunakan dalam G′ .



Contoh 3.2.2 Dalam Contoh 3.2.1, h adalah homomorpisma. Sedangkan f dan g bukan. Juga perlu diperhatikan bahwa selain h(x + y) = h(x) + h(y) didapat h(0) = 0 dan h(−x) = −h(x).



Contoh 3.2.3 Pemetaan φ : Z → Z yang diberikan oleh φ(x) = 5x, ∀x ∈ Z adalah suatu homomorpisma, sebab φ(x + y) = 5(x + y) = 5x + 5y = φ(x) + φ(y), untuk semua x, y ∈ Z. Contoh 3.2.4 Pemetaan φ : R∗ → Z2 diberikan oleh    [0]2 , bila x > 0 φ(x) =   [1]2 , bila x < 0,



adalah suatu homomorpisma. Sebab, bila x dan y keduanya positip, maka xy adalah positip, didapat φ(xy) = [0]2 = [0]2 + [0]2 = φ(x) + φ(y). Juga bila x dan y keduanya negatif, maka xy positip, didapat φ(xy) = [0]2 = [1]2 + [1]2 = f (x) + f (y). Juga, bila x positip dan y negatif, maka xy negatip, didapat φ(xy) = [1]2 = [0]2 + [1]2 = φ(x) + φ(y). Dengan cara yang sama bila bila x negatip dan y positip, maka xy negatip, didapat φ(xy) = [1]2 = [1]2 + [0]2 = φ(x) + φ(y).



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

109

Homomorpisma..

Contoh 3.2.5 Untuksebarang grup G, pemetaan identitas adalah suatu homomorpisma. Sebab bila φ : G → G adalah pemetaan identitas maka φ(x) = x, ∀x ∈ G dan φ(xy) = xy = φ(x)φ(y).



Contoh 3.2.6 Untuk sebarang grup G dan G′ ,pemetaan φ : G → G′ diberikan oleh φ(x) = e′ , ∀x ∈ G dimana e′ adalah elemen netral di G′ . Maka φ adalah suatu homomorpisma yang dinamakan trivial homomorpisma diantara G dan G′ . Untuk x, y ∈ G didapat φ(xy) = e′ = e′ e′ = φ(x)φ(y).



Contoh 3.2.7 Untuk sebarang grup G dan sebarang a ∈ G diberikan pemetaan φ : Z → hai yang dinamakan pemetaan eksponensial oleh φ(n) = an , ∀n ∈ Z. Maka φ adalah homomorpisma, sebab φ(m + n) = am+n = am an = φ(m)φ(n).



Contoh 3.2.8 Misalkan φ : Z → Z5 didefinisikan oleh φ(n) = [n]5 , ∀nßZ. Jadi φ(7) = [2]5 , φ(8) = [3]5 dan φ(7 + 8) = φ(15) = [0]5 juga φ(7) + φ(8) = [2]5 + [3]5 = [5]5 = [0]5 . Misalkan sebarang m, n ∈ Z, maka gunakan algoritma pembagian didapat n = 5q1 + r1 , 0 ≤ r1 < 5 dan m = 5q2 + r2 , 0 ≤ r2 < 5 untuk beberapa q1 , q2 ∈ Z. Sehingga didapat φ(m + n) = = = = = Jadi φ adalah suatu homomorpisma.

φ(5q1 + r1 + 5q2 + r2 ) φ(5(q1 + q2 ) + (r1 + r2 )) [r1 + r2 ]5 [r1 ]5 + [r2 ]5 φ(m) + φ(n).



Proposisi 3.2.1 Untuk sebarang grup G, G′ dan G′′ , diberikan pemetaan φ : G → G′ dan ψ : G′ → G′′ keduanya adalah homomorpisma. Maka komposisi ψ ◦ φ(x) = ψ(φ(x)) adalah suatu homomorpisma grup dari G ke G′′ . Bukti Misalkan sebarang x, y ∈ G didapat ψ ◦ φ(xy) = = = =

ψ(φ(xy)) ψ(φ(x)φ(y)) ψ(φ(x))ψ(φ(y)) ψ ◦ φ(x) ψ ◦ φ(y).

•X

Suatu homomorpisma φ : G → G′ menentukan suatu subgrup khusus dari grup G yang sangat berperan penting untuk pemahaman homomorpisma. Definisi 3.2.2 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dan e′ adalah elemen netral di G′ , maka kernel dari φ dinotasikan oleh ker(φ) adalah himpunan ker(φ) = {x ∈ G | φ(x) = e′ }.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

110

Homomorpisma Grup..

Contoh 3.2.9 Kernel dari φ : Z → Z5 dalam Contoh 3.2.8 adalah ker(φ) = 5Z. Contoh 3.2.10 Kernel φ : Z → hai dalam Contoh 3.2.7 adalah





ker(φ) = {n ∈ Z | |a| membagi n}.

Contoh 3.2.11 Kernel dari φ : R∗ → Z2 dalam Contoh 3.2.4 adalah ker(φ) = {x ∈ R∗ | x > 0}.



Sifat dasar homomorpisma berikut bukanlah suatu hal yang mengejutkan sebab dari beberapa contoh yang telah dibahas menjelaskan hal ini. Proposisi 3.2.2 (Sifat-sifat Dasar Homomorpisma Grup) Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma grup. Maka (1) φ(e) = e′ , dimana e elemen netral di G dan e′ elemen netral di G′ . (2) φ(a−1 ) = (φ(a))−1 untuk sebarang a ∈ G. (3) φ(an ) = φ(a)n untuk sebarang n ∈ Z. (4) Bila |a| berhingga, maka |φ(a)| membagi |a|. (5) Bila H adalah suatu subgrup dari G, maka φ(H) = {φ(x) | x ∈ H} adalah suatu subgrup dari G′ . (6) Bila K adalah suatu subgrup dari G′ , maka φ−1 (K) = {x ∈ G | φ(x) ∈ K} adalah subgrup dari G. Bukti ✟ = φ(e e) = φ(e) = e′ φ(e), ✟ gunakan hukum kanselasi didapat φ(e) = e′ . ✟ ✟ φ(e) (1) Karena φ(e)✟ ✟ −1 −1 ✟ ✟ ✟ ✟ φ(a)φ(a ) = φ(aa−1 ) = φ(e) = e′ = ✟ φ(a)(φ(a)) , gunakan hukum kanselasi (2) Karena ✟ didapat φ(a−1 ) = (φ(a))−1 .

(3) φ(an ) = φ(a)n untuk n = 0 mengikuti hasil (1). Untuk n > 0 digunakan induksi: untuk n = 1 didapat φ(a) = φ(a). Misalkan benar untuk bilangan bulat positip k, maka φ(ak+1 ) = φ(ak a) = φ(ak )φ(a) = φ(a)k φ(a) = φ(a)k+1 . Dengan demikian untuk n > 0 benar bahwa φ(an ) = φ(a)n . Selanjutnya, untuk n < 0 maka −n > 0. Didapat φ((a−1 )n ) = φ(a−n ) = φ(a)−n = (φ(a)−1 )n = φ(a−1 )n . Terlihat bahwa untuk n < 0 benar bahwa φ(an ) = φ(a)n . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

111

Homomorpisma..

(4) Misalkan |a| = n, maka menggunakan hasil (3) dan (1) didapat φ(a)n = φ(an ) = φ(e) = e′ . Selanjutnya dengan menggunakan Kesimpulan 2.3.1 didapat |φ(a)| membagi |a| = n. (5) Diberikan sebarang u, v ∈ φ(H) = {w ∈ G′ | w = φ(x) untuk beberapa x ∈ H}, pilih x, y ∈ H yang memenuhi u = φ(x) dan v = φ(y). Maka xy−1 ∈ H sebab H subgrup dan uv−1 = φ(x)φ(y)−1 = φ(x)φ(y−1 ) = φ(xy−1 ) ∈ φ(H) (sebab xy−1 ∈ H). Jadi φ(H) adalah subgrup dari G′ . (6) Misalkan x, y ∈ φ−1 (K), didapat φ(xy−1 ) = φ(x)φ(y−1 ) = φ(x)φ(y)−1 ∈ K. Terlihat bahwa xy−1 ∈ φ−1 (K), jadi φ−1 (K) adalah subgrup dari G.

•X

Proposisi 3.2.3 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma grup. Maka ker(φ) adalah suatu subgrup dari G. Bukti Himpunan K = {e′ } dimana e′ adalah elemen netral di G′ adalah subgrup dari G′ , maka menurut menurut Proposisi 3.2.2 bagian (6) φ−1 (K) adalah subgrup dari G. Tetapi φ−1 (K) = {x ∈ G | φ(x) ∈ K} = {x ∈ G | φ(x) = e′ } = ker(φ). Dengan demikian ker(φ) adalah subgrup dari G.

•X

Proposisi 3.2.4 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma grup. Maka φ adalah satu-satu bila dan hanya bila ker(φ) = {e}, dimana e adalah elemen netral di G. Bukti (⇒) Misalkan φ satu-satu dan sebarang elemen x ∈ ker(φ). Maka φ(x) = e′ = φ(e). Jadi x = e, dengan demikian ker(φ) = {e}. (⇐) Misalkan ker(φ) = {e} dan untuk beberapa x, y ∈ G bila φ(x) = φ(y). Maka φ(xy−1 ) = φ(x)φ(y−1 ) = φ(y)φ(y)−1 = e′ . Terlihat bahwa xy−1 ∈ ker(φ) = {e}. Jadi xy−1 = e atau x = y. Dengan demikian φ adalah satu-satu. X



Definisi 3.2.3 Suatu homomorpisma grup φ : G → G′ dimana φ adalah satu-satu dan pada dinamakan suatu isomorpisma. Dalam hal ini G dan G′ adalah isomorpik dan ditulis G  G′ . X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

112

Homomorpisma Grup..

Untuk menunjukkan bahwa dua grup G dan G′ isomorpik, diperlukan empat hal: (1) definisikan suatu pemetaan φ : G → G′ . (2) Tunjukkan bahwa φ adalah suatu homomorpisma grup. (3) Tunjukkan bahwa φ satu-satu. (4) Tunjukkan bahwa φ adalah pada. Contoh berikut mengilustrasikan empat langkah tersebut. Contoh 3.2.12 Grup Z dan 3Z adalah isomorpik. Untuk menunjukkan hal ini, digunakan empat langkah berikut: (1) definisikan pemetaan φ : Z → 3Z oleh φ(x) = 3x, ∀x ∈ Z. (2) Didapat, untuk sebarang x, y ∈ Z, maka φ(x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = φ(x) + φ(y). Jadi φ adalah homomorpisma grup. (3) φ(x) = 0 bila dan hanya bila 3x = 0 bila dan hanya bila x = 0. Jadi ker(φ) = {0}, dengan demikian φ adalah satu-satu. (4) Diberikan sebarang u ∈ 3Z dapat dipilih x ∈ Z yang memenuhi u = 3x. Jadi u = φ(x), dengan demikian φ adalah pada. Jadi Z  3Z.



Contoh 3.2.13 Diberikan grup R dengan operasi biner penjumlahan dan grup R+ = {x ∈ R | x > 0} dengan operasi biner perkalian. Maka R dan R+ adalah isomorpik, sebab (1) Misalkan φ : R → R+ adalah fungsi yang diberikan oleh φ(x) = exp(x) = ex , ∀x ∈ R. (2) φ(x + y) = ex+y = ex e y = φ(x)φ(y), ∀x, y ∈ R. Jadi φ adalah homomorpisma grup. (3) Elemen netral di R adalah 1. Jadi bila sebarang elemen x ∈ ker(φ), maka φ(x) = ex = 1. Hal ini berkibat x = 0. Dengan demikian ker(φ) = {0}. Jadi φ satu-satu. (4) Diberikan sebarang u ∈ R+ , pilih x ∈ R dimana x = ln(u). Didapat u = ex = φ(x), dengan demikian φ adalah pada. Jadi R  R+ .



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

113

Homomorpisma..

Contoh 3.2.14 Dalam Contoh 3.2.12, pemetaan φ−1 : 3Z → Z dimana φ−1 (u) = u/3, ∀u ∈ 3Z adalah suatu isomorpisma dari 3Z ke Z. Begitu juga dalam Contoh 3.2.13, pemetaan φ−1 : R+ → R dimana φ−1 (u) = ln(u), ∀u ∈ R+ adalah suatu isomorpisma grup dari R+ ke R.



Proposisi 3.2.5 Misalkan φ : G → G′ dan ψ : G′ → G′′ adalah isomorpisma. Maka (1) Komposisi ψ ◦ φ : G → G′′ adalah isomorpisma. (2) Pemetaan identitas φ : G → G adalah isomorpisma (3) Invers φ−1 : G′ → G adalah isomorpisma. Bukti (1) Dengan menggunakan Proposisi 3.2.1, maka komposisi ψ◦φ adalah homomorpisma. Juga, dengan menggunakan Teorema 1.1.1 bagian (2) dan (3), maka komposisi ψ◦φ adalah satu-satu dan pada. Jadi komposisi ψ ◦ φ adalah isomorpisma grup dari G ke G′′ . (2) Berdasarkan Proposisi 1.1.2 pemetaan identitas φ adalah satu-satu dan pada. Untuk sebarang x, y ∈ G didapat φ(xy) = xy = φ(x)φ(y). Jadi φ adalah homomorpisma. Dengan demikian pemetaan identitas φ adalah isomorpisma. (3) Karena φ satu-satu dan pada, maka diberikan sebarang u, v ∈ G′ dapat dipilih dengan tunggal x, y ∈ G yang memenuhi u = φ(x) dan v = φ(y). Didapat φ−1 (u) = x dan φ−1 (v) = y juga uv = φ(x)φ(y) = φ(xy). Hal ini berakibat φ−1 (uv) = φ−1 (φ(xy)) = (φ−1 ◦ φ)(xy) = xy = φ−1 (u)φ−1 (v). Terlihat bahwa φ−1 adalah suatu homomorpisma dari G′ ke G. Lagi, karena φ satu-satu dan pada, maka diberikan sebarang x ∈ G dapat dipilih dengan tunggal u ∈ G′ yang memenuhi u = φ(x) sehingga didapat φ−1 (u) = x. Jadi φ−1 adalah pemetaan satu-satu dan pada. X Proposisi 3.2.6 Misalkan G  G′ . Maka



(1) |a| = |φ(a)| untuk sebarang a ∈ G dan φ adalah suatu isomorpisma grup dari G ke G′ . (2) |G| = |G′ |. (3) G komutatif bila dan hanya bila G′ komutatif. (4) G siklik bila dan hanya bila G′ siklik. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

114

Homomorpisma Grup..

(5) G mempunyai k elemen yang berorder n bila dan hanya bila G′ mempunyai k elemen yang berorder n. Bukti Misalkan φ : G → G′ adalah suatu isomorpisma grup dari G ke G′ . (1) Misalkan sebarang elemen a ∈ G dimana |a| = n dan |φ(a)| = m, maka dengan menggunakan Proposisi 3.2.2 bagian (4) didapat |φ(a)| = m membagi |a| = n. Dengan demikian n = k1 m, untuk beberapa bilangan bulat positip k1 .

(3.1)

Tetapi, karena φ(am ) = φ(a)m = e′ dengan e′ adalah elemen netral di G′ dan kerana φ satu-satu, maka haruslah am = e. Dengan demikian |a| = n membagi m. Didapat m = k2 n, untuk beberapa bilangan bulat positip k2 .

(3.2)

Dari Persamaan 3.1 dan 3.2 didapat n= ✚

k1 m = k1 (k2 n) = (k1 k2 )✚ n,

hal ini berakibat 1 = k1 k2 . Tetapi k1 dan k2 keduanya adalah bilangan bulat positip, jadi haruslah k1 = k2 = 1. Dengan demikian n = k1 m = m atau |a| = |φ(a)|. (2) Karena φ adalah satu-satu dan pada, maka |G| = |G′ |. (3) Misalkan G komutatif dan sebarang elemen u, v ∈ G′ . Karena φ pada, maka dapat dipilih x, y ∈ G yang memenuhi φ(x) = u dan φ(y) = v. Maka didapat uv = φ(x)φ(y) = φ(xy) = φ(yx) = φ(y)φ(x) = vu. Jadi G′ adalah komutatif. Bila G′ komutatif, maka φ(xy) = φ(x)φ(y) = φ(y)φ(x) = φ(yx), karena φ satu-satu, maka haruslah xy = yx. Jadi G komutatif. (4) Bila G = hai siklik, maka dari hasil (1) didapat |φ(a)| = |a| = |G| = |G′ |, D E jadi G′ = φ(a) adalah siklik. Sebaliknya bila G′ = hbi siklik dan karena φ pada, maka dapat dipilih elemen a ∈ G yang memenuhi φ(a) = b. Didapat |a| = |φ(a)| = |b| = |G′ | = |G| dan akibatnya hai = G, dengan demikian G adalah siklik. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

115

Homomorpisma..

(5) Misalkan a1 , a2 , . . . , ak elemen-elemen yang berbeda di G dengan order n. Karena φ satu-satu, maka φ(a1 ), φ(a2 ), . . . , φ(ak ) adalah elemen-elemen berbeda di G′ dan dari hasil (1) elemen-elemen tersebut mempunyai order n. Bila a1 , a2 , . . . , ak adalah semua elemen di G dengan order n, maka φ(a1 ), φ(a2 ), . . . , φ(ak ) adalah semua elemen di G′ dengan order n. Selanjutnya, untuk sebarang elemen yang lain u ∈ G′ , karena φ pada, maka dapat dipilih x ∈ G yang memenuhi u = φ(x) dan tentunya u berbeda dengan semua φ(ai ). Juga, x berbeda dengan semua ai . Karena ai adalah semua elemen di G dengan order n, didapat |u| = |φ(x)| = |x| , n.

•X

Lemma 3.2.1 Misalkan G dan H adalah grup siklik dengan order yang sama yaitu n, dan misalkan sebarang elemen generator a ∈ G dan sebarang generator b ∈ H. Maka ada suatu isomorpisma φ : G → H dengan φ(a) = b. Bukti Diketahui G = hai dan |G| = n, gunakan Kesimpulan 2.3.2 didapat G = hai = {e, a, a2, · · · , an−1 }, dimana semua elemen-elemen ai adalah berbeda. Didefinisikan pemetaan φ : G → H oleh φ(ai ) = bi untuk 0 ≤ i < n, maka untuk sebarang ai0 , ai1 di G dimana 0 ≤ i0 , i1 < n didapat φ(ai0 ai1 ) = = = = = = =

φ(a[i0 ]n a[i1 ]n ) φ(a[i0 +i1 ]n ) b[i0 +i1 ]n b[i0 ]n +[i1 ]n b[i0 ]n b[i1 ]n bi0 bi1 φ(ai0 )φ(ai1 ).

Jadi φ adalah homomorpisma grup dari G ke H. Selanjutnya misalkan sebarang elemen a j ∈ ker(φ) dimana 0 ≤ j < n, didapat φ(a j ) = b j = eH = b0 , hal ini berkibat bahwa j = 0. Jadi a j = a0 = eG . Dengan demikian ker(φ) = {eG }, gunakan Proposisi 3.2.4 didapat φ adalah satu-satu dan kerena |G| = n = |H|, maka φ pada. Jadi φ adalah isomorpisma grup dari G ke H. X



Proposisi 3.2.7 Misalkan G = hai adalah suatu grup siklik. Maka (1) Bila |G| = ∞, maka G  Z. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

116

Homomorpisma Grup..

(2) Bila |G| = n, maka G  Zn . Bukti (1) Bila G = hai dimana |G| = ∞, misalkan φ : Z → G didefinisikan oleh φ(k) = ak , ∀k ∈ Z. Karena |a| = ∞, ak = e bila dan hanya bila k = 0. Jadi ker(φ) = {0}, dengan demikian φ satu-satu. Karena G siklik, diberikan sebarang u ∈ G, dapat dipilih k ∈ Z yang memenuhi u = ak = φ(k). Jadi φ adalah pada. Dengan demikian φ adalah homomorpisma dari Z ke G. Tetapi, dengan menggunakan Proposisi 3.2.5 bagian (3), maka φ−1 adalah isomorpisma dari G ke Z. Jadi G  Z. (2) Langsung gunakan Lemma 3.2.1 didapat G  Zn .

•X

Contoh 3.2.15 D4 dan Z8 tidak isomorpik, sebab D4 bukan grup komutatif, sedangkan Z8 grup komutatif.



Contoh 3.2.16 Diberikan grup U(10) = {[1]10 , [3]10 , [7]10 , [9]10 } dan U(12) = {[1]12 , [5]12 , [7]12 , [11]12 },

maka U(10) dan U(12) tidak isomorpik sebab U(10) siklik dan U(12) tidak siklik.



Contoh 3.2.17 Grup Q dengan operasi biner penjumlahan dan grup Q∗ dengan operasi biner perkalian tidak isomorpik. Sebab, bila ada suatu isomorpisma φ : Q → Q∗ , karena φ pada, maka diberikan 2 ∈ Q∗ dapat a ∈ Q yang memenuhi φ(a) = 2. Perhatikan bilangan rasional r = φ(a/2) dan menggunakan φ adalah homomorpisma didapat r2 = φ(a/2)φ(a/2) = φ(a/2 + a/2) = φ(a) = 2.

√ Suatu hal yang tidak mungkin, sebab bila mungkin berakibat bahwa r = ± 2 adalah irasional.



Latihan Latihan 3.2.1 Pada latihan berikut tentukan apakah pemetaan φ adalah homomorpisma atau tidak. Bila φ homomorpisma maka tentukan ker(φ). 1. φ : Z → Z, dimana φ(n) = n − 1, ∀n ∈ Z. 2. φ : Z → Z, dimana φ(n) = 3n, ∀n ∈ Z. 3. φ : R∗ → R∗ (terhadap operasi perkalian), dimana φ(x) = |x|, ∀x ∈ R∗ . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

117

Homomorpisma..

4. φ : GL(2, R) → R∗ , dimana GL(2, R) adalah grup linier umum matriks ukuran 2 × 2 yang mempunyai invers dan φ(A) = det(A), ∀A ∈ GL(2, R). 5. φ : S3 → Z2 , dimana

6. φ : D4 → Z4 , dimana

   [0]2 , bila σ permutasi genap φ(σ) =   [1]2 , bila σ permutasi ganjil. D4 = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 , τ, ρτ, ρ2τ, ρ3 τ}

adalah dihedral grup dan φ(ρi ) = 0, φ(ρi τ) = 1, untuk semua i, 0 ≤ i ≤ 3. 7. φ : R → GL(2, R), R adalah grup himpunan bilangan riil dengan operasi penjumlahan dan " # 1 x φ(x) = , ∀x ∈ R. 0 1 8. φ : G → G, dimana G adalah sebarang grup dan φ(x) = x−1 , ∀x ∈ G. 9. φ : Z6 → Z2 , dimana φ([x]6 ) = [x]2 , ∀[x]6 ∈ Z6 . 10. φ : Z7 → Z2 , dimana φ([x]7 ) = [x]2 , ∀[x]7 ∈ Z7 . Latihan 3.2.2 Hitung nilai homomorpisma φ berikut:

•X

1. φ(27) dimana φ : Z → Z5 , dengan φ(n) = [n]5 , ∀n ∈ Z. 2. φ(27) dimana φ : Z → Z3 , dengan φ(m) = [m]3 , ∀m ∈ Z. 3. φ((1 2)(2 3 1)(2 3)) dimana φ : S3 → Z2 dan φ didefinisikan oleh φ(τ) = [0]2 bila τ permutasi genap dan φ(τ) = [1]2 bila τ permutasi ganjil. 4. φ(5) dan φ(10) dimana φ : Z15 → Z3 , dengan φ(1) = 2.

•X

Latihan 3.2.3 Dapatkan semua homomorpisma yang mungkin dari Z ke Z. Latihan 3.2.4 Dapatkan semua homomorpisma yang mungkin dari Z pada Z. Latihan 3.2.5 Dapatkan semua homomorpisma yang mungkin dari Z3 ke Z6 .

•X

•X •X

Latihan 3.2.6 Diberikan suatu relasi R pada klas dari semua grup didefinisikan oleh GRG′ bila dan hanya bila G dan G′ isomorpik. Tunjukkan bahwa R adalah relasi ekivalen. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

118

Homomorpisma Grup..

Latihan 3.2.7 Konstruksi suatu contoh dari suatu homomorpisma taktrivial diantara dua grup berikut bila hal ini mungkin, bila tidak mengapa hal ini tidak mungkin. 1. φ : S3 → S5 . 2. φ : Z3 → Z5 . 3. φ : Z4 → Z12 . 4. φ : Z5 → Z12 . 5. φ : D4 → S5 . 6. φ : Z → Z7 . 7. φ : Z10 → Z8 . 8. φ : S5 → Z2 .

•X

Latihan 3.2.8 Misalkan φ : Z12 → Z3 adalah suatu homomorpisma dengan ker(φ) = {[0]12 , [3]3 , [6]12 , [9]12 } dan φ([4]12 ) = [2]3 . Dapatkan semua x ∈ Z12 yang memenuhi φ(x) = [1]3 , dan tunjukkan X bahwa himpunan {x ∈ Z}12 | φ(x) = [1]3 } suatu koset dari ker(φ) dalam Z12 .



Latihan 3.2.9 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dimana |G| = 9. Dapatkan | ker(φ)| bila φ adalah: (a) trivial (b) satu-satu (c) bukan keduanya. X



Latihan 3.2.10 Diberikan suatu grup G, a ∈ G dan φ : Z → G adalah homomorpisma X yang diberikan oleh φ(n) = an , ∀n ∈ Z. Uraikan semua ker(φ) yang mungkin.



Latihan 3.2.11 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dimana ker(φ) = K dan a ∈ G. Tunjukkan bahwa {x ∈ G | φ(x) = φ(a)} = aK.

•X

Latihan 3.2.12 Tentukan apakah pemetaan φ berikut adalah isomorpisma, terangkan jawaban saudara. (a) φ : 2Z → 3Z, dimana φ(2n) = 3n (b) φ : U(10) → Z4 , dimana φ([3]10 ) = [3]4 (c) φ : U(10) → Z4 , dimana φ([3]10 ) = [2]4 (d) φ : Z → Z, dimana φ(n) = 3n. X Latihan 3.2.13 Tunjukkan bahwa U(8) dan U(12) isomorpik. Latihan 3.2.14 Dalam C∗ , subgrup hii isomorpik dengan Z4 .

•X •X

Latihan 3.2.15 Tunjukkan bahwa Z4 dan grup-4 Klein V tidak isomorpik. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



•X

119

Subgrup Normal..

Latihan 3.2.16 Tunjukkan bahwa U(14)  U(18).

•X

Latihan 3.2.17 Tunjukkan bahwa grup dihedral D4 dan grup quaternion Q8 tidak isomorpik. X



Latihan 3.2.18 Dapatkan empat subgrup berbeda dari grup S4 yang isomorpik dengan X dengan S3 .



Latihan 3.2.19 Tunjukkan bahwa grup alternating A4 memuat suatu subgrup yang isomorpik dengan grup-4 Klein V. X



Latihan 3.2.20 Tunjukkan bahwa grup dihedral D4 memuat suatu subgrup yang isomorpik dengan grup-4 Klein V. X



Latihan 3.2.21 Diberikan grup GL(2, Z2 ), tunjukkan bahwa grup G isomorpik dengan grup S3 . X



3.3 Subgrup Normal Telah dibahas bahwa untuk sebarang homomorpisma φ : G → G′ , kernel ker(φ) adalah suatu subgrup dari G. Pada bagian ini ditunjukkan bahwa ker(φ) adalah suatu subgrup dengan suatu sifat khusus yang berkaitan dengan koset-kosetnya. Pembahasan dimulai dengan subgrup khusus tersebut yang dinamakan subgrup normal. Contoh 3.3.1 Diberikan pemetaan φ : S3 → Z2 , dimana    0, bila σ permutasi genap φ(σ) =   1, bila σ permutasi ganjil.

Maka ker(φ) = A3 = {ρ0 , ρ, ρ2 }. Koset kiri dari A3 adalah: A3 = {ρ0 , ρ, ρ2 } µ1 A3 = {µ1 , µ1 ρ, µ1 ρ2 } = {µ1 , µ2, µ3 }. Sedangkan koset kanan dari A3 adalah: A3 = {ρ0 , ρ, ρ2 } A3 µ1 = {µ1 , ρµ1 , ρ2 µ1 } = {µ1 , µ3, µ2 }. Terlihat bahwa koset kiri dari A3 sama dengan koset kanan dari A3 . Perhatikan persamaan µ1 A3 = A3 µ1 tidak berarti bahwa µ1 komutatif dengan setiap elemen-elemen dari A3 , sebab µ1 ρ = µ2 , µ3 = ρµ1 .



Contoh 3.3.2 Diberikan quaternion grup Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}. Misalkan pemetaan φ : Q8 → Z2 didefinisikan oleh φ(±1) = φ(±i) = [0]2 dan φ(±j) = φ(±k) = [1]2 . Maka φ adalah suatu homomorpisma grup dengan ker(φ) = K = {±1, ±i}. Maka koset kiri dari K adalah: K = {1, −1, i, −i} jK = {j, −j, ji = −k, j(−i) = k} Sedangkan koset kanan dari K adalah: c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

120

Homomorpisma Grup..

K = {1, −1, i, −i} Kj = {j, −j, ij = k, (−i)j = −k}. Terlihat bahwa koset kiri dan kanan dari K sama. tetpai perlu diingat bahwa walaupun jK = Kj hal ini tidak berakibat j komutatif dengan semua elemen-elemen dari K, sebab ji = −k , k = ij.



Dua contoh yang telah dibahas mengilustrasikan suatu sifat penting kernel dari suatu homomorpisma. Proposisi 3.3.1 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dan K = ker(φ). Maka untuk semua g ∈ G didapat gK = Kg. Bukti Misalkan x ∈ gK, maka x = gk1 untuk beberapa k1 ∈ K. Jadi φ(x) = φ(gk1 ) = φ(g)φ(k1 ) = φ(g)e′ = e′ φ(g). Didapat e′ = φ(x)φ(g)−1 = φ(x)φ(g−1 ) = φ(xg−1 ). Terlihat bahwa xg−1 ∈ K, misalkan k2 = xg−1 , untuk beberapa k2 ∈ K, didapat x = k2 g ∈ Kg. Jadi gK ⊆ Kg. Dengan cara yang sejalan, misalkan y ∈ Kg, maka y = k0 g untuk beberapa k0 ∈ K. Jadi φ(y) = φ(k0 g) = φ(k0 )φ(g) = e′ φ(g) = φ(g)e′ . Didapat e′ = φ(g)−1 φ(y) = φ(g−1 )φ(x) = φ(g−1 y). Terlihat bahwa g−1 y ∈ K, misalkan k1 = g−1 y, untuk beberapa k1 ∈ K, didapat y = gk1 ∈ gK. Jadi Kg ⊆ gK. Karena gK ⊆ Kg danKg ⊆ gK, maka gK = Kg. X



Subgrup kernel mempunyai sifat penting sebagaimana telah dibuktikan pada proposisi yang baru saja dibahas dan berperan penting dalam memahami struktur dari grup. Definisi 3.3.1 Diberikan grup G dan H adalah subgrup dari G. Bila untuk semua g ∈ G berlaku gH = Hg, maka H dinamakan subgrup normal dari G dan ditulis H ⊳ G. X



Kesimpulan 3.3.1 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dan K = ker(φ), maka K ⊳ G. Bukti Hal ini adalah akibat langsung dari Proposisi 3.3.1.

•X

Contoh 3.3.3 Dalam Contoh 3.3.1 A3 ⊳ S3 juga dalam Contoh 3.3.2 {±1, ±i} ⊳ Q8 .



Proposisi 3.3.2 Bila G adalah suatu grup komutatif, setiap subgrup dari G adalah subgrup normal dari G. Bukti Langsung dari definisi 3.3.1.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

121

Subgrup Normal..

Contoh 3.3.4 Karena Z adalah grup komutatif, maka subgrup nZ ⊳ Z untuk n ≥ 1 begitu juga setiap subgrup dari Zn adalah subgrup normal di Zn .



Contoh 3.3.5 Dalam A4 , tinjau subgrup H = {ρ0 , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Didapat |A4 | = 12 dan |H| = 4, jadi indeks [A4 : H] = 3. Ada tiga koset kiri dari H, yaitu H sendiri dan (1 2 3)H = {(1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2)} (1 3 2)H = {(1 3 2), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}. Juga ada tiga koset kanan dari H yaitu H sendiri dan

H(1 2 3) = {(1 2 3), (2 4 3), (1 4 2), (1 3 4)} H(1 3 2) = {(1 3 2), (1 4 3), (2 3 4), (1 2 4)}. Terlihat bahwa (1 2 3)H = H(1 2 3) dan (1 3 2)H = H(1 3 2), jadi H ⊳ A4 .



Teorema berikut memberikan suatu cara untuk mengkonstruksi contoh-contoh subgrup normal. Teorema 3.3.1 Diberikan suatu grup G dan H adalah suatu subgrup dari G dengan indeks [G : H] = 2. Maka H adalah subgrup normal dari G. Bukti Karena [G : H] = 2, hal ini berakibat banyaknya koset kiri dan kanan adalah dua. Karena H sendiri adalah koset kiri dan sekaligus kanan dari H dan untuk sebarang g < H, maka dua koset kiri dari H yang berbeda adalah H dan gH dan dua koset kanan dari H yang berbeda adalah H dan Hg. Karena koset menentukan suatu partisi dari G, maka haruslah gH = {k ∈ G | k < H} = Hg, dengan demikian H ⊳ G.

•X

Contoh 3.3.6 Karena [Sn : An ] = 2, maka subgrup alternating An ⊳ Sn untuk semua n ≥ 3.



Contoh 3.3.7 Subgrup H = ρ dari grup dihedral D4 mempunyai order empat, maka indeks [D4 : H] = 2. Jadi H ⊳ D4 .



Teorema berikut memberikan suatu cara mudah untuk membedakan suatu subgrup adalah subgrup normal atau bukan. Teorema 3.3.2 (Test Subgrup Normal) Diberikan suatu grup G dan H adalah suatu subgrup dari G. Maka kondisi berikut ekivalen: (1) H ⊳ G, c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

122

Homomorpisma Grup..

(2) gHg−1 ⊆ H untuk semua g ∈ G, (3) gHg−1 = H untuk semua g ∈ G Bukti (1) ⇒ (2) Misalkan g ∈ G dan x ∈ gHg−1 , maka x = ghg−1 untuk beberapa h ∈ H. Menggunakan hipotisis (1), maka gH = Hg. Karena gh ∈ gH didapat gh ∈ Hg. Jadi gh = h′ g untuk beberapa h′ ∈ H. Dengan demikian x = ghg−1 = h′ gg−1 = h′ ∈ H. Jadi gHg−1 ⊆ H. Selanjutnya (2) ⇒ (3), menggunakan hipotesis (2) didapat yHy−1 ⊆ H, hal ini berakibat H ⊆ yHy−1 untuk semua y ∈ G. Diberikan sebarang g ∈ G, misalkan y = g−1 . Maka, didapat gHg−1 ⊂ H ⊆ y−1 Hy = gHg−1 .

Jadi gHg−1 = H. Berikutnya (3) ⇒ (1) misalkan g ∈ G dan x ∈ gH. Jadi x = gh untuk beberapa h ∈ H. Sehingga didapat xg−1 = ghg−1 ∈ gHg−1 , tetapi menggunakan hipotisis (3), didapat xg−1 ∈ H. Akibatnya x ∈ Hg. Jadi gH ⊆ Hg. Dengan cara yang sejalan, bila dimulai dengan y ∈ Hg dapat ditunjukkan g−1 y ∈ H. Jadi y ∈ gH, dengan demikian gH = Hg untuk semua g ∈ G. Jadi H ⊳ G. X



Catatan pada bagian (2) Teorema 3.3.2 pernyataan gHg−1 ⊆ H untuk semua g ∈ G bila dan hanya bila ghg−1 ∈ H untuk semua g ∈ G dan semua h ∈ H bila dan hanya bila g−1 h′ g ∈ H untuk semua g ∈ G dan semua h′ ∈ H. Contoh 3.3.8 Diberikan G = GL(2, R) dan H = SL(2, R). Maka H ⊳ G, sebab bila A ∈ G dan B ∈ H, didapat det(ABA−1 ) = det(A) det(B) det(A−1 ) = det(A) · 1 · det(A−1 ) = det(A) det(A−1 ) = 1, jadi ABA−1 ∈ H.



Contoh 3.3.9 Diberikan Z(G) senter dari grup G, maka Z(G) subgrup normal dari G sebab elemen-elemen dari Z(G) komutatif dengan semua elemen dari G. Contoh 3.3.10 Dalam S3 , tinjau subgrup H =

µ2 . Bila dihitung ρ2 Hρ−2 didapat subgrup adalah tiga subgrup yang berbeda dari S3 merupakan subgrup normal.





−1 subgrup

µ1 . Bila dihitung ρHρ didapat −1 µ3 . Dalam hal ini H, ρHρ dan ρ2 Hρ−2 berorder dua dan ketiganya taksatupun

Teorema 3.3.3 Misalkan H adalah subgrup dari suatu grup G. Maka untuk sebarang g∈G (1) gHg−1 adalah subgrup dari G. (2) gHg−1 = |H|. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

123

Subgrup Normal..

Bukti (1) Bila x, y ∈ gHg−1 , maka x = gh1 g−1 dan y = gh2 g−1 untuk beberapa h1 , h2 ∈ H. Jadi −1 −1 xy−1 = gh1 g−1 (gh2 g−1 )−1 = gh1 g−1 gh−1 = gh1 h−1 2 g 2 g . −1 Karena H adalah subgrup, maka h = h1 h−1 = ghg−1 ∈ gHg−1 . Dengan 2 ∈ H. Jadi xy −1 demikian gHg adalah subgrup dari G.

(2) Buat suatu pemetaan berikut f : H → gHg−1

diberikan oleh f (h) = ghg−1 , ∀h ∈ H. Untuk f (h1 ) = f (h2 ), didapat g❆✁ h1 g−1 = ❆g✁ h2 g−1 , dengan menggunakan hukum kanselasi kiri dan kanan didapat h1 = h2 . Jadi f adalah satu-satu. Selanjutnya, diberikan sebarang y ∈ gHg−1 , maka y = ghg−1 −1 untuk beberapa h ∈ H. Hal ini berakibat f (h) = ghg = y. Jadi f adalah pada, −1 dengan demikian f satu-satu dan pada. Jadi |H| = gHg . X



Kesimpulan 3.3.2 Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G. Bila H adalah hanya satu-satunya subgrup dari G yang berorder |H|, maka H ⊳ G. Bukti Karena H adalah satu-satunya subgrup dari G dan menggunakan Teorema 3.3.3 didapat H = gHg−1 untuk semua g ∈ G. Menurut Teorema Test Subgrup Normal maka H ⊳ G. X



Contoh 3.3.11 Dalam D4 tinjau subgrup H = hτi = {ρ0 , τ} dan N = {ρ0 , ρ2 , τ, ρ2τ}. Karena [N : H] = 2 = [D4 : N], maka H ⊳ N dan N ⊳ D4 . Tetapi, H bukan subgrup normal dari D4 . Faktanya, N adalah subgrup terbesar dari D4 yang memuat H sebagai suatu subgrup normal.



Definisi 3.3.2 Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G, maka n o def NG (H) = g ∈ G | gHg−1 = H

•X

dinamakan normalisir dari H dalam G.

Teorema 3.3.4 Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G. Maka (1) NG (H) adalah suatu subgrup dari G. (2) H ⊳ NG (H). (3) Bila K suatu subgrup dari G dan H ⊳ K, maka K adalah subgrup dari NG (H). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

124

Homomorpisma Grup..

(4) H ⊳ G bila dan hanya bila NG (H) = G. Bukti (1) Misalkan a, b ∈ NG (H), didapat aHa−1 = H = bHb−1 . Hal ini berakibat (a−1 b)H(b−1 a) = H

atau

(a−1 b)H(a−1 b)−1 = H.

Jadi a−1 b ∈ NG (H), dengan demikian NG (H) adalah subgrup dari G. (2) Misalkan sebarang h ∈ H, didapat hHh−1 = H. Jadi h ∈ NG (H) dengan demikian H ⊂ NG (H). Diberikan sebarang g ∈ NG (H), didapat gHg−1 = H untuk semua g ∈ NG (H) dan menurut Teorema Test Subgrup Normal, maka H ⊳ NG (H). (3) Misalkan H ⊳ K dan diberikan sebarang g ∈ K, maka gHg−1 = H. Hal ini menunjukkan bahwa g ∈ NG (H), akibatnya K ⊂ NG (H). Karena K subgrup dari G dan K ⊂ NG (H) hal ini berakibat K adalah subgrup dari NG (H). (4) (⇒) Misalkan H ⊳ G dan untuk sebarang g ∈ G, didapat gHg−1 = H. Jadi g ∈ NG (H), dengan demikian G ⊂ NG (H). Tetapi NG (H) ⊂ G, jadi NG (H) = G. (⇐) Misalkan NG (H) = G, maka untuk sebarang g ∈ G didapat g ∈ NG (H). Akibatnya, gHg−1 = H untuk semua g ∈ G. Jadi H ⊳ G. X



Diberikan dua subgrup H dan K dari suatu subgrup G, didefinisikan himpunan def

HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}. Himpunan HK mungkin subgrup dari G mungkin tidak. Proposisi berikut memberikan syarat bahwa HK adalah subgrup dari G. Proposisi 3.3.3 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup G dan H ⊳ G. Maka HK adalah suatu subgrup dari G. Bukti Misalkan a, b ∈ HK, maka a = h1 k1 dan b = h2 k2 untuk beberapa h1 , h2 ∈ H dan k1 , k2 ∈ K. Didapat −1 −1 ab−1 = h1 k1 (h2 k2 )−1 = h1 k1 k−1 2 h2 = h1 kh2 , −1 dimana k = k1 k−1 2 ∈ K (sebab K subgrup). Selanjutnya, tinjau elemen kh2 , elemen ini −1 berada di kH. Karena H ⊳ G, maka kH = Hk. Jadi kh2 ∈ Hk, dengan demikian kh−1 = h3 k 2 untuk beberapa h3 ∈ H. Sehingga didapat

ab−1 = h1 kh−1 2 = h1 h3 k = hk, dimana h = h1 h3 ∈ H (sebab H subgrup dari G). Terlihat bahwa, ab−1 ∈ HK. Jadi HK adalah subgrup dari grup G. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

125

Subgrup Normal..

Kesimpulan 3.3.3 Bila H dan K adalah subgrup dari suatu grup komutatif G, maka HK adalah subgrup dari G. Bukti Karena G grup komutatif, maka H ⊳ G. Gunakan Proposisi 3.3.3 didapat HK subgrup dari G. X



Teorema 3.3.5 Bila H dan K adalah subgrup berhingga dari suatu grup G, maka |HK| = |H| |K|/|H ∩ K|.

Bukti Misalkan m adalah indeks [K : H ∩ K] dan

(H ∩ K)k1 , (H ∩ K)k2 , · · · , (H ∩ K)km

adalah m koset yang berbeda dari H ∩ K dalam K. Koset-koset ini membentuk partisi dalam K dan setiap elemen dari K tepat berada pada satu koset tersebut. Karena m = [K : H ∩ K] = |K|/|H ∩ K|,

maka tinggal menunjukkan |HK| = |H| m sebagai berikut. Tinjau Hk1 , Hk2, . . . , Hkm , adalah koset-koset kanan dari H yang semuanya berbeda. Sebab bila tidak, yaitu Hki = Hk j untuk beberapa i , j dengan 1 ≤ i, j ≤ m, maka ki k−1 ∈ H, tetapi ki k−1 ∈K j j (sebab K subgrup). Jadi ki k−1 ∈ (H∩K). Akibatnya, (H∩K)ki = (H∩K)k j dengan i , j. Hal j ini bertentangan dengan kenyataan koset (H∩K)ks dengan 1 ≤ s ≤ m semuanya berbeda. Bila diberikan sebarang elemen hk ∈ HK dan karena (H ∩ K)ks dengan 1 ≤ s ≤ m adalah koset-koset yang berbeda dari (H ∩ K) dalam K, maka k ∈ (H ∩ K)ks untuk beberapa 1 ≤ s ≤ m, dengan demikian hk terletak pada salah satu koset Hks . Jadi Hks mempartisi HK dan |Hks | = |H|. Sehingga didapat |HK| = |Hks | m = |H| |K|/|H ∩ K|. X



Latihan Latihan 3.3.1 Tentukan apakah subgrup berikut adalah subgrup normal. 1. A3 dalam S3 3. 3Z Z

dalam 5. ρτ dalam D4 7. K = {ρ0 , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} dalam S4

2. A3 dalam S4

4. ρ dalam D4 6. {±1, ±j} dalam Q8 8. h(1 2 3)i dalam S4 .

Latihan 3.3.2 Tunjukkan bahwa pemetaan φ : Q8 → Z2 didefinisikan oleh

•X

φ(±1) = φ(±i) = [0]2

dan φ(±j) = φ(±k) = [1]2 adalah suatu homomorpisma.

•X c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

126

Homomorpisma Grup..

Latihan 3.3.3 Dapatkan semua subgrup normal dalam Gl(2, Z). Latihan 3.3.4 Dapatkan semua subgrup normal dalam D4 . "

•X

•X

# r 0 Latihan 3.3.5 Untuk r ∈ R∗ , misalkan rI = . Tunjukkan bahwa H = {rI | r ∈ R∗ } 0 r X adalah suatu subgrup normal dari GL(2, R).



Latihan 3.3.6 Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′ dan H′ ⊳ G′ . Tunjukkan X bahwa H = φ−1 (H′ ) ⊳ G.



Latihan 3.3.7 Berikan suatu contoh grup G dimana dua subgrup H ≤ K ≤ G memenuhi H ⊳ K dan K ⊳ G, tetapi H bukan subgrup normal dalam G. X



•X

Latihan 3.3.8 Tunjukkan bahwa bila H ⊳ G dan K ⊳ G, maka (H ∩ K) ⊳ G.

Latihan 3.3.9 Misalkan H adalah suatu subgrup dari grup G dan untuk setiap a ∈ G ada X b ∈ G yang memenuhi aH = Hb. Tunjukkan bahwa H ⊳ G.



Latihan 3.3.10 Tunjukkan bahwa bila H ⊳ G dan K ⊳ G, maka HK ⊳ G. Latihan 3.3.11 Dapatkan normalisir dari subgrup berikut.

2. µ1 dalam S3

1. A3 dalam S3

3. hτi dalam D4

•X

4. j dalam Q8 .

•X

Latihan 3.3.12 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup G. Tunjukkan bahwa HK adalah suatu subgrup dari G bila dan hanya bila HK = KH. X



Latihan 3.3.13 Misalkan G adalah suatu grup dengan order pq dimana p dan q adalah dua bilangan prima yang berbeda. Bila G mempunyai suatu subgrup tunggal berorder X p dan suatu subgrup tunggal berorder q, maka tunjukkan bahwa G siklik.



Latihan 3.3.14 Misalkan G suatu grup yang mempunyai dua subgrup tunggal berorder m dan beroder n dimana fpb(m, n) = 1. Tunjukkan bahwa G mempunyai suatu subgrup X normal berorder mn.



Latihan 3.3.15 Misalkan K ⊳ G dan H adalah suatu subgrup dari G. Tunjukkan bahwa (K ∩ H) ⊳ H. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

127

Grup Kuasi..

3.4 Grup Kuasi Dalam bagian sebelumnya sudah ditunjukkan bahwa bila subgrup K dari suatu grup G adalah kernel ker(φ) = {g ∈ G | φ(g) = e}

dari suatu homomorpisma φ : G → G′ , maka gK = Kg untuk semua g ∈ G dan subgrup K dengan sifat yang demikian dinamakan subgrup normal. Dalam bagian ini dibahas image dari suatu homomorpisma. Selanjutnya ditunjukkan sebaliknya, yaitu bila K adalah suatu subgrup normal dari suatu grup G, maka K adalah kernel suatu homomorpisma φ dari G ke grup lainnya G′ . Kenyataannya, ditunjukkan bagaimana mengkonstruksi grup G′ dan homomorpisma φ bila diberikan grup G dan subgrup normal K dari G. Pengkonstruksian ini dinamakan pengkonstruksian grup kuasi. Grup ini sangat penting dalam pemahaman struktur dari grup. Contoh 3.4.1 Dalam Z tinjau subgrup 7Z dan himpunan dengan elemen-elemen di koset-koset dari 7Z dalam Z. Karena m + 7Z = n + 7Z bila dan hanya bila m ≡ n mod 5, maka himpunan dengan elemen-elemen adalah koset-koset dari 7Z dalam Z adalah G′ = {0 + 7Z, 1 + 7Z, 2 + 7Z, 3 + 7Z, 4 + 7Z, 5 + 7Z, 6 + 7Z}. Ada suatu cara wajar untuk mendefinisikan suatu operasi pada G′ , misalnya def

(m + 7Z) + (n + 7Z) = (m + n) + 7Z = (m ⊞7 n) + 7Z, def

dimana m ⊞7 n = [m + n]7 adalah operasi penjumlahan modulo 7. Dengan operasi ini himpunan G′ isomorpik dengan Z7 dengan koset m + 7Z berkaitan dengan elemen φ(m) ∈ Z7 , dimana φ(m) adalah sisa dari m mod 7. Elemen netral adalah 7Z = 0 + 7Z, invers dari 2 + 7Z adalah 5 + 7Z, invers dari 3 + 7Z adalah 4 + 7Z.



Diberikan suatu subgrup H dari suatu grup G, meniru cara pengkosntruksian contoh sebelumnya dan didefinisikan suatu operasi koset dari H dalam G, yaitu (aH)(bH) = (ab)H. Tetapi untuk definisi mempunyai makna, atau dikatakan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik (well defined). Maka diperluhkan bahwa bila a1 H dan a2 H adalah koset yang sama dan bila b1 H dan b2 H adalah koset yang sama, maka (a1 b1 )H dan (a2 b2 )H adalah koset yang sama. Dengan kata lain diperluhkan bahwa hasil operasi tidak bergantung pada elemen yang mana a1 atau a2 yang dipilih untuk mewakili koset yang pertama dan pada elemen yang mana b1 atau b2 yang dipilih untuk mewakili koset yang kedua. Lemma berikut menjelaskan kondisi apa yang dibahas ini. Lemma 3.4.1 Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G. Maka H ⊳ G bila dan hanya bila (aH)(bH) = (ab)H adalah operasi pada koset dari H terdefinisi secara baik.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

128

Homomorpisma Grup..

Bukti (⇒) Asumsikan H ⊳ G dan misalkan a1 H = a2 H dan b1 H = b2 H. Hal ini berarti bahwa a1 = a2 h dan b1 = b2 h′ untuk beberapa h, h′ ∈ H. Maka a1 b1 = (a2 h)(b2 h′ ) = a2 (hb2 )h′ . Karena H ⊳ G, maka b2 H = Hb2 , jadi hb2 = b2 h′′ untuk beberapa h′′ ∈ H. Sehingga didapat a1 b1 = a2 (hb2 )h′ = a2 (b2 h′′ )h′ = a2 b2 (h′′ h′ ), dimana h′′ h′ ∈ H (sebab H subgrup). Dengan demikian (a1 b1 )H = (a2 b2 )H sebagai mana yang dibutuhkan untuk menunjukkan bahwa operasi perkalian koset dari H adalah terdefinisi dengan baik. (⇐) Asumsikan operasi perkalian koset dari H terdefinisi dengan baik, misalkan sebarang g ∈ G dan sebarang h ∈ H. Karena gH = (gh)H dan operasi terdefinisi dengan baik, maka untuk ghg−1 ∈ gHg−1 didapat (ghg−1 )H = (gh)H g−1 H = gH g−1 H = (gg−1 )H = eH = H. Jadi ghg−1 ∈ H, dengan demikian gHg−1 ⊆ H untuk semua g ∈ G. Gunakan test subgrup X normal pada Teorema 3.3.2 didapat bahwa H ⊳ G.



Teorema 3.4.1 Misalkan H adalah suatu sungrup normal dari grup G. Maka himpunan koset-koset dari H dalam G membentuk suatu grup terhadap operasi (aH)(bH) = (ab)H. Bukti Operasi "perkalian" koset (aH)(bH) = (ab)H menurut Lemma 3.4.1 terdefinisi dengan baik. Sifat tertutup, didapat langsung dari "perkalian" koset (aH)(bH) menghasilkan lagi suatu koset (ab)H. Sifat assosiatif, aH(bH cH) = aH[(bc)H] = a(bc)H = (ab)cH = (ab)H cH = (aH bH)cH. Sifat elemen netral, untuk sebarang koset aH, didapat aH H = aH eH = (ae)H = aH, sejalan dengan hal ini didapat H aH = eH aH = (ea)H = aH. Jadi eH = H adalah elemen netral. Sifat invers, diberikan sebarang koset aH, didapat aH a−1 H = (aa−1 )H = eH = H juga a−1 H aH = (a−1 a)H = eH = H. Terlihat bahwa invers dari aH adalah a−1 H. X



Definisi 3.4.1 Misalkan H adalah subgrup normal dari G. Maka grup himpunan kosetkoset dari H dalam G dengan operasi (aH)(bH) = (ab)H dinamakan grup kuasi dari G X oleh H ditulis G/H.



Contoh 3.4.2 Sebagaimana telah dibahas dalam Contoh 3.4.1 Z/7Z  Z7 . Sejalan dengan ini, secara umum didapat Z/nZ  Zn .



Contoh 3.4.3 Dalam Z6 , tinjau subgrup h[3]6 i. Himpunan koset dari h[3]6 i adalah {h[3]6 i , [1]6 + h[3]6 i , [2]6 + h[3]6 i} dan Z6 / h[3]6 i adalah grup berorder 3. Grup ini isomorpik dengan Z3 . Jadi didapat Z6 / h[3]6 i  Z3 . Catatan bahwa [1]6 + h[3]6 i membangun grup kuasi Z6 / h[3]6 i.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

129

Grup Kuasi..

Contoh 3.4.4 Dalam Z12 , tinjau subgrup h[8]12 i = {[0]12 , [4]12 , [8]12 }. Order grup kuasi |Z12 / h[8]12 i| adalah banyaknya koset dari h[8]12 i atau indeks dari h[8]12 i dalam Z12 , yaitu [Z12 : h[8]12 i] = |Z12 / h[8]12 i| = 12/3 = 4. Setiap grup berorder 4 isomorpik dengan Z4 atau V grup-4 Klein. Dihitung order elemen 1 + h[8]12 i dalam Z12 / h[8]12 i. Didapat 2(1 + h[8]12 i) = 2 + h[8]12 i , 3(1 + h[8]12 i) = 3 + h[8]12 i , 4(1 + h[8]12 i) = 4 + h[8]12 i = h[8]12 i . Jadi order |1 + h[8]12 i | = 4. Dengan demikian |1 + h[8]12 i | = |Z12 / h[8]12 i | = 4 dan Z12 / h[8]12 i adalah siklik berorder 4. Jadi Z12 / h[8]12 i  Z4 .

Contoh 3.4.5 Dalam D4 tinjau subgrup ρ2 = {ρ0 , ρ2 }. Karena ρ2 ∈ Z(D4 ), senter dari



D4 , maka ρ2 adalah suatu subgrup normal. Indeks [D4 : ρ2 ] = 8/2 = 4, jadi grup

kuasi D4 / ρ2 mempunyai order [D4 : ρ2 ] = 4. Grup kuasi D Eo D E nD E D E D E D4 / ρ2 = ρ2 , ρ ρ2 , τ ρ2 , ρτ ρ2 ,







semua elemen dari D4 / ρ2 yang bukan ρ2 mempunyai order 2, jadi D4 / ρ2  V, dimana V adalah grup-4 Klein.



Dua contoh yang baru saja dibahas memberikan beberapa fakta penting tentang grup kuasi yang dinyatakan dalam proposisi berikut. Proposisi 3.4.1 Misalkan H suatu subgrup normal dari suatu grup G. Maka (1) Order dari suatu elemen aH dalam G/H adalah bilangan positip terkecil k yang memenuhi ak ∈ H. (2) Bila G berhingga, maka |G/H| = |G|/|H|. (3) Bila G grup komutatif, maka G/H komutatif. (4) Bila G siklik, maka G/H siklik. Bukti (1) Misalkan aH ∈ G/H. Karena H adalah elemen netral di G/H order dari elemen aH adalah bilangan positip terkecil k yang memenuhi (aH)k = H, tetapi (aH)k = ak H. Hal ini berakibat ak H = H bila dan hanya bila ak ∈ H (2) Dengan menggunakan Teorema Lagrange 3.1.4 didapat |G| = |H| [G : H], tetapi |G/H| = [G : H]. Sehingga didapat |G| = |H| [G : H] = |H| |G/H|. Jadi |G/H| = |G|/|H|. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

130

Homomorpisma Grup..

(3) Misalkan G komutatif dan aH, bH ∈ G/H, didapat

aH bH = (ab)H = (ba)H = bH aH.

Terlihat bahwa G/H komutatif. (4) Misalkan G siklik dan hai, dibuat pemetaan φ : G → G/H diberikan oleh φ(x) = xH, ∀x ∈ G. Pemetaan φ adalah homomorpisma. Sebab, diberikan sebarang x, y ∈ G, maka x = ai , y = a j untuk beberapa i, j ∈ Z. Didapat φ(xy) = φ(ai a j ) = φ(ai+j ) = ai+j H = (ai )(a j )H = ai H a j H = xH yH.

Selanjutnya, diberikan sebarang zH ∈ G/H, maka z = an untuk beberapa n ∈ Z, didapat φ(an ) = an H = (aH)n . Tetapi zH = an H. Jadi zH = (aH)n ∈ haHi. Dengan demikian G/H ⊆ haHi. Jelas bahwa haHi ⊆ G/H sebab haHi adalah subgrup dari G/H. Jadi G/H = haHi. Dengan demikian G/H adalah siklik. X



Kebalikan proposisi bagian (3) dan (4) yang baru saja dibahas tidak benar sebagaimana diberikan pada contoh berikut. Contoh 3.4.6 Diberikan subgrup A3 dalam S3 . Indeks [S3 : A2 ] = 2. Jadi grup kuasi S3 /A3 mempunyai order 2, maka dari itu S3 /A3  Z2 . Sebagaimana telah diketahui Z2 komutatif dan siklik, sedangkan S3 tidak komutatif dan tidak siklik.



Misalkan φ : Z → Z7 adalah homomorpisma dimana φ(n) = [n]7 , ∀n ∈ Z. Maka ker(φ) = 7Z. Dikonstruksi grup kuasi Z/7Z sebagaimana dalam Contoh 3.4.1, didapat Z/7Z  Z7 . Diinginkan memahami lebih baik informasi isomorpisma ini melalui hubungan diantara suatu homomorpisma, image dan kernelnya serta grup kuasi. Bila φ : G → G′ sebarang pemetaan, maka untuk sebarang himpunan bagian X ⊆ G image dari X oleh φ dinotasikan sebagai φ(X), yaitu φ(X) = {x′ ∈ G′ | x′ = φ(x), untuk beberapa x ∈ X}.

Sejalan dengan ini, untuk sebarang himpunan bagian Y ⊆ G′ preimage dari Y dinotasikan sebagai φ−1 (Y) diberikan oleh φ−1 (Y) = {x ∈ G | φ(x) ∈ Y}. Contoh 3.4.7 Dipilih 17 ∈ Z dan gunakan homomorpisma

φ : Z → Z7 , φ(n) = [n]7 , ∀n ∈ Z.

Dihitung φ−1 sebagai berikut:

φ(17) = [17]7 = [3]7 dan φ−1 (φ(17)) = [3]7 + 7Z. Himpunan [3]7 + 7Z adalah koset dari kernel dari φ, yaitu 7Z dimana [17]7 berada pada [17]7 + 7Z = [3]7 + 7Z. Hubungan ini berlaku untuk elemen yang lain di Z. Catatan, khususnya bahwa φ−1 (φ(0)) = 7Z = ker(φ).



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

131

Grup Kuasi..

Proposisi 3.4.2 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma dengan ker(φ) = K. Maka untuk sebarang g ∈ G didapat φ−1 (φ(g)) = gK. Bukti Pilih y ∈ G′ yang memenuhi φ−1 (y) = {x ∈ G | φ(x) = y}. Hal ini berakibat bahwa untuk sebarang g ∈ G, maka x ∈ φ−1 (φ(g)) bila dan hanya bila φ(x) = φ(g). Kondisi ini ekivalen dengan φ(g)−1 φ(x) = e′ , dimana e′ adalah elemen netral dari G′ . Karena φ(g)−1 φ(x) = φ(g−1 x). Hal ini berakibat bahwa x ∈ φ−1 (φ(g)) bila dan hanya bila φ(g−1 x) = e′ , dengan kata lain bila dan hanya bila g−1 x ∈ ker(φ) = K. Kondisi ini ekivalen dengan x ∈ gK. Didapat φ−1 (φ(g)) ⊆ gK dan gK ⊆ φ−1 (φ(g)). Jadi φ−1 (φ(g)) = gK X



Kesimpulan 3.4.1 Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′ . Maka φ−1 (φ(e)) = ker(φ).

•X

Bukti Hal ini adalah akibat langsung dari Proposisi 3.4.2, karena eK = K. Definisi 3.4.2 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma. Image φ(G) = {φ(x) | x ∈ G}

sebagaimana telah diketahui adalah subgrup dari G′ dan sama dengan G′ bila φ pemetaan pada. Dalam hal ini G′ dinamakan suatu Image Homomorpik dari G. X



Teorema berikut menunjukkan bahwa ada suatu korespondensi diantara subgrup dan image homomorpik dari suatu grup. Teorema 3.4.2 (Teorema Isomorpisma Pertama) Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′ dengan ker(φ) = K. Maka G/K  φ(G). Bukti Dikonstruksi suatu pemetaan χ : G/K → φ(G) sebagai berikut. Diberikan sebarang elemen gK ∈ G/K, maka gK adalah suatu koset dari K dalam G untuk beberapa g ∈ G. Juga, sebarang elemen dari y ∈ φ(G) memenuhi y = φ(g) untuk beberapa g ∈ G. Dengan demikian cara yang wajar untuk mendefinisikan suatu pemetaan yang dikonstruksi adalah χ(gK) = φ(g), ∀gK ∈ G/K.

Perlu diselidiki bahwa pemetaan ini terdefinisi secara baik, dengan kata lain bila g1 K = g2 K, maka haruslah φ(g1 ) = φ(g2 ). Untuk melihat hal ini, bila g1 K = g2 K, maka g−1 2 g1 ∈ K. Hal ini berakibat ′ φ(g2 )−1 φ(g1 ) = φ(g−1 2 g1 ) = e , c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

132

Homomorpisma Grup..

didapat φ(g1 ) = φ(g2 ). Selanjutnya diberikan sebarang g1 K, g2 K ∈ G/K. Maka χ(g1 K g2 K) = χ(g1 g2 K) = φ(g1 g2 ) = φ(g1 )φ(g2 ) = χ(g1 K)χ(g2 K).

Terlihat bahwa χ adalah suatu homomorpisma. Berikutnya, diberikan sebarang elemen g1 K, g2 K ∈ G/K dan misalkan χ(g1 K) = χ(g2 K). Karena χ(g1 K) = φ(g1 ) dan χ(g2 K) = φ(g2 ), didapat φ(g1 ) = φ(g2 ). Jadi, dengan menggunakan Proposisi 3.4.2 didapat g1 K = φ−1 (φ(g1 )) = φ−1 (φ(g2 )) = g2 K Hal ini menunjukkan bahwa χ satu-satu. Akhirnya, diberikan sebarang y ∈ φ(G) dapat dipilih x ∈ G yang memenuhi y = φ(x). Karena χ(xK) = φ(x), maka y = χ(xK). Hal ini menunjukkan bahwa χ adalah pada. X



Contoh 3.4.8 Tentukan apa bentuk dari grup kuasi R/Z? Untuk menjawab pertanyaan ini konstruksi suatu pemetaan φ : R → S1 diberikan oleh φ(x) = cos 2πx + i sin 2πx, ∀x ∈ R dimana S′ grup diberikan dalam Contoh 2.1.15. Pemetaan φ adalah homomorpisma sebab, diberikan sebarang x, y ∈ R didapat φ(x + y) = = = =

cos(2π(x + y)) + i sin(2π(x + y)) cos(2πx + 2πy) + i sin(2πx + 2πy) (cos 2πx + i sin 2πx)(cos 2πy + i sin 2πy) φ(x)φ(y).

Pemetaan φ adalah pada sebab diberikan sebarang (cos 2πx+i sin 2πx) ∈ S1 dapat dipilih x ∈ R yang memenuhi φ(x) = cos 2πx + i sin 2πx, jadi φ(R) = S1 . Kernel dari φ adalah ker(φ) = {x ∈ R | cos 2πx + i sin 2πx = 1} = {x = n ∈ Z} = Z.

Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat R/Z  S1 .



Implikasi dari Teorema Isomorpisma Pertama adalah manifold. Misalnya, diinginkan mendapatkan semua homomorpisma yang mungkin dari suatu grup G ke grup G′ yang berbeda dengan G. Tinjau subgrup normal K dari G dan tentukan dari masing-masing homomorpisma apakah G/K isomorpik dengan suatu subgrup dari G′ . Contoh 3.4.9 Misalkan ditentukan untuk mendapatkan semua homomorpisma taktrivial yang mungkin dari φ : S3 → Z4 . Kondisi bahwa φ taktrivial berarti bahwa diinginkan ker(φ) = K suatu subgrup sejati dari S3 . Subgrup normal sejati dari S3 hanya {e} dan A3 . Tetapi K = {e} suatu hal yang takmungkin, sebab S3 /K = S3 dan fakta bahwa S3 /K  φ(S3 ) berakibat |φ(S3 )| = 6. Hal ini suatu yang mustahil, karena φ(S3 ) ⊆ Z4 . Jadi yang mungkin hanya K = A3 . Dalam kasus ini, φ(S3 )  S3 /A3 adalah grup berorder 2. Grup Z4 adalah siklik, mempunyai subgrup tunggal berorder 2, yaitu h[2]4 i = {[0]4 , [2]4 }. Dengan demikian pemetaan φ diberikan oleh    [0]4 , bila σ ∈ A3 φ(σ) =   [2]4 , bila σ < A3

adalah suatu homomorpisma.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

133

Grup Kuasi..

Contoh 3.4.10 Misalkan dicari semua homomorpisma taktrivial yang mungkin dari pemetaan φ : S3 → Z3 . Argumentasi dari contoh sebelumnya menunjukkan bahwa kemungkinan suatu subgrup dari Z3 adalah φ(S3 ) dengan order 2. Tetapi Z3 tidak mempunyai subgrup yang berorder 2. Jadi tidak akan mungkin bisa dikonstruksi suatu homomorpisma dari S3 ke Z3 .



Contoh terakhir memberikan gambaran bagaimana dalam kasus grup berhingga bisa didapat bahwa akibat memanfaatkan teorema isomorpisma pertama; diberikan dua grup yang berbeda tidak akan mungkin bisa dikonstruksi suatu homomorpisma grup. Proposisi 3.4.3 Misalkan G dan G′ adalah grup berhingg a dan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma. Maka |φ(G)| membagi |G| dan |G′ |. Bukti Himpunan φ(G) adalah subgrup dari G′ , dengan menggunakan teorema Lagrange didapat |φ(G)| membagi |G′ |. Dari teorema isomorpisma pertama didapat |φ(G)| = |G/ ker(φ)|, tetapi |G/ ker(φ)| = |G|/| ker(φ)|. Jadi |φ(G)| = |G|/| ker(φ)| atau |G| = |φ(G)| | ker(φ)|. Dengan demikian |φ(G)| membagi |G|. X



Diberikan suatu grup G dan suatu homomorpisma φ : G → G′ , maka K = ker(φ) adalah subgrup normal dari G. Teorema berikut membahas hal yang sebaliknya juga benar. Teorema 3.4.3 Diberikan suatu grup G dan suatu subgrup normal K dari G, ada suatu homomorpisma pada π : G → G/K dimana ker(π) = K. Pemetaan π dinamakan natural homomorpisma. Bukti Dikonstruksi π sebagai berikut: untuk setiap g ∈ G berlaku π(g) = gK ∈ G/K. Karena K ⊳ G. Sebagaimana telah diketahui G/K adalah grup dengan operasi g1 K g2 K = g1 g2 K. Maka π adalah suatu homomorpisma, sebab π(g1 g2 ) = g1 g2 K = (g1 K)(g2 K) = π(g1 )π(g2 ), ∀g1 , g2 ∈ G. Dalam grup G/K elemen netral adalah K. Sehingga didapat x ∈ ker(π) bila dan hanya bila π(x) = K dan karena π(x) = xK, didapat x ∈ ker(π) bila dan hanya bila xK = K. Hal ini ekivalen dengan x ∈ K. Jadi ker(π) = K. Pemetaan π adalah pada, sebab setiap X elemen dari G/K mempunyai bentuk gK untuk beberapa g ∈ G.



Teorema terakhir yang baru saja dibahas memfaktorkan sebarang homomorpisma dalam dua langkah. Diberikan suatu homomorpisma φ : G → G′ dengan ker(φ) = K, misalkan π : G → G/K adalah homomorpisma dari Teorema 3.4.3 dan χ : G/K → G′ adalah homomorpisma dalam bukti dari Teorema 3.4.2. Maka karena untuk sebarang g ∈ G didapat χ(π(g)) = χ(gK) = φ(g), maka φ = χ ◦π atau diagram diberikan oleh Gambar 3.1 adalah komutatif. Pada akhir bagian ini dibahas teorema Cauchy khusus hanya untuk grup komutatif. Teorema Cauchy yang umum menyatakan bila G suatu grup G mempunyai order berhingga dan p adalah bilangan prima yang membagi order G, maka G mempunyai suatu elemen berorder p. Teorema ini dibahas pada bab yang lainnya. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

134

Homomorpisma Grup..

G π

φ

G′

χ

G/K Gambar 3.1: Diagram Komutatif

Teorema 3.4.4 (Teorema Cauchy untuk grup komutatif) Diberikan G suatu grup komutatif mempunyai order berhingga dan p adalah bilangan prima yang membagi order G, maka G mempunyai suatu elemen berorder p. Bukti Digunakan induksi pada |G|. Bila |G| = 1 tidak ada yang perlu dibuktikan. Bila |G| = 2 atau 3, maka G siklik, dan pernytaan dalam teorema benar. Asumsikan pernyataan benar untuk semua grup komutatif yang mempunyai order lebih kecil dari |G|. Bila G tidak mempunyai subgrup sejati tak-trivial, maka G adalah siklik, maka dengan menurut Teorema 2.3.4 pernyataan teorema benar. Selanjutnya, misalkan H adalah suatu subgrup sejati tak-trivialdari G. Bila p membagi |H|, maka karena H adalah grup komutatif yang memenuhi |H| < |G|, menurut hipotisis induksi ada suatu elemen a ∈ H ⊂ G yang berorder p. Dengan demikian benar pernyataan teorema. Berikutnya asumsikan bahwa p tidak membagi |H|. Karena G komutatif, maka H ⊳ G dan G/H adalah suatu grup komutatif yang memenuhi |G/H| = |G|/|H|. Karena H taktrivial, maka |G|/|H| < |G| dan karena p membagi |G| dan tidak membagi |H|, maka p membagi |G|/|H|. Jadi dengan hipotisis induksi ada suatu elemen X ∈ G/H yang mempunyai order p. Himpunan X mempunyai bentuk bH untuk beberapa b ∈ G, dimana bH , H dan (bH)p = H. Jadi b < H, tetapi karena bp H = (bH)p = H, maka bp ∈ H. Misalkan c = b|H| ∈ G. Maka  p cp = b|H| = (bp )|H| = e (karena bp ∈ H). Tinggal menunjukkan bahwa c , e. Andaikan c = e, maka e = b|H| sehingga didapat H = eH = b|H| H = (bH)|H| dan menurut Kesimpulan 2.3.1, maka p harus membagi |H|. Hal ini bertentangan dengan kenyataan asumsi bahwa p tidak membagi |H|. Jadi haruslah c , e dan |c| = p. Lengkap sudah bukti. X



Teorema 3.4.5 (Teorema Isomorpisma Kedua) Bila H dan K adalah subgrup dari suatu grup G dengan H ⊳ G, maka H ∩ K ⊳ K dan K/(H ∩ K)  HK/H. Bukti Menurut Proposisi 3.3.3, maka HK adalah subgrup dari G. Jelas bahwa H < HK, selanjutnya ditunjukkan bahwa H ⊳ HK sebagai berikut: Bila H ≤ S ≤ G, maka karena c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

135

Grup Kuasi..

H ⊳ G dengan menggunakan Teorema 3.3.2 didapat gHg−1 ⊆ H untuk semua g ∈ G, juga khususnya gHg−1 ⊆ H untuk semua g ∈ S. Jadi H ⊳ S. Dengan demikian untuk S = HK didapat H ⊳ HK. Diberikan sebarang xH ∈ HK/H, maka xH = (hk)H untuk beberapa h ∈ H dan beberapa k ∈ K. Tetapi hk = (kk−1 )hk = k(k−1 hk) = kh′ dimana k−1 hk = h′ ∈ H sebab H ⊳ HK. Sehingga didapat xH = (hk)H = kh′ H = k(h′ H) = kH, untuk beberapa k ∈ K. Dengan demikian pemetaan φ : K → HK/H didefinisikan oleh φ(k) = kH, ∀k ∈ K adalah pemetaan pada. Pemetaan φ adalah pembatasan dari pemetaan natural π : G → G/H. Jadi φ(k) = π(k) = kH, ∀k ∈ K ⊆ G. Dengan demikian φ adalah homomorpisma. Karena ker(π) = H, maka ker(φ) = H ∩ K. Jadi H ∩ K ⊳ K. Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat K/(H ∩ K)  HK/H. X



Teorema isomorpisma kedua menghasilkan K/(H ∩ K)  HK/H hal berakibat |K/(H ∩ K)| = |HK/H| atau |HK| = |H| |K|/|H ∩ K|. Hal ini sesuai dengan hasil dalam Teorema 3.3.5. Teorema 3.4.6 (Teorema Isomorpisma Ketiga) Bila H dan K adalah subgrup normal dari suatu grup G dan K ≤ H, maka H/K ⊳ G/K dan (G/K)/(H/K)  G/H. Bukti definisikan pemetaan φ : G/K → G/H oleh φ(aK) = aH, ∀aK ∈ G/K, pemetaan ini terdefinisi dengan baik sebab: bila untuk a′ ∈ G dan a′ K = aK, maka a−1 a′ ∈ K ⊆ H. Jadi a−1 a′ ∈ H akibatnya a′ H = aH. Dengan demikian bila aK = a′ K, maka φ(a′ K) = a′ H = aH = φ(aK). Jadi φ terdefinisi dengan baik. Selanjutnya diberikan sebarang aK, bK ∈ G/K didapat φ(aK bK) = φ((ab)K) = (ab)H = aH bH = φ(aK)φ(bK). Jadi φ adalah homomorpisma. Diberikan sebarang aH ∈ G/H, dapat dipilih aK ∈ G/K yang memenuhi φ(aK) = aH. Jadi φ adalah homomorpisma pada dengan demikian φ(G/K) = G/H. Karena aH = H bila dan hanya bila a ∈ H, maka ker(φ) = H/K. Jadi H/K ⊳ G/H dan dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat (G/K)/(H/K)  G/H.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

136

Homomorpisma Grup..

Latihan Latihan 3.4.1 Tentukan nilai n sedemikian hingga Zn isomorpik dengan grup kuasi siklik berikut:



1. Z6 / h[2]6 i 2. Z12 / h[8]12 i 3. Z15 / h[6]15 i 4. S4 /A4 5. D4 / ρ 6. Q8 / j . X Latihan 3.4.2 Dapatkan order elemen dari grup kuasi berikut:



1. [3]12 + h[8]12 i dalam Z12 / h[8]12 i. 2. [3]15 + h[6]15 i dalam Z15 / h[6]15 i. 3. [2]15 + h[6]15 i dalam Z15 / h[6]15 i.



4. i j dalam Q8 / j .



X 5. ρ ρ2 dalam D4 / ρ2 .



Latihan 3.4.3 Dapatkan semua homomorpisma taktrivial yang mungkin dari grup berikut: 1. φ : S3 → Z6 . 2. φ : D4 → Z4 . 3. φ : Z5 → Z10 . 4. φ : Z10 → Z5 .

•X

Latihan 3.4.4 Misalkan φ : G → G′ adalah suatu homomorpisma pada dengan ker(φ) = K dan H′ adalah suatu subgrup dari G′ . Tunjukkan bahwa ada suatu subgrup H dari G X sedemikian hingga K ⊆ H dan H/K  H′ .



Latihan 3.4.5 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup G sedemikian hingga H ⊳ G, K ⊳ G, [G : H] = 5 dan [G : K] = 3. Tunjukkan bahwa untuk semua g ∈ G didapat g15 ∈ H ∩ K. X



Latihan 3.4.6 Diberikan dihedral grup D6 = {ρi τ j | 0 ≤ i < 6, 0 ≤ j < 2},

6 2 dimana = τρ−1 . Tunjukkan bahwa

3 ρ = τ = identitas dan ρτ (a). ρ ⊳ D6 . (b). D6/ ρ3  S3 . X

Latihan 3.4.7 Diberikan dihedral grup



Dn = {ρi τ j | 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < 2},

dimana ρn = τ2 = identitas dan ρτ = τρ−1 . Untuk sebarang k pembagi dari n tunjukkan bahwa D E D E X (b). Dn / ρk  Dk . (a). ρk ⊳ Dn .



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

137

Grup Kuasi..

Latihan 3.4.8 Misalkan Z(G) adalah senter dari suatu grup G. Tunjukkan bahwa (a). Z(G) ⊳ G (b). Bila G/Z(G) siklik, maka G adalah komutatif. X



Latihan 3.4.9 Misalkan Z(G) adalah senter dari suatu grup G. Tunjukkan bahwa bila X [G : Z(G)] = p dengan p adalah prima, maka G adalah komutatif.



Latihan 3.4.10 Misalkan G adalah suatu grup dan S ⊂ G dengan S , ∅. Didefinisikan hSi adalah subgrup terkecil dari G yang memuat S dinamakan subgrup dari G dibangun oleh S. Tunjukkan bahwa hSi exist. X



Latihan 3.4.11 Tunjukkan bahwa dalam S4 subgrup yang dibangun oleh S = {(1 2), (1 2 3 4)} X adalah S4 .



Latihan 3.4.12 Misalkan G adalah suatu grup dan n o S = xyx−1 y−1 | x, y ∈ G .

Misalkan N = hSi, dalam hal ini N dinamakan subgrup komutator dari G. Maka tunjukkan bahwa: (a) N ⊳ G. (b) G/N komutatif. (c) Bila H suatu normal subgrup dari G dan G/H komutatif, maka N ⊆ H. (d) Bila H suatu subgrup dari G dengan N ⊆ H, maka H ⊳ G. Latihan 3.4.13 Dapatkan semua subgrup komutator dari S3 . Latihan 3.4.14 Dapatkan semua subgrup komutator dari D4 .

•X •X

Digraf Cayley Misalkan G suatu grup berhingga dan S suatu himpunan bagian dari G yang membangun G. Suatu himpunan dari persamaan yang dipenuhi oleh generator yaitu secara lengkap menentukan tabel operasi biner dari G dinamakan himpunan relasi penentu. Contoh, D4 dibangun oleh S = {ρ, τ} dengan relasi penentu ρ4 = τ2 = ρ0 dan ρτ = τρ−1 . Grup kuoternion Q8 = {±1, ±i, ±j, ±ij} dibangun oleh S = {i, j} dengan relasi penentu i4 = 1, i2 = j2 dan ij = −ji. Diberikan suatu himpunan S yang membangun suatu grup berhingga G. Dikonstruksi suatu graf berarah atau digraf Cayley dari G yang berkaitan dengan S sebagai berikut: (1) Masing-masing elemen dari G disajikan oleh titik. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

138

Homomorpisma Grup..

(2) Masing-masing elemen dari S disajikan oleh garis berarah. (3) Bila c ∈ S disajikan oleh garis berarah →, maka untuk a, b ∈ G, a• → •b mempunyai arti ac = b di G. (4) Bila c ∈ S dengan c−1 = c, maka tanda panah dihapus dari garis yang menyajikan c. (1 3 2)

[0]5

b

b

[4]5 b

b

b

[3]5

b

[1]5

b

[2]5

ρ0

Digraf Cayley dari Z5 dengan S = {[1]5 } dan → representasi dari [1]5 .

b

(2 3)

b

b

(1 2)

(1 3) b

(1 2 3)

Digraf Cayley dari grup simetri S3 dengan S = {(1 2), (1 2 3)} dan → representasi dari (1 2 3), sedangkan − representasi dari (1 2).

Perhatikan bahwa dari gambar diagram terlihat bahwa grup simetri S3 tidak komutatif.

Latihan Latihan 3.4.15 Tunjukkan bahwa digraf Cayley dari suatu grup harus memenuhi empat kondisi berikut: (1) Untuk setiap pasangan titik x dan y ada suatu lintasan yaitu suatu barisan garis terhubung yang mulai dari x berakhir pada y. (2) Setidaknya ada satu garis dari suatu titik x ke suatu titik y. (3) Pada masing-masing titik x ada tepat satu garis dari masing-masing jenis garis yang dimulai dari x dan ada tepat satu garis dari masing-masing macam garis yang berakhir pada x. (4) Bila dua lintasan berbeda dimulai dari suatu titik x dan keduanya berakhir pada titik y, maka dua lintasan yang sama dimulai dari sebarang titik z akan berakhir pada titik yang sama yaitu w. X



Latihan 3.4.16 Konstruksi digraf Cayley dari grup G dan himpunan pembangun S berikut: (1) G = Z6 , S = {[1]6 }. (2) G = Z6 , S = {[2]6 , [3]6 }. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

139

Automorpisma..

(3) G = S3 , S = {(1 2), (2 3)}. (4) G = D4 , S = {ρ, τ}.

•X

(5) G = A4 , S = {(1 2 3), (1 2)(3 4)}.

b

b b b

b b

b b

b

b

b

Gambar 3.2: Digraf Cayley

Latihan 3.4.17 Identifikasi grup dan himpunan pembangun dan relasi penentu yang merepresentasikan digraf Cayley diberikan oleh Gambar 3.2. X



3.5 Automorpisma Telah dikaji isomorpisma diantara satu grup dan grup lainnya. Pada bagian ini ditinjau isomorpisma diantara suatu grup dan grup itu sendiri. Suatu hal yang akan dibahas bahwa himpunan isomorpisma ini membentuk suatu grup dalam suatu cara yang wajar. Contoh 3.5.1 Misalkan akan ditentukan semua isomorpisma yang mungkin dari φ : Z6 → Z6 . Sebagaimana telah diketahui Z6 adalah siklik dan [1]6 adalah suatu generator dari Z6 , yaitu Z6 = h[1]6 i. Maka menurut Proposisi 3.2.6 didapat, bila φ adalah suatu isomorpisma dari G ke G′ , maka |φ(a)| = |a| untuk semua a ∈ G. Jadi |φ([1]6 )| = |[1]6 | = 6. Dengan demikian φ([1]6 ) haruslah suatu generator dari Z6 , maka dari itu φ([1]6 ) = [1]6 atau φ([1]6 ) = [5]6 . Juga, sekali φ([1]6 ) diketahui, maka φ secara lengkap dapat ditentukan; sebab φ([2]6 ) = 2φ([1]6 ), φ([3]6 ) = 3φ([1]6 ) dan seterusnya. Jadi, ada tepat dua isomorpisma. Misalkan φ0 adalah pemetaan identitas, yaitu φ0 ([n]6 ) = [n]6 , ∀[n]6 ∈ Z6 dan φ1 adalah isomorpisma yang diberikan oleh φ1 ([n]6 ) = 5[n]6 , ∀[n]6 ∈ Z6 . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

140

Homomorpisma Grup..

Sekarang, tinjau himpunan {φ0 , φ} dengan operasi komposisi fungsi, didapat φ0 ◦φ0 = φ0 dan φ0 ◦ φ1 = φ1 ◦ φ0 = φ1 . Lalu bagaimana komposisi φ1 ◦ φ1 ? Untuk menjawab pertanyaan ini cukup ditentukan nilai dari [1]6 terhadap φ1 ◦ φ1 sebagai berikut: φ1 ◦ φ1 ([1]6 ) = φ1 (φ1 ([1]6 )) = φ1 ([5]6 ) = 5[5]6 = [25]6 = [1]6 = φ0 ([1]6 ). Jadi, φ1 ◦φ1 = φ0 . Dengan demikian himpunan {φ0 , φ1 } terhadap operasi biner komposisi fungsi adalah grup siklik berorder 2.



Definisi 3.5.1 Misalkan G adalah suatu grup. Suatu isomorpisma φ : G → G dinamakan automorpisma dari G dan himpunan dari semua automorpisma dari G dinotasikan oleh Aut(G). X



Telah ditunjukkan dalam Contoh 3.5.1 bahwa himpunan Aut(G) adalah suatu grup. Teorema berikut dibuktikan bahwa automorpisma dari suatu grup selalu membentuk suatu grup. Teorema 3.5.1 Misalkan G adalah suatu grup. Maka Aut(G) membentuk suatu grup terhadap operasi komposisi fungsi. Bukti Sifat tertutup, misalkan φ1 , φ2 ∈ Aut(G) dan tinjau φ1 ◦ φ2 . Dalam Teorema 1.1.1 telah ditunjukkan bahwa komposisi dari fungsi satu-satu menghasilkan fungsi satusatu dan komposisi dari fungsi pada menghasilkan fungsi pada. Jadi komposisi φ1 ◦ φ2 adalah satu-satu pada dengan demikian untuk menunjukkan φ1 ◦ φ2 ∈ Aut(G) tinggal menunjukkan φ1 ◦ φ2 adalah homomorpisma. Tetapi hal ini telah ditunjukkan dalam Proposisi 3.2.5. Sifat assosiatif juga telah ditunjukkan dalam Teorema 1.1.1 bahwa komposisi dari fungsi adalah asosiatif. Sifat identitas, misalkan φ0 fungsi identitas pada G, yaitu φ0 (a) = a, ∀a ∈ G. Juga dalam Proposisi 3.2.5 telah ditunjukkan bahwa, pemetaan identitas adalah suatu isomorpisma grup pada G. Jadi φ0 ∈ Aut(G) dan memenuhi φ ◦ φ0 = φ = φ0 ◦ φ, ∀φ ∈ Aut(G). Sifat invers, untuk φ ∈ Aut(G), maka menurut Teorema 1.1.3 φ−1 : G → G dijamin ada dan satu-satu pada yang memenuhi φ ◦ φ−1 = φ0 = φ−1 ◦ φ. Tinggal menunjukkan bahwa φ−1 adalah suatu homomorpisma. Misalkan a, b ∈ G dan c = φ−1 (a), d = φ−1 (b). Didapat φ(c) = a, φ(d) = b. Karena φ homomorpisma, maka φ(cd) = φ(c)φ(d) = ab. Hal ini berakibat φ−1 (ab) = cd = φ−1 (a)φ−1 (b). Hal ini menunjukkan bahwa φ−1 adalah suatu homomorpisma sebagaimana yang diX inginkan. Dengan demikian lengkap sudah bukti.



Contoh 3.5.2 Akan ditentukan Aut(Z8 ). Karena Z8 siklik dengan generator [1]8 , maka bila φ sebarang automorpisma haruslah |φ([1]8 )| = |[1]8 | = 8 dan φ([1]8 ) juga suatu generator dari Z8 . Yaitu φ([1]8 ) = [1]8 atau φ([1]8 ) = [3]8 atau φ([1]8 ) = [5]8 atau φ([1]8 ) = [7]8 . Tetapi, karena sekali nilai φ([1]8 ) ditentukan, maka φ secara lengkap dapat ditentukan. Sebab secara umum φ([n]8 ) = nφ([1]8 ) dan pemetaan ini adalah isomorpisma. Jadi terdapat tepat empat automorpisma. Yaitu pemetaan identitas φ1 ([n]8 ) = [n]8 , ∀[n]8 ∈ Z8 , c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

141

Automorpisma..

pemetaan φ3 ([n]8 ) = 3[n]8 , ∀[n]8 ∈ Z8 , pemetaan φ5 ([n]8 ) = 5[n]8 , ∀[n]8 ∈ Z8 dan pemetaan φ7 ([n]8 ) = 7[n]8 , ∀[n]8 ∈ Z8 . Dalam hal ini, didapat φ3 ◦ φ5 ([n]8 ) = φ3 (φ5 ([n]8 )) = φ3 (5[n]8 ) = 15[n]8 = 7[n]8 . Jadi φ3 ◦ φ5 = φ7 ∈ Aut(Z8 ). Secara umum, didapat bahwa bila i j ≡ k mod 8, maka φi ◦ φ j = φk ∈ Aut(Z8 ). Dari apa yang dibahas ini, pemetaan T(φi ) = i memberikan suatu isomorpisma diantara Aut(Z8 ) dengan grup perkalian U(8).



Contoh yang baru saja dibahas dapat digeneralisasi untuk sebarang grup siklik G sebagaimana ditunjukkan dalam teorema berikut. Teorema 3.5.2 Diberikan grup siklik G dengan order n. Maka Aut(G)  U(n). Bukti Didefinisikan suatu pemetaan T : Aut(G) → U(n) sebagai berikut. Misalkan G = hai dimana |a| = n. Tinjau φ ∈ Aut(G), maka untuk sebarang g ∈ G didapat g = ai untuk beberapa bilangan bulat i dengan 0 ≤ i < n dan φ(g) = φ(ai ) = φ(a)i . Terlihat bahwa sekali nilai φ ditetapkan maka φ secara lengkap dapat ditentukan. Sehingga didapat |φ(a)| = |a| = n. Terlihat bahwa φ(a) adalah suatu generator dari G. Maka dari itu menurut Kesimpulan 2.3.4 φ(a) = ar untuk berapa r dimana fpb(n, r) = 1 selanjutnya gunakan Teorema 2.3.1 didapat ar = as bila dan hanya bila s ≡ r mod n. Jadi ada suatu s ∈ {q | fpb(n, q) = 1, 0 ≤ q < n} = U(n) yang memenuhi φ(a) = as . Dari yang telah dibahas, dapat ditentukan T(φ) = s, ∀φ ∈ Aut(G), dimana φ(a) = s dan s ∈ U(n). Berikutnya ditunjukkan bahwa T suatu homomorpisma. Bila φ, ψ ∈ Aut(G) dengan φ(a) = as dan ψ(a) = at dimana s, t ∈ U(n), maka didapat ψ ◦ φ(a) = ψ(φ(a)) = ψ(as ) = ast = au , dimana u ≡ st mod n. Jadi T(ψ ◦ φ) = u = st mod n = ts

mod n = T(ψ)T(φ).

Pemetaan T adalah satu-satu, sebab bila T(φ) = T(ψ), maka φ(a) = aT(φ) = aT(ψ) = ψ(a), jadi φ = ψ. Juga, pemetaan T adalah pada, sebab diberikan sebarang s ∈ U(n), maka as adalah suatu generator dari G, dengan menggunakan Lemma 3.2.1 dapat dipilih pemetaan φ yang memenuhi φ(ai ) = ais = (ai )s adalah suatu isomorpisma. Dari sini didapat T(φ) = s. X



Untuk suatu grup siklik G telah diketahui apa bentuk dari Aut(G). Untuk grup komutatif taksiklik situasinya lebik kompleks. Untuk grup takkomutatif, proposisi berikut menunjukkan bagaimana mengkonstruksi berbagai contoh automorpisma. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

142

Homomorpisma Grup..

Proposisi 3.5.1 Misalkan G adalah suatu grup, g ∈ G dan T g : G → G pemetaan yang didefinisikan oleh T g (x) = gxg−1 , ∀x ∈ G. Maka T g ∈ Aut(G). Bukti Pemetaan T g adalah homomorpisma, sebab untuk semua x, y ∈ G didapat T g (xy) = g(xy)g−1 = (gxg−1 )(gyg−1 ) = T g (x)T g (y). Pemetaan T g adalah satu-satu, sebab diberikan sebarang x ∈ ker(φ) didapat T g (x) = gxg−1 = e, maka x = g−1 eg = g−1 g = e. Jadi ker(φ) = {e}. Dengan demikian T g satu-satu. Selanjutnya diberikan sebarang y ∈ G, pilih x = g−1 yg ∈ G didapat T g (x) = gxg−1 = gg−1 ygg−1 = y. Jadi T g adalah pada. X



Definisi 3.5.2 Misalkan G adalah suatu grup dan g ∈ G. Maka automorpisma T g yang didefinisikan oleh T g (x) = gxg−1 , ∀x ∈ G dinamakan suatu inner automorpisma. Himpunan semua inner automorpisma dinotasikan oleh Inn(G). X



Proposisi 3.5.2 Misalkan G adalah suatu grup. Maka Inn(G) adalah suatu subgrup dari Aut(G). Bukti Inner automorpisma Te adalah elemen identitas, sebab untuk sebarang x ∈ G didapat Te (x) = exe−1 = x. Diberikan sebarang T g , Th ∈ Inn(G) dan sebarang x ∈ G didapat T g ◦ Th (x) = T g (Th (x)) = T g (hxh−1 ) = (gh)x(h−1 g−1 ) = (gh)x(gh)−1 = T gh (x). Jadi T g ◦ Th = T gh ∈ Inn(G). Diberikan sebarang T g ∈ Inn(G), maka T g−1 ◦ T g (x) = T g−1 (T g (x)) = T g−1 (gxg−1 ) = g−1 gxg−1 g = x dan T g ◦ T g−1 = T g (T g−1 (x)) = T g (g−1 xg) = gg−1 xgg−1 = x.

Jadi T g−1 ◦ T g = Te = T g ◦ T g−1 . Dengan demikian T g−1 adalah invers dari T g .

•X

Contoh 3.5.3 Akan ditentukan Inn(D4 ). Perhatikan bahwa bila g ∈ Z(D4 ) dimana Z(D4 ) adalah senter dari D4, maka T g adalah identitas, sebab T g (x) = gxg−1 = gg−1 x = ex = x, untuk semua x ∈ D4.

Sebagaimana telah diketahui, senter Z(D4 ) = {ρ0 , ρ2 }. Bila g sebarang elemen di D4 , didapat T gρ2 = T g ◦ Tρ2 = T g (sebab Tρ2 adalah identitas). Dapat dihitung Tρ (ρi τ) = ρ(ρi τ)ρ−1 = ρρi (τρ−1 ) = ρρi (ρτ) = ρi+2 τ Tτ (ρi τ) = τ(ρi τ)τ−1 = τρi = ρ−i τ Tρτ (ρi τ) = ρτ(ρi τ)τ−1 ρ−1 = ρτρi−1 = ρ−i+2 τ = Tρ (ρ−i τ) = Tρ (Tτ (ρi τ)) = Tρ ◦ Tτ (ρi τ). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

143

Automorpisma..

Bila pemetaan identitas dinotasikan oleh T0 , maka T0 , Tρ , Tτ , Tρτ adalah inner automorpisma dari D4 . Perlu diperhatikan bahwa D4 /Z(D4 ) = {Z(D4 ), ρZ(D4 ), τZ(D4 ), ρτZ(D4 )}. Terlihat ada keterkaitan diantara inner automorpisma dari D4 dengan koset dari senter Z(D4 ). Kenyataannya keterkaitan ini adalah suatu isomorpisma.



Hubungan diantara Inn(G) dan Z(G) yang baru saja dibahas dalam contoh sebelumnya berlaku secara umum untuk sebarang grup. Teorema 3.5.3 Untuk sebarang grup G, maka Inn(G)  G/Z(G) dimana Z(G) adalah senter dari G. Bukti Misalkan χ : G → Inn(G) adalah pemetaan didefinisikan oleh χ(g) = T g ∈ Inn(G) untuk semua g ∈ G. Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama, cukup ditunjukkan bahwa χ adalah homomorpisma pada dan ker(χ) = Z(G). Pemetaan χ sebagaimana telah dibahas dalam Proposisi 3.5.2 adalah homomorpisma, sebab untuk sebarang g, h ∈ G didapat χ(gh) = T gh = T g ◦ Th = χ(g)χ(h). Lagipula, χ adalah pada sebab χ ∈ Inn(G). Akhirnya, g ∈ ker(χ) bila dan hanya bila χ(g) = T g adalah pemetaan identitas. Kondisi ini ekivalen dengan gxg−1 = x atau xg = gx untuk semua x ∈ G. Jadi g ∈ ker(χ) bila dan hanya bila g komutatif dengan setiap elemen x ∈ G, hal ini berarti bahwa g ∈ Z(G). X



Latihan Latihan 3.5.1 Misalkan φ1 , φ3 , φ5 , φ7 adalah automorpisma dari Z8 sebagaimana dalam Contoh 3.5.2. Tunjukkan bahwa bila i j = k mod 8, maka φi ◦ φ j = φk . X



Latihan 3.5.2 Dengan notasi sebagaimana diberikan dalam Latihan 3.5.1, tunjukkan bahwa pemetaan T : Aut(G) → U(8) didefinisikan oleh T(φi ) = i adalah suatu isomorpisma. X



Latihan 3.5.3 Misalkan G = hai adalah suatu grup siklik berorder 10. Uraikan secara langsung elemen-elemen dari Aut(G). X



Latihan 3.5.4 Misalkan G adalah suatu grup komutatif. Tunjukkan bahwa pemetaan φ : G → G didefinisikan oleh φ(x) = x−1 untuk semua x ∈ G adalah suatu automorpisma X dari G.



Latihan 3.5.5 Tentukan Aut(Z).

•X c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

144

Homomorpisma Grup..

Latihan 3.5.6 Tunjukkan bahwa pemetaan φ : S3 → S3 didefinisikan oleh φ(x) = x−1 untuk semua x ∈ S3 bukan suatu automorpisma. X



Latihan 3.5.7 Misalkan G adalah suatu grup, H ⊳ G dan φ ∈ Aut(G). Tunjukkan bahwa X φ(H) ⊳ G.



Latihan 3.5.8 Untuk sebarang grup G, tunjukkan bahwa Inn(G) ⊳ Aut(G). Latihan 3.5.9 Tunjukkan bahwa Inn(S3 )  S3 .

•X

Latihan 3.5.10 Untuk sebarang p prima, tunjukkan bahwa Aut(Zp )  Zp−1 .

•X •X

Latihan 3.5.11 Misalkan Q8 grup kuoternion. Tunjukkan bahwa Inn(Q8 )  V grup-4 X Klein. (Petunjuk: tentukan dulu Z(Q8 )).



Latihan 3.5.12 Tunjukkan bahwa Inn(D4 )  V grup-4 Klein. Latihan 3.5.13 Tunjukkan bahwa |Aut(D4 )| ≤ 8.

•X

•X

Latihan 3.5.14 Bila V adalah grup-4 Klein, maka tunjukkan bahwa Aut(V)  Gl(2, Z2 ). Latihan 3.5.15 Tunjukkan bahwa Aut(D4 )  D4 . Latihan 3.5.16 Tunjukkan bahwa Aut(Q8 )  S4 . Latihan 3.5.17 Tunjukkan bahwa Aut(S3 )  S3 .

•X •X •X •X

Latihan 3.5.18 Untuk suatu grup G, suatu subgrup H dari G dinamakan suatu subgrup karakteristik dari G bila untuk semua φ ∈ Aut(G) didapat φ(H) = H. 1. Tunjukkan bahwa bila H adalah suatu subgrup karakteristik dari G, maka H ⊳ G. 2. Tunjukkan bahwa bila H hanyalah subgrup dari G berorder n, maka H adalah subgrup karakteristik dari G. 3. Misalkan G adalah suatu grup, H suatu subgrup normal dari G dan K suatu subgrup karakteristik dari H. Tunjukkan bahwa K adalah subgrup normal dari G. 4. Misalkan G adalah suatu grup, H adalah suatu subgrup karakteristik dari G dan K adalah suatu subgrup karakteristik dari H. Tunjukkan bahwa K adalah suatu X subgrup karakteristik dari G.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Bab

4

Produk Langsung dan Grup Abelian Dalam Bab 2 sudah dipelajari apa grup dan dibahas contoh-contoh khusus dari berbagai grup penting seperti Zn , U(n), Sn , An , Dn , V dan Q8 . Selain itu juga grup matriks GL(2, R) dan SL(2, R). Dalam Bab 3 dibahas pemetaan diantara grup yang dinamakan homomorpisma grup setelah pembahasan teorema Lagrange. Dibahas peran subgrup normal dan hubungannya dengan homomorpisma grup dan grup kuasi. Dalam bab ini dibahas bagaimana mengkonstruksi grup baru dari grupyang sudah dikenal. Juga diidentifikasi grup yang terbentuk ini yang berkaitan dengan grup komutatif dan siklik dengan menggunakan teorema-teorema yang telah dibahas dalam Bab 2. Suatu teorema yang sangat penting diturunkan yang berguna untuk mendapatkan semua grup komutatif dari suatu grup berhingga.

4.1 Contoh-contoh dan definisi Digunakan grup yang telah dibahas sebelumnya untuk mengkonstruksi grup baru dan dipelajari sifat-sifat grup baru ini yang diwarisi dari grup aslinya. Dimulai dari beberapa contoh berikut. Contoh 4.1.1 Tinjau himpunan Z2 × Z3 = {(a, b) a ∈ Z2 , b ∈ Z3 }. Elemen (a, b) adalah suatu pasangan dengan komponen pertama adalah a = [0]2 atau [1]2 , sedangkan komponen kedua b = [0]3 , [1]3 atau [2]3 . Jadi Z2 × Z3 mempunyai tepat enam elemen, Z2 × Z3 = {([0]2 , [0]3 ), ([0]2 , [1]3 ), ([0]2 , [2]3 ), ([1]2 , [0]3 ), ([1]2 , [1]3 ), ([1]2 , [2]3 )}. Dikenakan operasi secara komponen yang besesuaian pada himpunan ini, yaitu def

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Jadi ([1]2 , [2]3 ) + ([1]2 , [2]3 ) = ([1 + 1]2 , [2 + 2]3 ) = ([0]2 , [1]3 ), 145

146

Produk Langsung dan Grup Abelian..

([1]2 , [2]3 ) + ([1]2 , [1]3 ) = ([1 + 1]2 , [2 + 1]3 ) = ([0]2 , [0]3 ) dan ([0]2 , [0]3 ) + ([1]2 , [2]3 ) = ([0 + 1]2 , [0 + 2]3 ) = ([1]2 , [2]3 ). Jelas bahwa sifat tertutup dipenuhi, elemen ([0]2 , [0]3 ) adalah elemen netral dan invers dari (a, b) adalah (−a, −b).



Contoh 4.1.2 Diberikan himpunan Z × Z = {(a, b), | a, b ∈ Z}, himpunan ini adalah takberhingga. Seperti dalam Contoh 4.1.1, operasi pada himpunan ini didefinisikan secara komponen yang bersesuaian. Maka sifat tertutup dipenuhi, elemen netral adalah (0, 0) dan invers dari (a, b) adalah (−a, −b).



Contoh 4.1.3 Tinjau himpunan Z2 × S3 = {(a, σ) | a ∈ Z2 , σ ∈ S3 }. Disini operasi juga diberlakukan secara komponen yang bersesuaian, yaitu: def

(a, σ) ∗ (b, τ) = (a + b, σ ◦ τ). Misalnya ([1]2 , ρ) ∗ ([1]2 , µ1 ) = ([0]2 , ρµ1 ) = ([0]2 , µ3 ). Elemen netral adalah ([0]2 , ρ0 ) dan ([1]2 , ρ)−1 = ([1]2 , ρ2 ), ([1]2 , µi )−1 = ([1]2 , µi ).



Untuk sebarang grup G1 dan G2 , mengikuti pembahasan contoh-contoh yang telah diberikan, maka himpunan pasangan dari elemen G1 dan G2 membentuk suatu grup sebagaimana dibuktikan dalam teorema berikut. Teorema 4.1.1 Misalkan hG1 , ◦i dan hG2 , ⋄i grup dan G = G1 × G2 = {(a1 , a2 ) | a1 ∈ G1 , a2 ∈ G2 }. Didefinisikan operasi ∗ pada G1 × G2 secara komponen yang bersesuaian oleh def

(a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = (a1 ◦ b1 , a2 ⋄ b2 ), ∀(a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ G1 × G2 . Maka hG, ∗i adalah suatu grup. Bukti (Tertutup) Diberikan (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ G1 × G2 , dengan sifat tertutup untuk G1 dan G2 didapat a1 ◦ b1 ∈ G1 dan a2 ⋄ b2 ∈ G2 . Jadi (a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 ) = (a1 ◦ b1 , a2 ⋄ b2 ) ∈ G1 × G2 . (Asosiatif) Diberikan sebarang (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) dan (c1 , c2) di G1 × G2 , menggunakan sifat asosiatif untuk G1 dan G2 didapat [(a1 , a2 ) ∗ (b1 , b2 )] ∗ (c1 , c2) = = = = =

(a1 ◦ b1 , a2 ⋄ b2 ) ∗ (c1 , c2) ((a1 ◦ b1 ) ◦ c1, (a2 ⋄ b2 ) ⋄ c2 ) (a1 ◦ (b1 ◦ c1 ), a2 ⋄ (b2 ⋄ c2 )) (a1 , a2 ) ∗ ((b1 ◦ c1), (b2 ⋄ c2 )) (a1 , a2 ) ∗ [(b1 , b2 ) ∗ (c1 , c2 )]

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

147

Contoh-contoh dan definisi..

(Elemen netral) Misalkan e1 elemen netral dari G1 dan e2 elemen netral dari G2 . Maka diberikan sebarang elemen (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2 didapat (e1 , e2 ) ∗ (a1 , a2 ) = (e1 ◦ a1 , e2 ⋄ a2 ) = (a1 , a2 ) = (a1 ◦ e1 , a2 ⋄ e2 ) = (a1 , a2 ) ∗ (e1 , e2). Jadi (e1 , e2) adalah elemen netral dari G1 × G2 . (invers) Diberikan sebarang (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2 , misalkan a−1 invers dari a1 di G1 dan a−1 2 adalah elemen invers dari a2 di G2 . 1 Didapat −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (a1 , a2 ) ∗ (a−1 1 , a2 ) = (a1 ◦ a1 , a2 ⋄ a2 ) = (e1 , e2 ) = (a1 ◦ a1 , a2 ⋄ a2 ) = (a1 , a2 ) ∗ (a1 , a2 ).

Jadi invers dari (a1 , a2 ) adalah (a−1 , a−1 2 ). 1

•X

Definisi 4.1.1 Diberikan dua grup G1 dan G2 , grup G1 × G2 dengan operasi didefinisikan X sebagaimana dalam Teorema 4.1.1 dinamakan produk langsung dari G1 dan G2 .



Pengkonstruksian produk langsung dapat dilakukan pada lebih dari dua grup. Bila G1 , G2 dan G3 adalah grup, maka dari Teorema 4.1.1 didapat G1 × G2 adalah suatu grup terhadap operasi komponen yang bersesuaian. Lagi, Teorema 4.1.1 dapat digunakan pada dua grup G1 × G2 dan G3 , didapat (G1 × G2 ) × G3 terhadap operasi komponen yang bersesuaian adalah suatu grup. Proses dapat dilanjutkan untuk sebanyak berhingga grup sebagaimana dinyatakan dalam proposisi berikut. Proposisi 4.1.1 Misalkan G1 , G2, . . . , Gn dengan n berhingga adalah grup. Maka G1 × G2 × · · · × Gn = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Gi , 1 ≤ i ≤ n} adalah grup terhadap operasi komponen yang bersesuaian def

(a1 , a2 , . . . , an ) ∗ (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 b1 , a2 b2 . . . , an bn ). Bukti Dilakukan secara induksi untukn. Untuk n = 1 tidak ada yang perlu dibuktikan. Untuk n = 2 sudah terbukti dalam Teorema 4.1.1. Misalkan benar untuk n = k, maka G = G1 × G2 × · · · Gk adalah grup. Selanjutnya tinjau grup G dan Gk+1 , maka menurut Teorema 4.1.1 didapat G × Gk+1 adalah grup atau (G1 × G2 × · · · × Gk ) × Gk+1 = G1 × G2 × · · · × Gk × Gk+1 adalah grup. Jadi pernyataan benar untuk n = k + 1.

•X

Perlu diperhatikan bahwa dalam pembahasan produk langsung berkaitan dengan sebanyak berhingga grup. Untuk sebanyak takhingga grup, konstruksi dapat dilakukan dengan cara yang sama. Tentunya hal ini lebih kompleks. Berikut ini dibahas sifat-sifat dasar dari produk langsung G1 × G2 . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

148

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Proposisi 4.1.2 Misalkan G1 dan G2 adalah grup. Maka G1 × G2  G2 × G1 . Bukti Misalkan pemetaan φ : G1 × G2 → G2 × G1 didefinisikan oleh φ((a, b)) = (b, a), ∀(a, b) ∈ G1 × G2 . Pemetaan φ adalah homomorpisma, sebab untuk sebarang (a, b), (c, d) ∈ G1 × G2 didapat φ((a, b)(c, d)) = φ((ac, bd)) = (bd, ac) = (b, a)(d, c) = φ((a, b))φ((c, d)). Pemetaan φ satu-satu, sebab untuk (a, b) ∈ ker(φ) bila dan hanya bila (b, a) = (e2 , e1). Jadi ker(φ) = {(e1 , e2)}. Pemetaan φ adalah pada, hal ini langsung dari definisi φ. X



Proposisi yang baru saja dibahas menjelaskan bahwa urutan untuk produk langsung tidak jadi masalah. Hal ini benar untuk mengkonstruksi produk langsung lebih dari dua grup. Proposisi berikut menjelaskan syarat untuk grup produk langsung adalah komutatif. Proposisi 4.1.3 Misalkan G1 dan G2 adalah grup. Maka G1 ×G2 komutatif bila dan hanya bila G1 dan G2 keduanya komutatif. Bukti Diberikan sebarang (a, b) dan (c, d) di G1 × G2 , maka (a, b)(c, d) = (ac, bd) dan (c, d)(a, b) = (ca, db). Jadi untuk semua pasangan dari elemen-elemen di G1 × G2 , (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b) bila dan hanya bila ac = ca untuk semua pasangan dari elemen-elemen di G1 dan bd = db X untuk semua pasangan elemen-elemen di G2 .



Contoh berikut membahas subgrup dari produk langsung G1 × G2 . Contoh 4.1.4 Tinjau lagi grup Z2 × S3 yang diberikan dalam Contoh 4.1.3. Misalkan H = Z2 × {ρ0 }, dimana ρ0 adalah elemen netral dari S3 Jadi H = {([0]2 , ρ0 ), ([1]2 , ρ0 )}, dimana ([0]2 , ρ0 ) adalah elemen netral dari Z2 × S3 . Karena ([1]2 , ρ0 )([1]2 , ρ0 ) = ([0]2 , ρ0 ), maka H adalah suatu subgrup dari Z2 × S3 , faktanya adalah subgrup normal, sebab bila (a, σ) ∈ Z2 × S3 , maka (a, σ)([0]2 , ρ0 )(−a, σ−1 ) = ([0]2 , ρ0 ) ∈ H (a, σ)([1]2 , ρ0 )(−a, σ−1 ) = ([1]2 , ρ0 ) ∈ H Juga dapat dikonstruksi himpunan K = {[0]2 } × S3 = {([0]2 , ρ0 ), ([0]2 , ρ), ([0]2 , ρ2 ), ([0]2 , µ1 ), ([0]2 , µ2 ), ([0]2 , µ3 )}. Himpunan K adalah subgrup dari Z2 × S3 , sebab untuk sebarang ([0]2 , σ1 ), ([0]2 , σ2 ) ∈ K didapat −1 ([0]2 , σ1 )([0]2 , σ2 )−1 = ([0]2 , σ1 )([0]2 , σ−1 2 ) = ([0]2 , σ1 σ2 ) ∈ K. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

149

Contoh-contoh dan definisi..

Selanjutnya, untuk sebarang ([0]2 , σ) ∈ K dan sebarang (a, τ) ∈ Z2 × S3 didapat (a, τ)([0]2 , σ)(a, τ)−1 = (a, τ)([0]2 , σ)(−a, τ−1 ) = ([0]2 , τστ−1 ) ∈ K. Jadi K adalah subgrup normal dari Z2 × S3 .



Subgrup khusus dari produk langsung yang dibahas dalam Contoh 4.1.4 selalu merupakan subgrup normal. Hal ini ditunjukkan dalam proposisi berikut. Proposisi 4.1.4 Diberikan grup G1 dan G2 dengan ei adalah elemen netral dari Gi untuk i = 1, 2. Maka (1) G1 × {e2 } ⊳ G1 × G2 dan {e1 } × G2 ⊳ G1 × G2 (2) (G1 × G2 )/(G1 × {e2 })  G2 dan (G1 × G2 )/({e1 } × G2 )  G1 Bukti (1) Misalkan H = G1 × {e2 } dan (a, e2 ), (b, e2 ) ∈ H. Maka (a, e2 )(b, e2 )−1 = (a, e2 )(b−1 , e2 ) = (ab−1 , e2 ) ∈ H. Jadi H adalah suatu subgrup dari G1 × G2 . Selanjutnya misalkan sebarang elemen (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2 dan sebarang elemen (b, e2 ) ∈ H, didapat −1 −1 (a1 , a2 )(b, e2 )(a1 , a2 )−1 = (a1 , a2 )(b, e2 )(a−1 1 , a2 ) = (a1 ba , e2 ) ∈ H.

Jadi H ⊳ G1 × G2 . Sejalan dengan apa yang telah dilakukan dapat ditunjukkan {e1 } × G2 ⊳ G1 × G2 . (2) Tinjau pemetaan φ : G1 × G2toG2 didefinisikan oleh φ((a1 , a2 )) = a2 , ∀(a1 , a2 ) ∈ G1 × G2. Maka φ adalah suatu homomorpisma, sebab untuk sebarang (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ G1 × G2 didapat φ((a1 , a2 )(b1 , b2 )) = φ((a1 b1 , a2 b2 )) = a2 b2 = φ((a1 , a2 ))φ((b1 , b2 )). Pemetaan φ adalah pada, sebab diberikan sebarang y ∈ G2 dapat dipilih (x, y) ∈ G1 ×G2 untuk semua x ∈ G1 yang memenuhi φ((x, y)) = y. Terakhir, (a1 , a2 ) ∈ ker(φ) bila dan hanya bila a2 = e2 bila dan hanya bila (a1 , a2 ) ∈ G1 × {e2 }. Dengan demikian ker(φ) = H. Jadi, dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat (G1 × G2 )/ ker(φ)  G2 . Bukti bagian kedua dapat dilakukan dengan cara yang X sama.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

150

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Latihan Latihan 4.1.1 Untuk sebarang dua grup berhinggagrup!berhingga G1 dan G2 , maka tentukan order dari G1 × G2 . X



•X

Latihan 4.1.2 Misalkan V adalah grup-4 Klein.Tunjukkan bahwa V  Z2 × Z2 .

•X •X

Latihan 4.1.3 Tunjukkan bahwa D4 dan Z2 × Z4 tidak isomorpik. Latihan 4.1.4 Tunjukkan bahwa A4 dan Z2 × S3 tidak isomorpik.

Latihan 4.1.5 Tunjukkan bahwa (Z × Z)/ h(1, 1)i  Z. {(a, a) | a ∈ Z}). X



Latihan 4.1.6 Tunjukkan bahwa (Z × Z)/ h(1, 2)i  Z.

(Catatan bahwa: h(1, 1)i =

•X

Latihan 4.1.7 Dalam grup produk langsung Z2 ×Z4 dapatkan suatu subgrup H sedemikian hingga H  Z2 × Z2 . X



Latihan 4.1.8 Dalam D4 dapatkan suatu subgrup H yang memenuhi H  Z2 × Z2 .

•X

Latihan 4.1.9 Dalam Z4 × Z4 dapatkan subgrup H dan K yang mempunyai order 4 yang X memenuhi H tidak isomorpik dengan K, tetapi (Z4 × Z4 )/H  (Z4 × Z4 )/K.

•X

Latihan 4.1.10 Tunjukkan bahwa (Z × Z × Z)/ h(1, 1, 1)i  Z × Z.



Latihan 4.1.11 Misalkan G1 , G2 , . . . , Gn adalah grup dan φ suatu permutasi di Sn . Tunjukkan bahwa G1 × G2 × · · · × Gn  Gφ(1) × Gφ(2) × · · · × Gφ(n) .

•X

Latihan 4.1.12 Misalkan G1 dan G2 adalah grup. Tunjukkan bahwa

•X

Z(G1 × G2 )  Z(G1 ) × Z(G2 ).

Latihan 4.1.13 Misalkan H ⊳ G1 dan K ⊳ G2 . Tunjukkan bahwa (a) H × K adalah suatu subgrup dari G1 × G2 . (b) H × K ⊳ G1 × G2 . (c) (G1 × G2 )/(H × K)  G1 /H × G2 /K.

•X

•X

Latihan 4.1.14 Dapatkan suatu subgrup bormal dari Z4 × Q8 .

Latihan 4.1.15 Misalkan fpb(r, s) = 1. Tunjukkan bahwa U(rs)  U(r) × U(s).

•X

Latihan 4.1.16 Tunjukkan bahwa U(105)  Z2 × Z4 × Z6 . Latihan 4.1.17 Tunjukkan bahwa U(8)  Z2 × Z2 .

•X

Latihan 4.1.18 Dapatkan bilangan bulat r, s, t, u yang memenuhi U(360)  Zr × Zs × Zt × Zu . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

•X

•X

151

Komputasi Order..

4.2 Komputasi Order Sebagaimana telah diketahui dalam Bab 3, bila dua grup adalah isomorpik maka kedua grup tersebut mempunyai banyak elemen yang sama dengan suatu order yang diberikan. Maka dari itu penting untuk mengetahui order elemen dari suatu grup. Dalam bagian ini dibahas bagaimana menghitung order dari suatu elemen dalam produk langsung dari berbagai grup dengan istilah order dari komponen. Contoh 4.2.1 Dalam Z4 × Z6 tinjau elemen ([2]4 , [5]6 ). Order elemen ini adalah bilangan bulat positip terkecil n yang memenuhi n([2]4 , [5]6 ) = ([2n]4 , [5n]6 ) = ([0]4 , [0]6 ). Jadi [2n]4 = [0]4 dan [5n]6 = [0]6 . tetapi |[2]4 | = 2, maka dengan menggunakan Kesimpulan 2.3.1 didapat 2 membagi n. Juga karena |[5]6 | = 6, maka 6 membagi n. Jadi n adalah kelipatan persekutan dari 2 dan 6. Didapat n = k1 kpk(2, 6) = k1 6, k1 = 1, 2, . . . Tetapi 6|([2]4 , [5]6 ) = ([12]4 , [30]6 ) = ([0]4 , [0]6 ), maka dengan menggunakan Kesimpulan 2.3.1 didapat n membagi 6 atau 6 = k2 n, k2 = 1, 2, . . . Sehingga didapat 6✁ = k2 n = k2 k1 6✁ , k1 , k2 = 1, 2, . . . Akibatnya 1 = k2 k1 , k1 , k2 = 1, 2, . . . . Jadi k1 = k2 = 1. Dengan demikian n = k1 6 = 6. Dengan demikian |([2]4 , [5]6 )| = n = 6.



Contoh 4.2.2 Dalam S3 × S5 , tinjau elemen (ρ, σ) ∈ S3 × S5 , dimana ρ = (1 2 3) ∈ S3 dan σ = (1 2 4)(3 5) ∈ S5 , maka |ρ| = 3 dalam S3 dan |σ| = 6 dalam S5 . Seperti halnya dalam contoh sebelumnya, didapat |(ρ, σ)| = kpk(3, 6) = 6.



Teorema 4.2.1 Misalkan G1 dan G2 adalah grup dan (a1 , a2 ) ∈ G1 × G2 . Maka |(a1 , a2 )| = kpk(|a1 |, |a2 |). Bukti Misalkan n = |(a1 , a2 )| dan r = kpk(|a1 |, |a2 |). Karena |a1 | membagi r dan juga |a2 | membagi r, maka (a1 , a2 )r = (ar1 , ar2 ) = (e1 , e2 ). Dengan menggunakan Kesimpulan 2.3.1 didapat n membagi r. Jadi r = k1 n, k1 = 1, 2, . . . .

(4.1)

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

152

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Dilain pihak (an1 , an2 ) = (a1 , a2 )n = (e1 , e2). Didapat an1 = e1 dan an2 = e2 , hal ini berakibat |a1 | membagi n dan |a2 | membagi n. Jadi n adalah kelipatan persekutuan dari |a1 | dan |a2 |. Dengan demikian n = k2 kpk(|a1 |, |a2 |) = k2 r, k2 = 1, 2, . . .

(4.2)

Dari Persamaan (4.1) dan (4.2) didapat ✁r ❆

= k1 n = k1 k2✁❆r, k1 , k2 = 1, 2, . . .

Akibatnya 1 = k1 k2 , k1 , k2 = 1, 2, . . .. Didapat k1 = k2 = 1, dengan demikian kpk(|a1 |, |a2 |) = r = k1 n = n.

•X

Kesimpulan 4.2.1 Misalkan G = G1 ×G2 ×· · ·×Gn adalah produk langsung dari sebanyak berhingga grup. Maka order suatu elemen dalam G diberikan oleh |(a1 , a2 , . . . , an )| = kpk(|a1 |, |a2 |, . . . , |an |). Bukti Digunakan induksi untuk n. Untuk n = 1 tidak ada yang perlu dibuktikan. Untuk n = 2 sudah dibuktikan dalam Teorema 4.2.1. Jadi, misalkan Kesimpulan benar untuk produk dari k grup, dan tinjau suatu produk k + 1 grup berikut G1 × G2 × · · · × Gk × Gk+1 = (G1 × G2 × · · · × Gk ) × Gk+1 . Untuk melengkapi bukti, dari Teorema 4.2.1 didapat |(a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 )| = kpk(|(a1 , a2 , . . . , ak )|, |ak+1 |) = kpk(kpk(|a1 |, |a2 |, . . . , |ak |), |ak |) (benar untuk produk dari k grup) = kpk(|a1 |, |a2 |, . . . , |ak |, |ak+1 |). X



Contoh 4.2.3 Misalnya akan ditentukan order |([10]12 , [10]18 ) dalam Z12 × Z18 . Pertama secara terpisah ditentukan dulu order dari komponen-komponennya. Dengan menggunakan Teorema 2.3.2 didapat |[10]12 | = 12/fpb(12, 10) = 12/2 = 6 dan |[10]18 | = 18/fpb(18, 10) = 18/2 = 9.

Selanjutnya, gunakan Teorema 4.2.1 didapat

|([10]12 , [10]18 )| = kpk(6, 9) = 18. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



153

Komputasi Order..

Kesimpulan 4.2.2 Misalkan sebarang elemen (r, s) ∈ Zn × Zm . Maka |(r, s)| = kpk(n/fpb(n, r), m/fpb(m, s)).

Bukti Hal ini langsung didapat dari Teorema 2.3.2 dan Teorema 4.2.1. Kesimpulan 4.2.3 Misalkan sebarang elemen (r, s) ∈ Zn × Zm . Maka

•X

|(r, s)| ≤ |([1]n , [1]m )| = kpk(n, m).

Bukti Dalam Zn , maka |r| membagi n dan dalam Zm , |s| membagi m. Jadi sebarang kelipatan persekutuan dari n dan m adalah suatu kelipatan persekutuan dari |r| dan |s|, didapat |(r, s)| = kpk(|r|, |s|) ≤ kpk(n, m).

Selain itu, |[1]n | = n dan |[1]m | = m, sehingga dengan menggunakan Teorema 4.2.1 didapat |([1]n , [1]m )| = kpk(|[1]n |, |[1]m |) = kpk(n, m). X



Teorema berikut hasil dari beberapa kesimpulan yang telah dibahas dan memainkan suatu peranan yang penting dalam mengklasifikasikan grup komutatif berhingga. Teorema 4.2.2 Grup produk langsung Zn × Zm isomorpik dengan grup siklik Znm bila dan hanya fpb(n, m) = 1.

Bukti (⇒) Bila Zn × Zm  Znm , maka Zn × Zm adalah siklik. Dari Kesimpulan 4.2.3 didapat ([1]n , [1]m ) adalah suatu generator dari Zn × Zm . Jadi haruslah |([1]n , [1]m )| = nm. Tetapi, lagi digunakan Kesimpulan 4.2.3 didapat |([1]n , [1]m )| = kpk(n, m) = nm/fpb(n, m),

dari yang didapat ini haruslah fpb(n, m) = 1. (⇐) Bila fpb(n, m) = 1, maka |([1]n , [1]m )| = kpk(n, m) = nm/fpb(n, m) = nm,

terlihat bahwa elemen ([1]n , [1]m ) membangun keseluruhan elemen-elemen dari Zn ×Zm . X Jadi Zn × Zm adalah siklik. Dengan demikian isomorpik dengan grup Znm .



Kesimpulan 4.2.4 Zn1 × Zn2 × · · · × Zns  Zn1 n2 ···ns bila dan hanya bila untuk semua 1 ≤ i < j ≤ s, fpb(ni , n j ) = 1. Bukti Sebagai latihan (lihat Latihan 4.2.8).

•X

Contoh 4.2.4 Tinjau grup kuasi (Z4 × Z4 )/ h([1]4 , [1]4 )i. Karena |Z4 × Z4 | = 16 dan didapat

| h([1]4 , [1]4 )i | = |([1]4 , [1]4 )| = kpk(4, 4) = 4, |(Z4 × Z4 )/ h([1]4 , [1]4 )i | = 16/4 = 4.

Jadi kemungkinannya (Z4 × Z4 )/ h([1]4 , [1]4 )i isomorpik dengan Z4 atau dengan grup-4 Klein V. Tetapi elemen ([1]4 , [0]4 ) + h([1]4 , [1]4 )i bila dihitung beroder 4. Jadi grup kuasi (Z4 × Z4 )/ h([1]4 , [1]4 )i adalah siklik, dengan demikian isomorpik dengan Z4 .



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

154

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Contoh 4.2.5 Diberikan U(10) = {[1]10 , [3]10 , [7]10 , [9]10 }

dan

U(12) = {[1]12 , [5]12 , [7]12 , [11]12 },

jadi |U(10) × U(12)| = 16. Misalkan H = h([7]10 , [7]12 )i subgrup dari U(10) × U(12). Didapat H = {([1]10 , [1]12 ), ([7]10 , [7]12 ), ([9]10 , [1]12 ), ([3]10 , [7]12 )} dan

Bila dihitung didapat

|(U(10) × U(12))/H| = 16/4 = 4

(U(10) × U(12))/H = {H, ([3]10 , [1]12 )H, ([3]10 , [5]12 )H, ([3]10 , [11]12 )H} dan

([3]10 , [1]12 )2 = ([3]10 , [5]12 )2 = ([3]10 , [11]12 )2 = ([9]10 , [1]12 ) ∈ H.

Jadi semua elemen di (U(10) × U(12))/H yang bukan H mempunyai order 2. Dengan demikian (U(10) × U(12))/H  Z2 × Z2 .



Latihan Latihan 4.2.1 Dapatkan order elemen dari grup berikut. (a) ([4]6 , [6]8 ) ∈ Z6 × Z8 . (b) ([15]20 , [15]27 ) ∈ Z20 × Z27 . (c) (ρ, [7]12 ) ∈ S3 × U12 . (d) (ρ, [7]12 ) ∈ D4 × U12 . (e) (ρ, i) ∈ S3 × Q8 . (f) ((2 3 4), [15]18 ) ∈ A4 × Z18 .

•X

Latihan 4.2.2 Dapatkan semua koset yang berbeda dari subgrup dalam grup berikut. (a) H = h([8]10 , [2]4 )i dalam Z10 × Z4 . (b) H = h([3]10 , [5]12 )i dalam U10 × U12 . (c) H = h(6, 8)i dalam 3Z × 2Z.

(d) H = (ρ, τ) dalam D4 × D4 .

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

155

Jumlahan Langsung..

Latihan 4.2.3 Dapatkan order elemen dari grup kuasi berikut. (a) ([1]10 , [1]4 ) + h([8]10 , [2]4 )i dalam (Z10 × Z4 )/ h([8]10 , [2]4 )i. (b) ([7]10 , [7]12 ) h([3]10 , [5]12 )i dalam (U10 × U12 )/ h([3]10 , [5]12 )i. (c) (3, 2) + h(6, 8)i dalam (3Z × 2Z)/ h(6, 8)i.



(d) (ρ3 , τ) (ρ, τ) dalam (D4 × D4 )/ (ρ, τ) .

•X

Latihan 4.2.4 Tunjukkan bahwa Z9 × Z9 tidak isomorpik dengan Z27 × Z3 . Latihan 4.2.5 Tunjukkan bahwa C  R × R.

•X

Latihan 4.2.6 Dapatkan oder terbesar dari sebarang elemen di Z21 × Z35 . Latihan 4.2.7 Dapatkan semua elemen yang berorder 4 dalam Z4 × Z4 .

•X

Latihan 4.2.8 Buktikan Kesimpulan 4.2.4.

•X •X •X

Latihan 4.2.9 Dapatkan semua homomorpisma grup dari Z6 ke Z2 × Z3 dan tentukan yang mana merupakan isomorpisma. X



Latihan 4.2.10 Tunjukkan bahwa bila G adalah suatu grup berhingga sedemikian hingga untuk semua g ∈ G didapat g2 = e, maka (a) G komutatif. (b) |G| = 2n untuk beberapa bilangan bulat positip n. (c) G  Z2 × Z2 × · · · × Z2 . | {z } n

•X

4.3 Jumlahan Langsung Telah dibahas produk langsung untuk mengkonstruksi grup baru. Berikut ini digunakan istilah yang mirip yaitu jumlahan langsung dan mendekomposisi beberapa grup untuk dijadikan sebagai jumlahan langsung dari subgrup normal tertentu. Hal ini akan meningkatkan pemahaman mengenai grup tersebut. Sebagaimana akan dibahas dalam bagian ini, dekomposisi yang dibicarakan dapat digunakan secara lengkap untuk mengkarakteristik semua grup komutatif berhingga. Pertama, diberikan ilustrasi dari pengertian melalui suatu contoh. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

156

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Contoh 4.3.1 Dalam Z12 , misalkan subgrup H = h[3]12 i = {[0]12 , [3]12 , [6]12 , [9]12 } dan K = h[4]12 i = {[0]12 , [4]12 , [8]12 }.

Karena Z12 komutatif, maka H dan K keduanya subgrup normal dari Z12 . Menurut Proposisi 3.3.3, maka H + K = {h + k | h ∈ H, k ∈ K} adalah subgrup dari Z12 . Perlu diperhatikan bahwa H ∩ K = {[0]12 } dan menggunakan Teorema 3.3.5 didapat |H + K| = |H| |K|/|H ∩ K| = 4(3)/1 = 12. Jadi Z12 = H + K. Lagi pula, fakta bahwa H ∩ K = {[0]12 } berakibat bahwa setiap elemen a ∈ Z12 dapat dituliskan secara tunggal sebagai a = h + k dimana h ∈ H dan k ∈ K. Sebab bila a = h1 + k1 = h2 + k2 , maka h1 − h2 = k2 − k1 ∈ H ∩ K = {[0]12 }. Akibatnya h1 = h2 dan k1 = k2 . Faktanya dapat ditunjukkan bahwa Z12  H × K  Z4 × Z3 . Berikutnya, misalkan subgrup L = h[2]12 i = {[0]12 , [2]12 , [4]12 , [6]12 , [8]12 , [10]12 }. Dengan mudah bisa diselidiki bahwa Z12 = H + L. Dengan demikian setiap elemen a ∈ Z12 dapat ditulis sebagai a = h + l dimana h ∈ H dan l ∈ L. Tetapi penulisan ini tidak tunggal, misalnya [7]12 = [3]12 + [4]12 = [9]12 + [10]12 , dimana [3]12 , [9]12 ∈ H dan [4]12 , [10]12 ∈ L. Dalam kasus ini perhatikan bahwa H ∩ L = {[0]12 , [6]12 } , {[0]12 }.



Contoh 4.3.2 Dalam S3 subgrup A3 adalah subgrup normal. Bila H = A3 dan K = µ1 , maka lagi gunakan Proposisi 3.3.3 didapat HK adalah subgrup dari S3 . Juga, lagi gunakan Teorema 3.3.5 didapat |HK| = |H| |K|/|H ∩ K| = 3(2)/1 = 6. Jadi S3 = HK. Tetapi, jelas bahwa S3 tidak isomorpik dengan H × K  Z3 × Z 2 , sebab S3 tidak komutatif. Apa yang "salah" dalam kasus ini adalah bahwa K = µ1 bukan subgrup normal dari S3 .



Teorema berikut memberikan karakterisasi yang terbaik dalam pemahaman pengertian yang telah dikenalkan lewat dua contoh. Pertama dibutuhkan suatu lemma sederhana berikut. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

157

Jumlahan Langsung..

Lemma 4.3.1 Misalkan G adalah suatu grup, H dan K adalah subgrup dari G yang memenuhi (1) H ⊳ G dan K ⊳ G. (2) H ∩ K = {e}. Maka untuk semua h ∈ H dan k ∈ K didapat hk = kh. Bukti Akan ditunjukkan hk = kh, untuk semua h ∈ H dan k ∈ K, untuk itu tinjau elemen y = hkh−1 k−1 . Karena H ⊳ G, maka kh−1 k−1 ∈ H. Jadi y = h(kh−1 k−1 ) ∈ H. Karena K ⊳ G, maka hkh−1 ∈ K. Jadi y = (hkh−1 )k−1 ∈ K. Dengan demikian hkh−1 k−1 = y ∈ H ∩ K = {e}, akibatnya hkh−1 k−1 = e atau hk = kh.

•X

Teorema 4.3.1 G adalah suatu grup berhingga, H dan K adalah subgrup dari G yang memenuhi (1) H ⊳ G dan K ⊳ G. (2) H ∩ K = {e}. (3) |HK| = |G|. Maka G  H × K. Bukti definisikan suatu pemetaan φ : H × K → G oleh φ((h, k)) = hk, ∀(h, k) ∈ H × K. Pemetaan φ adalah homomorpisma, sebab dari Lemma 4.3.1 didapat φ((h1 , k1 )(h2 , k2 )) = φ((h1 h2 , k1 k2 )) = h1 h2 k1 k2 = (h1 k1 )(h2 k2 ) = φ((h1 , k1 ))φ((h2 , k2 )). Pemetaan φ adalah satu-satu, sebab bila φ((h1 , k1 )) = φ((h2 , k2 )), maka h1 k1 = h2 k2 . Hal ini berakibat bahwa h−1 h = k2 k−1 ∈ H ∩ K = {e} atau h1 = h2 dan k1 = k2 . Juga, pemetaan 1 2 1 φ adalah pada sebab dari teorema isomorpisma pertama didapat |φ(H × K)|/| ker(φ)| = |H| |K|/1 = |HK| = |G|.

•X

Pada akhir bagian ini kosentrasi pembahasan pada grup komutatif dimana kondisi (1) dalam Teorema 4.3.1 selalu dipenuhi. Misalkan H1 dan H2 adalah subgrup dari suatu grup komutatif G, maka H1 dan H2 adalah subgrup normal dari G; dan H1 + H2 adalah suatu subgrup dari G. Tambahan pula, bila H1 ∩H2 = {e}, maka setiap elemen x di H1 +H2 dapat ditulis secara tunggal sebagai x = h1 + h2 , dimana h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2 . Dalam hal ini H1 +H2 dinamakan jumlahan langsung dari H1 dan H2 dan ditulis H1 ⊕H2 . Berikut ini secara formal dinyatakan definisi jumlahan langsung dari sebanyak berhingga subgrup.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

158

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Definisi 4.3.1 Misalkan H1, H2 , . . . , Hn adalah subgrup dari suatu grup komutatif G. Maka H1 + H2 + · · · + Hn

dinamakan suatu jumlahan langsung dan ditulis sebagai H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn , bila untuk sebarang x ∈ H1 + H2 + · · · + Hn didapat

x = h1 + h1 + · · · + hn = h′1 + h′2 + · · · + h′n , dimana hi , h′i ∈ Hi bila dan hanya bila hi = h′i untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n.

•X

Jadi dalam suatu jumlahan langsung H ⊕ K, sebarang elemen x secara tunggal disajikan sebagai x = h + k, dimana h ∈ H dan k ∈ K. Dalam Contoh 4.3.1, Z12 = H ⊕ K, tetapi Z12 = H + L bukan jumlahan langsung. Diberikan beberapa definisi yang ekivalen dari jumlahan langsung yang akan membuat pengertian lebih jelas. Teorema 4.3.2 Misalkan G adalah suatu grup komutatif dan H1 , H2 , . . . , Hn adalah subgrup dari G. Maka pernyataan berikut adalah ekivalen. (1) H1 + H2 + · · · + Hn adalah suatu jumlahan langsung. (2) (H1 + H2 + · · · + Hi−1 + Hi+1 + · · · + Hn ) ∩ Hi = {0}, untuk semua i, 2 ≤ i < n. (3) (H1 + H2 + · · · + Hi−1 ) ∩ Hi = {0}, untuk semua i, 2 ≤ i ≤ n. (4) bila h1 + h2 + · · · + hn = e, dimana hi ∈ Hi untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n, maka hi = 0 untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. Bukti (1 ⇒ 2) Misalkan x ∈ (H1 + H2 + · · · + Hi−1 + Hi+1 + · · · + Hn ) ∩ Hi . Maka x = h1 + h2 + · · · + hi−1 + hi+i + · · · + hn , untuk beberapa h j ∈ H j, j , i. Karena x ∈ Hi , didapat dua penyajian dari 0 ∈ H1 + H2 + · · · + Hn , yaitu 0 = h1 + h2 + · · · + hi−1 + (−x) + hi+1 + · · · + hn = 0 + 0 + · · · + · · · + 0. Dengan definisi jumlahan langsung, maka masing-masing h j = 0 juga, khususnya x = 0. (2 ⇒ 3) Hal ini langsung dari fakta (H1 + H2 + · · · + Hi−1 ) ∩ Hi ⊆ (H1 + H2 + · · · + Hi−1 + Hi+1 + · · · + Hn ) ∩ Hi . (3 ⇒ 4) Bila h1 + h2 + · · · + hn = 0, dimana hi ∈ Hi akan ditunjukkan hi = 0 untuk semua i. Asumsikan sebaliknya yaitu beberapa hi tidak nol dan tinjau bilangan bulat terbesar k, 1 ≤ k ≤ n yang memenuhi hk , 0. Jadi hk+1 = · · · = hn = 0 dan 0 = h1 + · · · + hk ,. Didapat hk = −h1 − h2 − · · · − hk−1 ∈ (H1 + H2 + · · · Hk−1 ) ∩ Hk = {0}. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

159

Jumlahan Langsung..

Jadi hk = 0, kontradiksi dengan asumsi hk = 0. Jadi suatu k yang ditentukan tidak ada dengan demikian hi = 0 untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. (4 ⇒ 1) Ingin ditunjukkan bahwa sebarang x di H1 + H2 + · · · + Hn dapat disajikan secara tunggal sebagai suatu jumlah dari elemen-elemen subgrup. Jadi, misalkan x = h1 + h2 + · · · + hn = h′1 + h′2 + · · · + h′n , dimana hi , h′i ∈ Hi . Didapat (h1 − h′1 ) + (h2 − h′2 ) + · · · + (hn − h′n ) = 0, dimana (hi − h′i ) ∈ Hi . Jadi (hi − h′i ) = 0 untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. Dengan demikian hi = h′i untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. X



Kesimpulan 4.3.1 Misalkan G adalah grup komutatif berhingga, H dan K subgrup dari G yang memenuhi (1) H ∩ K = {0}. (2) |H + K| = |G|.

Maka G = H ⊕ K  H × K. Bukti Karena G komutatif, maka H ⊳ G dan K ⊳ G. Dengan menggunakan Teorema 4.3.1 didapat G  H×K dan menggunakan Teorema 4.3.2 didapat H+K adalah suatu jumlahan langsung H ⊕ K. Juga H ⊕ K adalah suatu subgrup dari G dengan |H ⊕ K| = |H + K| = |G|. Jadi H ⊕ K = G. X



Teorema 4.3.3 Misalkan G grup komutatif yang memenuhi G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn . Maka G  H1 × H2 × · · · × Hn . Bukti Didefinisikan suatu pemetaan φ : H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn → H1 × H2 × · · · × Hn oleh φ(h1 + h2 + · · · + hn ) = (h1 , h2 , . . . , hn ), ∀h1 + h2 + · · · + hn ∈ H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn . Pemetaan φ terdefinisi secara baik, sebab bila h1 + h2 + · · · + hn = h′1 + h′2 + · · · + h′n , maka hi = h′i untuk semua i dan (h1 , h2 , . . . , hn ) = (h′1 , h′2 , . . . , h′n ). Pemetaan φ adalah suatu homomorpisma, sebab φ((h1 + h2 + · · · + hn ) + (h′1 + h′2 + · · · + h′n )) = = = =

φ((h1 + h′1 ) + (h1 + h′2 ) + · · · + (hn + h′n )) (h1 + h′1 , h2 + h′2 , . . . , hn + h′n ) (h1 , h2 , . . . , hn ) + (h′1 , h′2, . . . , h′n ) φ(h1 + h2 + · · · + hn ) + φ(h′1 + h′2 + · · · + h′n ).

Pemetaan φ, jelas dari definisi adalah satu-satu pada.

•X

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

160

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Kesimpulan 4.3.2 Misalkan G suatu grup komutatif berhingga yang memenuhi G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn . Maka |G| = |H1 | |H2 | · · · |Hn |. Bukti Hal ini didapat langsung dari Teorema 4.3.3, yaitu G  H1 ×H2 ×· · ·×Hn . Akibatnya |G| = |H1 | |H2| · · · |Hn |. X



Kesimpulan berikut suatu akibat penting dari penyajian x = h1 + h2 + · · · + hn untuk x ∈ H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn . Kesimpulan 4.3.3 Bila G suatu grup komutatif berhingga sedemikian hingga G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn dan x = h1 + h2 + · · · + hn suatu elemen di G dimana hi ∈ Hi untuk i, 1 ≤ i ≤ n. Maka |x| = kpk(|h1 |, |h2 |, . . . , |hn |).

Bukti Dari Teorema 4.3.3 didapat

G  H1 × H2 × · · · × Hn dengan demikian elemen x = x = h1 + h2 + · · · + hn di G berkaitan dengan elemen (h1 , h2 , . . . , hn ) di H1 × H2 × · · · × Hn . Gunakan Kesimpulan 4.2.1 didapat |(h1 , h2 , . . . , hn )| = kpk(|h1 |, |h2|, . . . , |hn |). Jadi |x| = |h1 + h2 + · · · + hn | = kpk(|h1 |, |h2|, . . . , |hn |).

•X

Kesimpulan 4.3.4 Bila G = G1 ⊕ G2 dimana G1 siklik berorder n dan G2 siklik berorder m, maka G  Znm bila dan hanya bila kpk(n, m) = 1. Bukti Dari Teorema 4.3.3 didapat G1 ⊕ G2  Zn × Zm dan menggunakan Kesimpula 4.2.2 didapat G1 ⊕ G2  Zn × Zm  Znm bila dan hanya bila kpk(n, m) = 1.

•X

Lemma 4.3.2 Misalkan G suatu grup komutatif sedemikian hingga G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn , c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

161

Jumlahan Langsung..

Ki adalah subgrup dari Hi untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n dan K = K1 + K2 + · · · + Kn . Maka K = K1 ⊕ K2 ⊕ · · · ⊕ Kn .

Bukti Tinjau sebarang elemen x ∈ K. Bila

x = k1 + k2 + · · · + kn = k′1 + k′2 + · · · + k′n , dimana ki , k′i ∈ Ki untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n dan karena Ki subgrup dari Hi , maka ki , k′i ∈ Hi . Juga karena G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn , maka haruslah ki = k′i untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. Jadi K = K1 ⊕ K2 ⊕ · · · ⊕ Kn . X



Proposisi 4.3.1 Misalkan G suatu grup komutatif sedemikian hingga G = H1 ⊕ · · · ⊕ Hn , Ki adalah subgrup dari Hi untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n dan K = K1 · · · + Kn . Maka G/K = G/(K1 ⊕ · · · ⊕ Kn )  H1 /K1 × · · · × Hn /Kn .

Bukti Dari Lemma 4.3.2 didapat

K = K1 ⊕ · · · ⊕ Kn . definisikan pemetaan φ : G → H1 /K1 × · · · × Hn /Kn oleh φ(x) = φ(h1 + · · · + hn ) = (h1 + K1 , . . . , hn + Kn ), ∀x ∈ G, dimana x = h1 + · · · + hn dengan hi ∈ Hi untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. Karena representasi sebarang x di G adalah tunggal, maka pemetaan φ terdefinisi secara baik. Pemetaan φ adalah suatu homomorpisma, sebab untuk sebarang x = h1 + · · · + hn dan x′ = h′1 + · · · + h′n di G didapat φ((h1 + · · · + hn ) + (h′1 + · · · + h′n )) = = = =

φ((h1 + h′1 ) + · · · + (hn + h′n ) ((h1 + h′1 ) + K1 , . . . , (hn + h′n ) + Kn ) (h1 + K1 , . . . , hn + Kn ) + (h′1 + K1 , . . . , h′n + Kn ) φ((h1 + · · · + hn )) + φ((h′1 + · · · + h′n )).

Elemen netral H1/K1 × · · · × Hn /Kn adalah (K1 , . . . , Kn ). Dengan demikian bila x = h1 + · · · + hn , maka x ∈ ker(φ) bila dan hanya bila hi + Ki = Ki hal ini berarti bahwa hi ∈ Ki c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

162

Produk Langsung dan Grup Abelian..

untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. Tetapi kondisi ini ekivalen dengan x ∈ K1 ⊕ · · · ⊕ Kn . Jadi ker(φ) = K1 ⊕ · · · ⊕ Kn = K. Pemetaan φ adalah pada, sebab diberikan sebarang y = (h1 + K1 , . . . , hn + Kn ) di H1/K1 × · · · × Hn /Kn , dapat dipilih x = h1 + · · · + hn di G yang memenuhi φ(x) = φ(h1 + · · · + hn ) = (h1 + K1 , . . . , hn + Kn ) = y.

Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat G/ ker(φ)  H1 /K1 × · · · × Hn /Kn atau

G/K = G/(K1 ⊕ · · · ⊕ Kn )  H1 /K1 × · · · × Hn /Kn .

•X

Pengkonstruksian jumlahan langsung yang telah dibahas pada bagian ini adalah suatu yang esensial untuk pengkajian grup komutatif berhingga dan dibahas pada bagian berikutnya.

Latihan Latihan 4.3.1 Dapatkan subgrup sejati tak-trivial H dan K dari grup G berikut yang memenuhi G  H ⊕ K. X 1. Z10 . 2. Z15 . 3. Z18 . 4. Z20 . 5. Z36 .



Latihan 4.3.2 Jelaskan mengapa tidak ada subgrup sejati tak-trivial H dan K dalam Z9 yang memenuhi Z9 = H ⊕ K. X



Latihan 4.3.3 Jelaskan mengapa tidak ada subgrup sejati tak-trivial H dan K dalam Z8 yang memenuhi Z8 = H ⊕ K. X



Latihan 4.3.4 Bila mungkin dapatkan subgrup sejati tak-trivial H1 , H2 , H3 dalam Z60 yang memenuhi Z60 = H1 ⊕ H2 ⊕ H3 . X



Latihan 4.3.5 Jelaskan mengapa tidak ada subgrup sejati tak-trivial H1 , H2 dan H − 3 dalam Z36 yang memenuhi Z36 = H1 ⊕ H2 ⊕ H3. X



Latihan 4.3.6 Dapatkan subgrup sejati tak-trivial H dan K dalam U(12) yang memenuhi X HK = U(12).



Latihan 4.3.7 Dapatkan subgrup sejati tak-trivial H dan K dalam U(15) yang memenuhi HK = U(15). X



Latihan 4.3.8 Tunjukkan bahwa tidak ada subgrup sejati tak-trivial H dan K dalam X U(10) yang memenuhi HK = U(10).



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

163

Jumlahan Langsung..

Latihan 4.3.9 Misalkan H dan K adalah subgrup dari grup G yang memenuhi G = H ⊕K, dimana H siklik berorder 4 dan K siklik berorder 35. Tunjukkan bahwa G  Z140 . X



Latihan 4.3.10 Misalkan H dan K adalah subgrup dari grup G yang memenuhi G = H⊕K, dimana H siklik berorder 6 dan K siklik berorder 15. Tunjukkan bahwa G suatu grup X komutatif tidak siklik berorder 90.



Latihan 4.3.11 Misalkan G suatu grup berhingga dan Hi , untuk i, 1 ≤ i ≤ n adalah subgrup dari G yang memenuhi (1) Hi ⊳ G untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. (2) (H1 H2 · · · Hi−1 ) ∩ Hi = {e} untuk semua i, 2 ≤ i ≤ n. (3) |G| = |H1 | |H2| · · · |Hn |. Tunjukkan bahwa G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn .

•X

Latihan 4.3.12 Misalkan G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hn dan x = h1 + h2 + · · · + hn ∈ G. Tunjukkan bahwa |x| = kpk(|h1 |, |h2|, . . . , |hn |). X



Latihan 4.3.13 Misalkan G = H ⊕ K dimana H siklik berorder n dan K berorder m. X Tunjukkan bahwa G  Znm bila dan hanya bila kpk(n, m) = 1.



Latihan 4.3.14 Misalkan G = Z6 ×Z8 dan didefinisikan suatu pemetaan φ : G → Z3 ×Z4 oleh φ((h1 , h2 )) = ([h1 ]3 , [h2 ]4 ) untuk sebarang h1 ∈ Z6 dan h2 ∈ Z8 . (a) Tunjukkan bahwa φ suatu homomorpisma. (b) Dapatkan ker(φ) (c) Dapatkan Im(φ) = φ(G).

•X

Latihan 4.3.15 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup komutatif G dan φ : G → H adalah suatu homomorpisma yang memenuhi (1) φ(h) = h untuk semua h ∈ H. (2) ker(φ) = K. Tunjukkan bahwa G = H ⊕ K.

•X

Latihan 4.3.16 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup komutatif G dan φ : G → H adalah suatu homomorpisma yang memenuhi (1) φ(h) = h untuk semua h ∈ H. (2) ker(φ) = K. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

164

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Tunjukkan bahwa ada suatu homomorpisma ψ : G → K yang memenuhi (1) ψ(k) = k untuk semua k ∈ K. (2) ker(ψ) = H.

•X

Latihan 4.3.17 Misalkan H dan K adalah subgrup dari suatu grup komutatif G. Tunjukkan bahwa G = H ⊕ K bila dan hanya bila ada suatu homomorpisma φ : G → H yang memenuhi (1) φ(h) = h untuksemua h ∈ H. (2) ker(φ) = K.

•X

Latihan 4.3.18 Misalkan H dan K adalah subgrup normal dari suatu grup G dan φ : G → H adalah suatu homomorpisma yang memenuhi (1) φ(h) = h untuk semua h ∈ H. (2) ker(φ) = K. Tunjukkan bahwa G  H × K.

•X

Latihan 4.3.19 Misalkan G adalah suatu grup komutatif dan φ : G → G adalah suatu homomorpisma yang memenuhi φ(φ(g)) = g untuk semua g ∈ G (homomorpisma ini X dinamkan suatu proyeksi). Tunujkkan bahwa G  φ(G) × ker(φ).



Latihan 4.3.20 Misalkan G adalah suatu grupdengan |G| = nm dimana kpk(n, m) = 1. Asumsikan bahwa G mempunyai tepat satu subrup H beroder n dan mempunyai tepat satu subgrup K berorder m. Tunjukkan bahwa G  H × K. X



Latihan 4.3.21 Tunjukkan bahwa setiap grup berorder 9 adalah komutatif.

•X

Latihan 4.3.22 Tunjukkan bahwa setiap grup berorder p2 adalah komutatif untuk p prima. X



4.4 Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga Pada bagian ini ditunjukkan grup komutatif berhingga secara lengkap dapat diuraikan dalam istilah produk langsung dari beberapa grup siklik. Dimulai dengan mendaftar semua grup komutatif dari suatu grup berhingga yang diberikan. Karena telah diketahui bagaimana mengkonstruksi subgrup dari grup siklik dan bagaimana menghitung order elemen dalam grup siklik hal ini akan bisa dilakukan yang sama untuk sebarang grup komutatif berhingga. Telah diketahui bahwa grup siklik G dengan |G| = n isomorpik dengan Zn dan produk langsung dari grup Zn × Zm adalah suatu grup komutatif. Teorema yang akan dibuktikan membahas bahwa sebarang grup komutatif somorpik dengan suatu produk langsung dari grup siklik. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga..

165

Contoh 4.4.1 Misalkan G adalah suatu grup komutatif dengan |G| = 24, H = {x ∈ G | |x| = 1, 2, 4 atau 8} dan K = {x ∈ G | |x| = 1 atau 3}. Karena G komutatif digunakan penjumlahan sebagai operasi. Perlu diperhatikan bahwa H dan K keduanya subgrup dari G. Hal ini bisa terlihat sebagai berikut, x ∈ H bila hanya 8x = 0, jadi bila x, y ∈ H, maka 8(x − y) = 8x − 8y = 0 − 0 = 0. Dengan demikian x − y ∈ H, jadi H subgrup dari G. Sejalan dengan hal ini, untuk x ∈ K bila hanya 3x = 0, jadi bila x, y ∈ K, maka 3(x − y) = 3x − 3y = 0 − 0 = 0. Dengan demikian x − y ∈ K, jadi K subgrup dari G. Selanjutnya untuk sebarang g ∈ G, karena 1 = 2(8) − 5(3) didapat g = (2(8) − 5(3))g = 2(8g) − 5(3g). Karena |G| = 24, maka dengan Teorema Lagrange didapat 3(16g) = 0 dan 16g ∈ K begitu juga 8(15g) = 0 dan 15g ∈ H. Jadi g ∈ H + K dan H + K = G. Karena H ∩ K = {0}, maka G = H ⊕ K dan 24 = |G| = |H| |K|. Juga dari Teorema 3.4.4, 3 tidak membagi |H|, sebab bila tidak maka H mempunyai elemen yang beroder 3. Hal yang sama, juga 2 tidak membagi |K|. Jadi |H| = 8 dan |K| = 3.



Proposisi 4.4.1 Misalkan G suatu grup berhingga berorder pr m dimana p prima tidak membagi m. Misalkan H = {x ∈ G | |x| = ps , 0 ≤ s ≤ r} dan K = {x ∈ G | |x| mebagi m}. Maka (1) G = H ⊕ K. (2) |H| = pr dan |K| = m. Bukti (1) Pertama ditunjukkan bahwa H dan K keduanya subgrup dari G. Untuk x ∈ H bila dan hanya bila pr x =. Jadi bila x, y ∈ H, maka pr (x − y) = pr x − pr y = 0 − 0 = 0 dan x − y ∈ H. Dengan demikian H adalah subgrup dari G. Untuk x ∈ K bila dan hanya bila mx =. Jadi bila x, y ∈ H, maka m(x − y) = mx − my = 0 − 0 = 0 dan x − y ∈ K. Dengan demikian K adalah subgrup dari G. Karena pr dan m prima relatif, maka dengan menggunakan Teorema 1.3.6 didapat 1 = upr + vm untuk beberapa bilangan bulat u dan v. Dengan demikian untuk sebarang g ∈ G didapat g = 1(g) = (upr + vm)g = (upr )g + (vm)g. Karena |G| = pr m, didapat pr (vm)g = 0 hal ini berakibat (vm)g ∈ H dan m(upr )g = 0 hal ini berakibat (upr )g ∈ K. Jadi G = H + K. Selanjutnya bila x ∈ H ∩ K, maka order dari x harus membagi pr dan m dengan demikian juga membagi kpk(pr , m) = 1. Jadi |x| = 1 dengan demikian x = 0, didapat H ∩ K = {0}. Krena G = H + K dan H ∩ K = {0}, maka G = H ⊕ K. (2) Grup G adalah komutatif, maka subgrup K adalah komutatif. Dengan menggunakan Teorema 3.4.4 (Teorema Cauchy) didapat bila p membagi |K|, maka K memuat suatu elemen berorder p, hal ini tidak mungkin terjadi. Jadi p tidak membagi |K|. Sejalan dengan hal ini didapat |H| tidak dapat dibagi oleh bilangan prima selain p. Karena X |G| = pr m dan |G| = |H| |K|, maka yang mungkin adalah |H| = pr dan |K| = m.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

166

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Contoh 4.4.2 Misalkan G adalah suatu grup komutatif berorder 900 = 4(9)(25) = 22 32 52 , H = {x ∈ G | |x| = 1, 2, atau 4} dan K = {x ∈ G | |x| membagi 32 52 = 225}. Maka dengan menggunakan Proposisi 4.4.1 didapat G = H ⊕ K. Selanjutnya, misalkan L = {x ∈ G | |x| = 1, 3, atau 9} dan M = {x ∈ G | |x| = 1, 5, atau 25}. Lagi dengan menggunakan Proposisi 4.4.1 didapat K = L ⊕ M. Jadi G = H ⊕ L ⊕ M.



Diberikan G suatu grup komutatif dengan |G| = pa11 pa22 · · · pakk , dimana pi adalah bilangan prima yang berbeda untuk i, 1 ≤ i ≤ k. Misalkan G(pai i ) = {x ∈ G | |x| = psi , 0 ≤ s ≤ ai }. Suatu akibat langsung dari Proposisi 4.4.1 didapat kesimpulan berikut. Kesimpulan 4.4.1 Misalkan G adalah suatu grup komutatif dengan |G| = pa11 pa22 · · · pakk , dimana pi adalah bilangan prima yang berbeda untuk semua i, 1 ≤ i ≤ k. Maka (1) G = G(pa11 ) ⊕ G(pa22 ) ⊕ · · · ⊕ G(pakk ). (2) |G(pai i )| = pai i , untuk semua i, 1 ≤ i ≤ k. Bukti Hal ini langsung dari Proposisi 4.4.1.

•X

Definisi 4.4.1 Diberikan G suatu grup komutatif berhingga dan p bilangan prima. Maka X G dinamakan suatu p-grup bila |G| = pr untuk beberapa bilangan bulat r.



Kesimpulan 4.4.1 menyatakan bahwa sebarang grup komutatif berhingga dapat didekomposisi sebagai jumlahan langsung dari p-grup. Dalam pembahasan berikutnya ditunjukkan bahwa setiap grup komutatif berhingga adalah suatu jumlahan langsung grup siklik melalui p-grup dan ditunjukkan bahwa setiap p-grup adalah jumlahan langsung dari grup siklik. Pembuktian proposisi berikut merupakan kerja keras, untuk itu sebelumnya diberikan suatu contoh yang menguraikan ide yang tercakup didalam suatu kasus ringkas dan sederhana. Contoh 4.4.3 Diberikan G grup komutatif berorder 8, a ∈ G suatu elemen yang berorder maksimal, yaitu suatu elemen yang memenuhi |x| ≤ |a| untuk semua x ∈ G. Didapat |a| = 8, 4 atau 2. Kasus 1 |a| = 8, maka G = hai  Z8 . Kasus 2 |a| = 4. Maka H = hai adalah suatu subgrup sejati dari G. Pilih b ∈ G, b < hai adalah suatu elemen di G yang berorder minimal yaitu |y| ≥ |b| untuk setiap y ∈ G dan y < hai. Bila |b| = 4, maka H dan K = hbi akan mempunyai elemen yang berorder 2. Sehingga didapat 2a = 2b hal ini berakibat |a + b| = 2. Karena a + b < hai, maka suatu hal yang tidak mungkin |a + b| = 2 sebab b telah diplih dengan order minimal. Jadi haruslah |b| = 2 dan H ∩ K = {0}. Dalam kasus ini maka G = H ⊕ K  Z4 ⊕ Z2 . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

167

Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga..

Kasus 3 |a| = 2. Maka, pilih b ∈ G dengan b < hai didapat |b| = 2. Misalkan H = hai dan K = hbi. Maka H ∩ K = {0}. dan |H ⊕ K| = 4. Selanjutnya pilih c ∈ G dengan c < H ⊕ K. Didapat |c| = 2 dan bila L = hci, maka (H ⊕ K) ∩ L = {0} dan G = H ⊕ K ⊕ L  Z2 × Z2 × Z2 .



Dalam Contoh 4.4.3 telah ditunjukkan bagaimana mendapatkan semua grup komutatif berorder 8 dan didapat ada tepat tiga macam grup yang berbeda sesuai dengan pengertian isomorpisma. Pada saat yang sama dalam Contoh 4.4.3 dijelaskan dua ide utama yang akan diberikan dalam proposisi berikut, yaitu mengenai pilihan suatu elemen a dengan order maksimal dan suatu elemen b < hai dengan order terkecil.

Proposisi 4.4.2 Diberikan p adalah bilangan bulat prima dan G adalah suatu p-grup komutatif berhingga. Misalkan a suatu elemen di G dengan order maksimal. Maka G = hai ⊕ H untuk beberapa H subgrup dari G.

Bukti Misalkan G = pn . Digunakan induksi pada n. Bila n = 1, maka G siklik dan G = hai ⊕ h0i. Jadi asumsikan proposisi benar untuk semua grup komutatif berorder pk dimana k < n. Misalkan a ∈ G elemen berorder maksimal, jadi |a| = pr dimana r ≤ n dan |x| ≤ pr untuk semua x ∈ G. Catatan bila r = n, maka G = hai dan bukti selesai. Jadi misalkan r < n dan pilih b ∈ G adalah elemen dengan order minimal dan b < hai. Hal ini berarti bila x ∈ G dan |x| < |b|, maka x ∈ hai. Selanjutnya ditunjukkan bahwa hai ∩ hbi = {0}. Tinjau elemen pb ∈ G, maka |pb| = |b|/fpb(|b|, p) = |b|/p < |b|, jadi pb ∈ hai akibatnya pb = ma untuk beberapa bilangan bulat m. Karena |a| = pr dan a dipilih dengan order maksimal, maka 0 = pr b = pr−1 (pb) = pr−1 (ma). Jadi |ma| ≤ pr−1 dan ma bukan generator dari hai. Dengan menggunakan Kesimpulan 2.3.4 didapat fpb(pr , m) , 1, jadi p membagi m. Misalkan m = ps, didapat pb = ma = psa. Tinjau elemen −sa + b ∈ G, jelas bahwa p(−sa + b) = 0. Karena b < hai, maka −sa + b < hai. Jadi | − sa + b| = p. Karena dipilih b ∈ G dan b < hai dengan order minimal, maka haruslah |b| = p. Dengan demikian ′ ′ hai ∩ hbi = {0}. Tinjau grup kuasi G = G/ hbi. Karena |G | = pn−1 , dengan menggunakan ′ ′ ′ hipotesis induksi, proposisi dipenuhi untuk G . Misalkan a = a+hbi ∈ G . Order elemen ′ a adalah bilangan bulat positip k yang memenuhi ka ∈ hbi. Karena hai ∩ hbi = {0},maka ′ ′ ′ |a | = |a|. Misalkan homomorpisma φ : G → G/ hbi = G , dimana φ(a) = a , ∀a ∈ G. ′ Dengan menggunakan Proposisi 3.2.2 bagian (4) didapat a adalah pembangun dari ′ ′ ′ G . Akibatnya a adalah elemen di G dengan order maksimal. Jadi dengan hipotesis E D ′ ′ ′ ′ ′ induksi didapat G = a ⊕H untuk beberapa H subgrup dari G . Selanjutnya, misalkan ′ H = φ−1 (H ), maka dengan Proposisi 3.2.2 bagian (6) didapat H adalah subgrup dari G ′ ′ dengan H/ hbi = H . Jadi |H| = H p dan D E ′ ′ ′ ′ ′ |G| = G |hbi| = G p = a H p = pr H p = pr |H| = |hai| |H|. Akhirnya untuk menunjukkan G = hai ⊕ H, dengan menggunakan Kesimpulan D ′ E 4.3.1 ′ ′ cukup ditunjukkan hai ∩ H = {0}. Untuk itu, misalkan x ∈ hai ∩ H. KarenaG = a ⊕ H , D ′E ′ maka x + hbi ∈ a ∩ H = {hbi}. Jadi x ∈ hbi, akibatnya x ∈ hai ∩ hbi. Karena hai ∩ hbi = {0}, maka x = 0. Jadi hai ∩ H = {0}, dengan demikian G = hai ⊕ H.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

168

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Bukti Proposisi 4.4.2 cukup panjang, tetapi akan terlihat dalam contoh berikut betapa berdaya gunanya proposisi ini yang berkaitan dengan langkah-langkah yang telah dibahas. Contoh 4.4.4 Diberikan G suatu grup komutatif dengan |G| = 27 = 33 dan misalkan a ∈ G suatu elemen dengan order maksimal. Maka |a| = 3, 32 atau 33 . Kasus 1 |a| = 33 , maka G  Z27 . Kasus 2 |a| = 32 , maka G = hai ⊕ H, dimana H adalah subgrup dari G. Dalam kasus ini didapat G  Z9 × Z3 . Kasus 3 |a| = 3, maka G  hai ⊕ H, dimana H suatu subgrup berorder 9. Karena a ∈ G berorder maksimal, maka H tidak akan mempunyai elemen yang berorder lebih besar dari 3. Gunakan Proposisi 4.4.2 pada H, didapat H  Z3 × Z3 . Jadi G  Z3 × Z3 × Z3 . Catatan, Z27 tidak isomorpik dengan Z9 × Z3 dan Z3 × Z3 × Z3 .



Proposisi 4.4.3 Misalkan p bilangan bulat prima dan G suatu p-grup berhingga. Maka G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gs , dimana masing-masing Gi adalah siklik dan |G1 | ≥ |G2 | ≥ · · · ≥ |G2 |. Bukti Digunakan induksi pada |G|. Bila |G| = 1, 2 atau 3, maka tidak ada yang peluh dibuktikan. Jadi diasumsikan proposisi benar untuk semua grup komutatif berhingga berorder lebih kecil dari |G|. Dengan menggunakan Proposisi 4.4.2 didapat G = ha1 i ⊕ H, dimana a1 ∈ G beroder maksimal. Jadi bila a2 ∈ H berorder maksimal, maka |a1 | ≥ |a2 |. Misalkan G1 = ha1 i, dan gunakan hipotisisi induksi pada H didapat H = G2 ⊕ · · · ⊕ Gs , dimana masing-masing Gi adalah siklik dan |G2 | ≥ · · · ≥ |Gs |. Dengan demikian didapat G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gs , dimana masing-masing Gi adalah siklik dan |G1 | ≥ |G2 | ≥ · · · ≥ |G2 |.



Contoh 4.4.5 Misalkan G dan H grup komutatif berorder 24 . Misalkan, G = G1 ⊕ G2 , dimana G1 dan G2 siklik berorder 4, jadi G  Z4 × Z4 . Misalkan, H = H1 ⊕ H2 ⊕ H3 dimana H1 adalah siklik berorder 4, H2 dan H3 siklik berorder 2, jadi H  Z4 × Z2 × Z2 . Selanjutnya, dihitung banyaknya elemen-elemen berorder 1 atau 2 di G dan di H. Misalkan G(2) = {x ∈ G | |x| = 1 atau 2}. Bila x, y ∈ G(2) , maka 2(x − y) = 2x − 2y = 0 − 0 = 0, jadi (x − y) ∈ G(2) . Dengan demikian G(2) adalah subgrup dari G. Bila x = g1 + g2, dimana g1 ∈ G1 dan g2 ∈ G2 , maka dengan menggunakan Kesimpulan 4.3.3 didapat |x| membagi 2 bila dan hanya bila |g1 | dan |g2 | keduanya membagi 2. Hal ini berarti G(2) = G(2) + G(2) , 2 1 (2) (2) dimana Gi = G ∩ Gi = {x ∈ Gi | |x| = 1 atau 2}. Dengan menggunakan Lemma 4.3.2, c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

169

Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga..

maka jumlahan G(2) = G(2) + G (2) adalah jumlahan langsung dan dengan menggunakan 2 1 (2) (2) (2) Kesimpulan 4.3.2 didapat G = G1 G2 . Tetapi himpunan elemen-elemen berorder 1 atau 2 dalam suatu grup siklik order membagi 2 adalah suatu grup siklik (2) dengan (2) (2) 2 tunggal berorder 2. Jadi G1 = G2 = 2 dan G = 2 . Dengan cara perhitungan yang sama, didapat bila H(2) = {x ∈ G | |x| = 1 atau 2}, maka H(2) = H1(2) H2(2) H3(2) = 23 .Karena banyaknya himpunan dalam G(2) dan H(2) yang elemen-elemennya berorder 2 tidak sama, maka G dan H tidak akan isomorpik. Jadi Z4 × Z4 tidak isomorpik dengan Z4 × Z2 × Z2 .



Contoh 4.4.6 Misalkan G = G1 ⊕ G2 ⊕ G3 dengan G1  Z8 , G2  Z4 dan G3  Z4 . Juga, misalkan H = H1 ⊕ H2 ⊕ H3 dengan H1  Z8 , H2  Z8 dan H3  Z2 . Selanjutnya, misalkan G(2) = {x ∈ G | |x| = 1 atau 2} dan H(2) = {x ∈ H | |x| = 1 atau 2}. Maka, suatu dilakukan dalam contoh sebelumnya menunjukkan bahwa perhitungan seperti (2) 3 (2) 3 G = 2 dan H = 2 . Dengan demikian tidak bisa dibedakan elemen-elemen berorder 2 dalam G dan H. Apapun hal ini, tinjau grup kuasi G/G(2) dan gunakan Proposisi 4.3.1 didapat (2)

(2)

(2)

G/G(2) = G1 /G1 ⊕ G2 /G2 ⊕ G3 /G3 , dimana sebagaimana dalam contoh sebelumnya (2)

Gi = G(2) ∩ Gi = {x ∈ Gi | |x| = 1 atau 2} (2) adalah subgrup siklik dari Gi berorder 2 dan Gi /Gi = |Gi | /2. Jadi G/G(2)  Z4 ×Z2 ×Z2 . Dengan argumen yang sama didapat H/H(2)  Z4 × Z4 × {0}  Z4 × Z4 . Sebagaimana dalam contoh sebelumnya, maka G/G(2) dan H/H(2) tidak akan isomorpik. Dengan demikian G dan H tidak isomorpik. Jadi Z8 × Z4 × Z4  Z8 × Z8 × Z2 .



Proposisi 4.4.4 Misalkan p bilangan bulat prima dan G adalag p-grup komutatif berhingga. Bila G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gr dan G = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ Hs , dimana Gi dan Hi adalah siklik dengan

|G1 | ≥ |G2 | ≥ · · · ≥ |Gr | dan |H1 | ≥ |H2 | ≥ · · · ≥ |Hs |. Maka (1) r = s. (2) Gi  Hi . Bukti c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

170

Produk Langsung dan Grup Abelian..

(1) Misalkan G(p) = {x ∈ G | |x| = 1 atau p} dan untuk sebarang K subgrup dari G K∩G(p) = {x ∈ K | |x| = 1 atau p}. Bila x, y ∈ G(p) , maka p(x − y) = px − py = 0 − 0 = 0. Jadi (x − y) ∈ G(p) , dengan demikian G(p) suatu subgrup dari G. Bila x = g1 + g2 + · · · + gr , dimana gi ∈ Gi untuk semua i, 1 ≤ i ≤ r, maka dengan Kesimpulan 4.3.3 |x| membagi p bila dan hanya bila |gi | membagi p untuk semua i. Hal ini berarti (p) (p) (p) G(p) = G1 +G2 +· · ·+Gr dan dengan menggunakan Lemma 4.3.2, maka jumlahan tersebut adalah jumlahan langsung. Dengan menggunakan Kesimpulan 4.3.2 (p) (2) (p) (p) didapat G = G1 G2 Gr . Tetapi himpunan elemen-elemen berorder 1 atau p dalam suatu grup siklik dengan order membagi p adalah suatu subgrup siklik (p) (p) r tunggal berorder p. Jadi Gi = p untuk semua i dan G = p . Sejalan dengan perhitungan ini untuk Gi diganti Hi didapat G(p) = ps . Akibatnya pr = ps , jadi r = s. (2) Untuk menunjukkan Gi  Hi untuk semua i, 1 ≤ i ≤ r digunakan induksi pada n, dimana |G| = pn . Bila n = 1, maka G adalah siklik dengan demikian tidak ada yang dibuktikan. Misalkan proposisi benar untuk semua p-grup komutatif berorder pr dengan r < n. Tinjau grup kuasi G/G(p) , dengan menggunakan Proposisi 4.3.1 didapat (p) (p) (p) G/G(p)  G1 /G1 ⊕ G2 /G2 ⊕ · · · ⊕ Gr /Gr dan

(p)

(p)

(p)

G/G(p)  H1/H1 ⊕ H2 /H2 ⊕ · · · ⊕ Hr /Hr .

Terlihat ada dua dekomposisi dari p-grup komutatif G/G(p) dimana ordernya lebih (p) (p) kecil dari pn . Dengan hipotesis induksi Gi /Gi  Hi /H untuk semua i. Seba (p) i (p) gaimana telah dibuktikan pada bagian (1) bahwa Gi = Hi = p untuk semua i, X jadi |Gi | = |Hi | dan karena Gi dan Hi siklik, maka Gi  Hi untuk semua i.



Sebagai ringkasan dari apa yang telah dibahas baik dari beberapa contoh, proposisi dan kesimpulan diberikan teorema berikut sehingga bukti dengan mudah didapat. Teorema 4.4.1 (Fundamental Grup Komutatif Berhingga) Misalkan G adalah suatu grup komutatif berhingga. Maka (1) G  Zpa1 × · · · × Zpass , dimana pi adalah prima tidak perlu berbeda. 1

(2) Produk langsung adalah tunggal, kecuali urutan dari faktor. Bukti Misalkan G grup komutatif berhingga dimana |G| = pa11 pa22 · · · pakk . Maka dengan menggunakan Kesimpulan 4.4.1 didapat G  G(pa11 ) ⊕ G(pa22 ) ⊕ · · · ⊕ G(pakk ), c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

171

Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga..

dimana G(pai i ) = pai i . Dengan menggunakan Proposisi 4.4.3 didapat G(pai i )  Zpt1 × Zpt2 × · · · × Zpts , i

i

i

dimana ai = t1 + t − 2 + · · · + t2 . Dengan demikian telah terbukti bagian (1). Bukti bagian (2) didapat dari Proposisi 4.4.4. X



Contoh 4.4.7 Akan ditentukan semua grup komutatif beroder 180 yang berbeda dengan makna isomorpik. Untuk grup G yang demikian didapat G  Zpa1 × Zpa2 × · · · × Zpak , 1

2

k

dimana |G| = 180 = pa11 pa22 · · · pakk dan pi adalah bilangan bulat prima yang tidak harus berbeda. Dalam hal ini 180 = 22 32 5. Jadi G adalah grup yang isomorpik dengan grup-grup berikut G G G G

   

Z4 × Z9 × Z5  Z180 Z2 × Z2 × Z9 × Z5  Z2 × Z90 Z4 × Z3 × Z3 × Z5  Z3 × Z60 Z2 × Z2 × Z3 × Z3 × Z5  Z6 × Z30 .

Catatan bahwa hasil semua grup tidak saling isomorpik, digunakan teorema fundamental grup komutatif dan Teorema 4.2.2 yaitu Zn × Zm  Znm bila dan hanya bila fpb(n, m) = 1.



Diakhir bagian ini, diberikan akibat langsung dari teorema fundamental grup komutatif berhingga. Definisi 4.4.2 Suatu grup G dikatakan terdekomposisi bila G adalah jumlahan langsung dari dua subgrup sejati tak-trivial. Bila tidak dikatakan tak-terdekomposisi. X



Teorema 4.4.2 Diberikan G suatu grup komutatif berhingga. Maka G tak-terdekomposisi bila dan hanya bila G isomorpik dengan Zpr untuk bebarapa bilangan prima p dan bilangan bulat positip r. Bukti Bila G tak-terdekomposisi, langsung dari Teorema 4.4.1, maka G  Zrp . Sebaliknya, bila G  Zrp , maka dengan menggunakan Kesimpulan 4.3.4 G tak-terdekomposisi. X



Dalam kasus G suatu grup siklik berhingga, diketahui bahwa bila m membagi |G|, maka G mempunyai suatu subgrup tunggal berorder m. Selanjutnya dapat dibuktikan sebagai pembanding untuk grup komutatif berhingga. Teorema 4.4.3 Bila m membagi order dari suatu grup komutatif berhingga G, maka G mempunyai suatu subgrup berorder m. Bukti Dari Kesimpulan 4.4.1 didapat didapat G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gk , dimana Gi suatu subgrup siklik yang berorder pai i untuk semua i, 1 ≤ i ≤ k dan |G| = pa11 pa22 · · · pakk . Karena c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

172

Produk Langsung dan Grup Abelian..

m membagi |G|, maka m dapat ditulis sebagai m = pb11 pb22 · · · pbkk dimana bi ≤ ai untuk semua i. Untuk masing-masing i subgrup siklik Gi berorder pai i mempunyai suatu subgrup Hi berorder pbi i . Tinjau jumlahan H = H1 + H2 + · · · + Hk , dengan menggunakan Lemma 4.3.2, maka jumlahan tersebut adalah jumlahan langsung, sehingga dengan menggunakan Kesimpulan 4.3.2 didapat |H| = |H1 | |H2| · · · |Hk | = m. X



Teorema 4.4.4 Diberikan bilangan bulat m = p1 p2 · · · pk dimana pi adalah bilangan prima yang berbeda untuk semua i, 1 ≤ i ≤ k. Maka sebarang grup komutatif berorder m adalah siklik. Bukti Karena m = p1 p2 · · · pk dimana pi adalah bilangan prima yang berbeda untuk semua i, 1 ≤ i ≤ k, maka dengan menggunakan Teorema 4.4.1 didapat G  Zp1 × Zp2 × · · · × Zpk , dan dengan menggunakan Kesimpulan 4.3.4 didapat Zp1 × Zp2 × · · · × Zpk  Zp1 p2 ···pk = Zm . Jadi G  Zm , dengan demikian G adalah siklik.

•X

Latihan Latihan 4.4.1 Dapatkan semua grup komutatif yang berorder n. 1. n = 6 6. n = 20

2. n = 9 7. n = 60

3. n = 10 8. n = 80

4. n = 12 9. n = 72

5. n = 16 10. n = 108.

•X

Latihan 4.4.2 Dapatkan semua grup komutatif yang berorder 32 dan tepat mempunyai dua subgrup berorder 4. X



Latihan 4.4.3 Dapatkan semua grup komutatif berorder 32 dan tidak mempunyai eleX men berorder 4.



Latihan 4.4.4 Tunjukkan bahwa setiap grup komutatif berorder 6 memuat suatu elemen yang berorder 6. X



Latihan 4.4.5 Misalkan p adalah suatu bilangan prima. Tentukan berapa banyak grup komutatif yang berorder p5 . X



Latihan 4.4.6 Misalkan p dan q adalah bilangan prima yang berbeda. Tentukan berapa banyak grup komutatif yang mempunyai order berikut. (a) pq c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

173

Teorema Fundamental dari Grup Abelian Berhingga..

(b) pq2 (c) p2 q2 .

•X

Latihan 4.4.7 Misalkan p adalah bilangan prima. Tentukan semua grup komutatif berorder pn dan memuat suatu elemen berorder pn−2 . X



Latihan 4.4.8 tentukan apakah pasngan grup berikut isomorpik atau tidak. (a) Z180 × Z42 × Z35 dan Z315 × Z140 × Z6 . (b) Z20 × Z70 × Z14 dan Z28 × Z28 × Z25 .

•X

Latihan 4.4.9 Misalkan p dan q adalah bilangan prima yang berbeda, G grup komutatif berorder n dimana p dan q keduanya membagi n. Tunjukkan bahwa G memuat suatu X subgrup siklik berorder pq.



Latihan 4.4.10 Diberikan G adalah suatu grup komutatif berhingga dan p suatu bilangan prima yang memenuhi untuk semua x ∈ G, x , e, |x| = pr untuk beberapa bilangan bulat positip r. Tunjukkan bahwa G adalah suatu p-grup. X



Latihan 4.4.11 Misalkan G adalah suatu p-grup komutatif berhingga untuk beberapa bilangan prima p. Tinjau G(p) = {x ∈ G | |x| = 1 atau p},

dan misalkan H suatu subgrup siklik tak-trivial dari G. Tunjukkan bahwa G(p) ∩ H = p. X



Latihan 4.4.12 Tentukan semua grup komutatif berorder 625. Untuk masing-masing grup komutatif tersebut, maka (a) hitung G(5) dimana G(5) = {x ∈ G | |x| = 1 atau 5}. (b) Dapatkan G/G(5) .

•X

Latihan 4.4.13 Misalkan G adalah p-grup komutatif berhingga untuk beberapa bilangan prima p. Misalkan G(p) sebagaimana dalam Latihan 4.4.11 dan pG = {pg | g ∈ G}. Tunjukkan bahwa (a) pG adalah suatu subgrup dari G. (b) pG  G/G(p) .

•X

Latihan 4.4.14 Misalkan G1 dan G2 grup komutatif berhingga. Tunjukkan bahwa G1 dan G2 mepunyai elemen-elemen berorder n dengan jumlah yang sama untuk semua n bila dan hanya bila G1  G2 . X



Latihan 4.4.15 Misalkan H dan K adalah p-grup komutatif berhingga. Tunjukkan bahwa X H × H  K × K bila dan hanya bila H  K.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

174

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Produk Langsung dan Grup Abelian..

Bab

5

Tindakan Grup Dalam bab ini dibahas konsep dari suatu tindakan grup pada suatu himpunan. Hal yang penting dari pengertian ini akan tampak sepanjang bab ini melalui berbagai aplikasi. Hal ini meliputi masalah enumerasi (aplikasi toerema Burnside) dan analisisi struktur grup berorder pq atau p2 q dimana p dan q adalah bilangan prima (aplikasi teorema sylow). Kajian topik ini menggunakan konsep dari tidakan suatu grup.

5.1 Tindakan Grup dan Teorema cayley Konsep yang dikenalkan dalam bagian ini meliputi dua obyek yaitu suatu grup G dan suatu himpunan X , ∅. Masing-masing elemen dari grup G akan menentukan suatu permutasi dari elemen-elemen himpunan X. Operasi pada X akan sesuai dengan komposisi dari permutasi yang terkait dari X. Contoh berikut secara visual membantu untuk memahami konsep baru ini. Contoh 5.1.1 Diberikan sebarang θ ∈ R, tinjau matriks "

# cos θ − sin θ A(θ) = . sin θ cos θ Misalkan G = {A(θ) | θ ∈ R} ⊆ SL(2, R). Dengan operasi perkalian matriks dapat ditunjukkan G adalah subgrup dari SL(2, R). Misalkan X adalah bidang R2 . Dinyatakan representasi dari suatu titik sebagai suatu vektor kolom dan digunakan koordinat polar: " # " # x r cos θ P(r, φ) = = . y r sin θ Jadi X = {P(r, φ) | r, φ ∈ R, r ≥ 0}. Untuk sebarang A(θ) ∈ G dan sebarang P(r, φ) ∈ X 175

176

Tindakan Grup..

didapat " #" # cos θ − sin θ r cos θ A(θ)P(r, φ) = sin θ cos θ r sin θ " # r cos φ cos θ − r sin φ sin θ = r cos φ sin θ + r sin φ cos θ " # r cos(φ + θ) = = P(r, φ + θ). r sin(φ + θ) Perlu diperhatikan bahwa, titik P(r, φ+θ) diperoleh dari titik P(r, φ) melalui rotasi bidang pada titik asal dengan sudutsebesar θ. Juga matriks berikut: (1) Matriks

" # " # cos 0 − sin 0 1 0 A(0) = = =I sin 0 cos 0 0 1

adalah matriks identitas dalam G. Dengan demikian didapat untuk sebarang titik P(r, φ) ∈ X, A(0)P(r, φ) = P(r, φ + 0) = P(r, φ). (2) Untuk perkalian matriksdidapat " #" # cos θ − sin θ cos ψ − sin ψ A(θ)A(ψ) = sin θ cos θ sin ψ cos ψ " # cos θ cos ψ − sin θ sin ψ − cos θ sin ψ − sin θ cos ψ = cos θ sin ψ + sin θ cos ψ cos θ cos ψ − sin θ sin ψ " # cos(θ + ψ) − sin(θ + ψ) = sin(θ + ψ) cos(θ + ψ) = A(θ + ψ). Jadi (A(θ)A(ψ))P(r, φ) = P(r, φ + θ + ψ) = A(θ)(A(ψ)P(r, φ)). Hal ini berarti bahwa bila terlebih dahulu dilakukan perkalian dua matriks kemudian merotasi titik melalui hasil perkalian matriks tersebut atau bila dilakukan lebih dulu merotasi titik melalui satu matriks dan kemudian hasilnya dirotasi lagi dengan matriks yang lainnya didapat hasil yang sama. (3) Diberikan dua titik P(r, φ) dan P(s, ψ) di X, maka dapat dipilih matriks A(θ) di G yang memenuhi A(θ)P(r, φ) = P(s, ψ) bila dan hanya bila s = r. Yaitu bila dan hanya bila dua titik tersebut terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 .



Untuk sebarang himpunan tak-kosong X dan grup G tinjau pemetaan dari G × X ke X yang ditulis sebagai (g, x) → g.x, dimana g ∈ G dan x ∈ X. Apapun hal ini G ditinjau sebagai suatu grup dan bukan sekedar himpunan. Berkaitan dengan pemetaan tersebut dalam hal makna tertentu dapat disesuaikan dengan struktur grup G. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

177

Tindakan Grup dan Teorema cayley..

Definisi 5.1.1 Suatu tindakan grup G pada suatu himpunan tak-kosong X adalah suatu pemetaan G × X ke X dengan sifat berikut: (1) e.x = x untuk semua x ∈ X dan e adalah elemen netral di G. (2) g1 .(g2 .x) = (g1 g2 ).x untuk semua g1 , g2 ∈ G dan semua x ∈ X. Bila tindakan tersebut ada, maka dikatakan grup G bertindak pada X dan X adalah G − set. X



Dalam Contoh 5.1.1 menjelaskan suatu tindakan grup. Difinisi 5.1.1 dapat diilustrasikan oleh berbagai contoh nyata berikut. Contoh 5.1.2 Grup additive R bertindak pada bidang R2 melalui tranlasi horizontal (a, (x, y)) → (x + a, y) dan suatu tindakan yang lain translasi vertikal (b, (x, y)) → (x, (y + b)).



Contoh 5.1.3 Misalkan G = {e, g} adalah grup siklik berorder 2 dan himpunan X = C. Maka G bertindak pada himpunan bilangan kompleks C melalui tindakan (e, x + iy) → x + iy dan (g, x + iy) → x − iy.



Contoh 5.1.4 Setiap subgrup H dari suatu grup G (termasuk G sendiri) bertindak pada G melalui perkalian kiri. Tindakan ini adalah H × G → G, dimana (h, g) → hg untuk semua h ∈ H dan semua g ∈ G.



Contoh 5.1.5 Setiap subgrup H dari suatu grup G (termasuk G sendiri) bertindak pada G melalui konjugasi. Tindakan ini adalah H × G → G, dimana (h, g) → hgh−1 untuk semua h ∈ H dan semua g ∈ G. Sifat (1) jelas, sedangkan sifat (2) dari persamaan −1 (h1 h2 )g(h1 h2 )−1 = h1 (h2 gh−1 2 )h1 .



Konjugasi adalah suatu tindakan yang sangat penting yang akan dibahas lebih dekat dalam suatu bagian kemudian. Contoh berikut juga merupakan suatu contoh fundamental. Contoh 5.1.6 Misalkan X = {1, 2, . . . , n} dan Sn adalah grup permutasi dari n elemen. Maka Sn bertindak pada X sebagai berikut: (τ, i) → τ(i), dimana τ suatu permutasi di Sn dan i ∈ X. Sifat (1) mengikuti definisi permutasi identitas dan sifat (2) dari definisi perkalian permutasi sebagai komposisi dari fungsi.



Contoh 5.1.6 adalah fundamental sebab tindakan dari sebarang grup G pada himpunan tak-kosong X terkait dekat dengan tindakan grup simetri dari X yaitu SX pada X sebagaimana telah dibahas dalam contoh. Keterkaitan ini dibahas pada proposisi berikut.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

178

Tindakan Grup..

Proposisi 5.1.1 Misalkan G adalah suatu grup bertindak pada suatu himpunan takkosong X. Maka (1) untuk masing-masing g ∈ G pemetaan τ g : X → X didefinisikan oleh τ g (x) = g.x adalah suatu permutasi dari X. (2) Pemetaan χ : G → SX didefinisikan oleh χ(g) = τ g adalah suatu homomorpisma. Bukti (1) Ditunjukkan bahwa τ g : X → X adalah suatu permutasi dari X atau τ g adalah bijektif. Pemetaan τ g adalah satu-satu sebab bila τ g (x) = τ g (y), maka g.x = g.y. Didapat g−1 .(g.x) = g−1 .(g.y). Jadi x = e.x = (g−1 g).x = g−1 .(g.x) = g−1 .(g.y) = (g−1 g).y = e.y = y. Pemeteaan τ g pada, sebab bila w ∈ X dapat dipilih g−1 .w ∈ X yang memenuhi τ g (g−1 .w) = g.(g−1 .w) = (gg−1 ).w = e.w = w. (2) Diberikan sebarang g − 1, g2 ∈ G dan sebarang x ∈ X didapat χ(g1 g2 )(x) = = = = = Jadi χ(g1 g2 ) = χ(g1 ) ◦ χ(g2 ).



(g1 g2 ).x g1 .(g2 .x) τ g1 (τ g1 (x)) (τ g1 ◦ τ g2 )(x) χ(g1 ) ◦ χ(g2 )(x)

Kebalikan dari Proposisi 5.1.1 juga benar sebagaimana ditunjukkan oleh proposisi berikut. Proposisi 5.1.2 Diberikan suatu homomorpisma grup ψ : G → SX , maka pemetaan G × X → X didefinisikan oleh (g, x) → g.x = ψ(g)(x) adalah suatu tindakan dari G pada X. Bukti Ditunjukkan berdasarkan Definisi 5.1.1 memenuhi sifat: (1) e.x = ψ(e)(x) = id(x) = x, dimana id ∈ SX adalah permutasi identitas. (2) g1 .(g2 .x) = ψ(g1 )((ψ(g2 )(x)) = (ψ(g1 ) ◦ ψ(g2 ))(x) = ψ(g1 g2 )(x) = (g1 g2 ).x.

•X

Akan menjadi jelas kemudian ketika diinginkan mengkonstruksi suatu contoh dari suatu grup bahwa bukan grup komutatif. Sering dicari subgrup dari beberapa Sn yang memenuhi kondisi yang diinginkan. Grup Sn tampaknya memberikan suatu sumber persediaan yang tak-habis-habisnya untuk membuat contoh. Alasan ini menjadi jelas sebagaimana ditunjukkan dalam hasil berikut. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

179

Tindakan Grup dan Teorema cayley..

Teorema 5.1.1 (Teorema Cayley) Setiap grup isomorpik dengan suatu subgrup dari suatu grup permutasi. Bukti Misalkan G sebarang grup dan bertindak pada dirinya sendiri melalui perkalian kiri. Dengan demikian didapat G × G → G, dimana (g, x) → gx. Dengan Proposisi 5.1.1 ada suatu homomorpisma grup χ : G → SG didefinisikan oleh χ(g) = τ g ∈ SG , dimana τ g (x) = gx untuk semua x ∈ G. Kernel dari χ adalah himpunan semua g ∈ G yang memenuhi τ g = id. Jadi ker(χ) = {g ∈ G | gx = x untuk semua x ∈ G} = {e}. Jadi χ adalah satu-satu, dengan demikian G isomorpik dengan im(χ). Tetapi im(χ) adalah subgrup dari SG . Jadi G isomorpik dengan suatu subgrup dari suatu grup permutasi. X



Definisi 5.1.2 Homomorpisma χ : G → SX dikaitkan dengan suatu tindakan dari suatu grup G pada suatu himpunan tak-kosong X disebut representasi permutasi dari X tindakan.



Contoh 5.1.7 Sudah diberikan suatu representasi permutasi dari grup D4 dalam Contoh 2.4.11. Secara lebih umum, tindakan dari grup dihedral Dn pada segi-n beraturan memberikan suatu representasi dari grup dihedral Dn sebagai suatu subgrup dari grup simetri Sn .



Definisi 5.1.3 Grup G dikatakan secara tepat bertindak pada himpunan tak-kosong X bila ker(χ) = {e} dengan kata lain elemen di G yang menjadikan setiap elemen dari X tetap hanya elemen netral e. Jadi G secara tepat bertindak pada X bila dan hanya bila χ adalah satu-satu, dalam hal yang demikian grup G isomorpik dengan subgrup im(χ) X dari SX .



Contoh 5.1.8 Tindakan dari dihedral grup Dn = {e, ρ, ρ2 , . . . , ρn−1 , τ, ρτ, ρ2τ, . . . , ρn−1 τ} pada segi-n beraturan adalah setia. Misalkan G = {e, g, g2} siklik berorder 3 dan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} adalah himpunan enam titik sudut dari segi-6 beraturan, sebagaimana diberikan oleh Gambar 5.1. Misalkan G bertindak pada X melalui rotasi g sebesar 2

1

3

6

4

5

Gambar 5.1: Segi-6 beraturan

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

180

Tindakan Grup..

120◦ berlawanan arah jarum jam pada segi-6 beraturan. Jadi G = {e, ρ2 , ρ4 } adalah subgrup dari D6 dimana ρ adalah rotasi sebesar 60◦ berlawanan arah jarum jam. Dengan demikian G secara tepat bertindak pada X dan dapat direpresentasikan oleh subgrup {e, (1 3 5)(2 4 6), (1 5 3)(2 6 4)} dari grup simetri S6 , dimana generator g adalah permutasi g = (1 3 5)(2 4 6).



Contoh 5.1.9 Misalkan G = {e, g, g2} grup siklik berorder 3 dan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} adalah himpunan titik sudut dari suatu kubus. Misalkan G bertindak pada X melalui rotasi g yaitu rotasi pada garis melalui titik sudut 2 dan 8. Jadi g.1 = 3, g.2 = 2, g.3 = 6, g.4 = 7, g.5 = 4, g.6 = 1, g.7 = 5 dan g.8 = 8 sebagai mana diberikan oleh Gambar 5.2. Tindakan G pada X adalah tepat, sebab G dapat direpresentasikan oleh subgrup 1

6

2 3

4

2 1

5 g

6

5 8

3

7 7

8

4

Gambar 5.2: Tindakan G pada Kubus

{e, (1 3 6)(4 7 5), (1 6 3)(4 5 7)} dari grup simetri S8 . Dalam kasus ini generator dari G direpresentasikan oleh elemen g = (1 3 6)(4 7 5).



2

1

3

4

Gambar Diagonal Persegi

Contoh 5.1.10 Sebagaimana telah diketahui tindakan dari dihedral grup D4 pada himpunan titik sudut {1, 2, 3, 4} dari persegi adalah tindakan tepat. Tetapi sebagai pengganti, bila D4 bertindak pada himpunan {d1 , d2 } dari diagonal persegi, dimana d1 adalah diagonal 1 − 3 dan d2 diagonal 2 − 4 (lihat gambar sebelah). Dalam hal ini, tindakan tidak tepat, sebab ρ2 .d1 = d1 dan ρ2 .d2 = d2 , dimana ρ = (1 2 3 4) ∈ D4 .

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono



181

Tindakan Grup dan Teorema cayley..

Latihan Latihan 5.1.1 Tunjukkan bahwa G sebagaimana didefinisikan dalam Contoh 5.1.1 adalah suatu subgrup dari SL(2, R). X



Latihan 5.1.2 Lagi, dengan G sebagaimana didefinisikan dalam Contoh 5.1.1, tunjukkan bahwa untuk sebarang titik P dan Q dalam bidang R2 ada suatu matriks A ∈ G dengan A.P = Q bila dan hanya bila P dan Q keduanya adalah titik yang terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 untuk beberapa r > 0. X



Latihan 5.1.3 Untuk latihan berikut (a) Tunjukkan bahwa X dapat dianggap sebagai suatu G − set dalam suatu cara yang wajar, yaitu uraikan suatu tindakan grup G pada X dengan cara yang wajar. (b) Tunjukkan bahwa tindakan memenuhi sifat dua sifat definisi dari suatu tindakan. (c) Berikan suatu representasi permutasi dari tindakan. (1) G = {e, g} grup siklik beroder 2 dan X himpunan titik dari suatu segitiga sama sisi. (2) G = {e, g, g2} grup siklik beroder 3 dan X himpunan titik dari suatu segitiga sama sisi. (3) G  Z2 ×Z2 grup tak-siklik beroder 4 dan X himpunan titik sudut dari suatu persegi. (4) G  Z2 × Z2 × Z2 grup tak-siklik beroder 6 dan X himpunan titik sudut dari suatu segi-6 beraturan. (5) G  Z2 × Z2 × Z2 × Z2 dan X himpunan titik sudut dari suatu persegi.

•X

Latihan 5.1.4 Misalkan G = Z dan X adalah himpunan koset dari 5Z dalam Z. Berikan suatu contoh dari suatu tindakan G pada X didefinisikan dengan cara yang wajar tetapi X bukan tindakan tepat.



Latihan 5.1.5 Tunjukkan bahwa R2 adalah suatu G − set dengan tindakan translasi horizontal sebagaimana diberikan dalam Contoh 5.1.2. X



Latihan 5.1.6 Misalkan G suatu grup dan X adalah himpunan dari semua subgrup dari X G. Tunjukkan bahwa X adalah suatu G − set terhadap konjugasi : (g, H) → gHg−1 .



Latihan 5.1.7 Misalkan G = S3 dan X himpunan semua subgrup dari S3 . Tulis tabel untuk menunjukkan tindakan dari G pada X melalui konjugasi seperti Latihan 5.1.6. X Apakah tindakan ini suatu tindakan tepat?



Latihan 5.1.8 Misalkan G dan X seperti dalam Latihan 5.1.6 dengan G bertindak pada X melalui konjugasi. Uraikan kernel dari χ sebagaimana dalam Proposisi 5.1.1 dimana G adalah suatu grup komutatif. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

182

Tindakan Grup..

Latihan 5.1.9 Misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G dan X himpunan semua koset kiri dari H dalam G. Tunjukkan bagaimana X dapat dibuat sebagai suatu G − set dengan cara yang wajar. X



Latihan 5.1.10 Misalkan X1 dan X2 adalah G − set untuk grup G dan X1 ∩ X2 = ∅. Tunjukkan bagaimana himpunan X1 ∪ X2 dapat menjadi suatu G − set dalam suatu cara yang wajar. X



Latihan 5.1.11 Untuk latihan berikut, misalkan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G dan himpunan X = {xH | x ∈ G}. Misalkan G bertindak pada X melalui perkalian kiri (g, xH) → gxH ∈ X. (1) Tunjukkan bahwa tindakan tersebut adalah suatu tindakan grup. (2) Bila χ : G → SX adalah suatu representasi permutasi dari tindakan G. Maka (a) Tentukan K = ker(χ). (b) Tunjukkan bahwa K ⊂ H.

(c) Tunjukkan bahwa bila N adalah suatu subgrup normal dari G dan N ⊂ H, maka N ⊂ K. Dengan kata lain, tunjukkan bahwa K adalah subgrup normal terbesar dari G yang termuat dalam H. (3) Tunjukkan bagaimana teorema Cayley dalam latihan yang baru dibahas tersebut. (4) Misalkan i = [G : H] adalah ideks dari H dalam G. Maka (a) Tunjukkan bahwa bila χ satu-satu, maka |G| membagi i!

(b) Tunjukkan bahwa bila |G| tidak membagi i!, maka K adalah tak-trivial.

(c) Tunjukkan bahwa bila |G| tidak membagi i!, maka G mempunyai suatu subgrup X normal sejati tak-trivial.



5.2 Stabiliser dan Orbit dalam suatu Tindakan Grup Dalam bagian ini ditunjukkan bahwa suatu tindakan grup menentukan suatu relasi ekivalen pada X sebagai G−set. Dalam hal ini X dipartisi menjadi klas-klas ekivalen yang dinamakan orbit. Selanjutnya dibuktikan teorema utama yang menentukan banyaknya elemen dari masing-masing orbit. Teorema ini akan digunakan berkali-kali pada bab ini untuk berbagai tindakan grup. Contoh berikut diharapkan memberikan kemudahan untuk memahami beberapa pengertian beberapa definisi dan sifat-sifat terkait yang dibahas dalam bagian ini.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

183

Stabiliser dan Orbit dalam suatu Tindakan Grup..

Contoh 5.2.1 Tinjau Dihedral grup D4 bertindak dengan cara yang wajar pada himpunan

s1

t2 = 2

t1 = 1

X = {t1 , t2 , t3 , t4 , s1 , s2 , s3, s4 , d1 , d2}, dimana ti = i, i = 1, 2, 3, 4 adalah titik sudut dari persegi, s1 = 1 − 2, s2 = 2 − 3, s3 = 3 − 4, s4 = 4 − 1 adalah sisi-sisi persegi dan d1 = 1 − 3, d2 = 2 − 4 adalah diagonal persegi (lihat gambar sebelah). Tabel 5.1 menguraikan tindakan D4 pada X akan membantu untuk mempermudah memahami beberapa definisi baru yang diberikan dalam bagian ini.

ρ0 ρ ρ2 ρ3 τ ρτ ρ2 τ ρ3 τ

1 1 2 3 4 2 3 4 1

2 2 3 4 1 1 2 3 4

d1

s2

s4 d2

t3 = 3

t4 = 4

s3

Gambar Persegi dari grup D4 .

Tabel 5.1: Tindakan D4 pada X 3 4 t1 t2 t3 3 4 t1 t2 t3 4 1 t2 t3 t4 1 2 t3 t4 t1 2 3 t4 t1 t2 4 3 t1 t4 t3 1 4 t2 t1 t4 2 1 t3 t2 t1 3 2 t4 t3 t2

t4 t4 t1 t2 t3 t2 t3 t4 t1

d1 d1 d2 d1 d2 d2 d1 d2 d1

d2 d2 d1 d2 d1 d1 d2 d1 d2

Proposisi 5.2.1 Misalkan X adalah G − set dan untuk sebarang x ∈ X didefinisikan himpunan Gx = {g ∈ G | g.x = x}. Maka Gx adalah subgrup dari G.

Bukti Cukup ditunjukkan bahwa bila g ∈ Gx , maka g−1 ∈ Gx dan bila g1 , g2 ∈ Gx , maka g1 g2 ∈ Gx . Bila g ∈ Gx , maka g.x = x. Jadi g−1 .x = g−1 .(g.x) = (g−1 g).x = e.x = x. Hal ini menunjukkan bahwa g−1 ∈ Gx . Selanjutnya, bila g1 , g2 ∈ Gx , maka (g1 g2 ).x = g1 .(g2 .x) = g1 .x = x. Jadi g1 g2 ∈ Gx .

•X c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

184

Tindakan Grup..

Definisi 5.2.1 Grup Gx dinamakan stabilizer dari x dalam G. Subgrup Gx juga dinamakan subgrup isotropy dari G untuk elemen x ∈ X. X



Contoh 5.2.2 Dalam Contoh 5.2.1 tidakan dari D4 pada X dan dari Tabel 5.1 didapat untuk g.2 = 2 maka g = ρ0 atau g = ρτ. Jadi G2 = {ρ0 , ρτ}. untuk g.d1 = d1 maka g = ρ0 , ρ2 , ρτ atau g = ρ3 τ. Jadi Gd1 = {ρ0 , ρ2 , ρτ, ρ3 τ}. Untuk g.t4 = t4 maka g = ρ0 atau g = ρ2 τ. Jadi G2 = {ρ0 , ρ2 τ}.



Berikut ini ditunjukkan bagaimana cara dari tindakan suatu grup G pada himpunan tak-kosong X yang mempartisi X menjadi klas-klas yang ekivalen. Proposisi 5.2.2 Misalkan G adalah suatu grup bertindak pada suatu himpunan takkosong X. Relasi pada X didefinisikan oleh a ∼ b bila dan hanya bila a = g.b untuk beberapa g ∈ G dan a, b ∈ X. Maka relasi ∼ adalah relasi ekivalen. Bukti Sifat refleksif, untuk sebarang a ∈ X, didapat a = e.x. Jadi a ∼ a. Sifat simetri, untuk sebarang a, b ∈ X. Bila a ∼ b maka dapat dipilih g ∈ G yang memenuhi a = g.b. Jadi g−1 .a = g−1 .(g.b) = (g− g).b = e.b = b. Hal ini menunjukkan bahwa b ∼ a. Sifat transitif, untuk sebarang a, b, c ∈ X. Bila a ∼ b dan b ∼ c, maka dapat dipilih g, h ∈ G yang memenuhi a = g.b dan b = h.c. Didapat a = g.b = g.(h.c) = (gh).c. Jadi a ∼ c.

•X

Definisi 5.2.2 Diberikan grup G bertindak pada himpunan tak-kosong X. Maka himpunan klas ekivalen Oa = {b ∈ X | a ∼ b}

dinamakan orbit dari a dalam X.

•X

Contoh 5.2.3 Tinjau lagi Contoh 5.2.1 tindakan dari D4 pada X. Dari Tabel 5.1 dapat dilihat bahwa ada tiga himpunan orbit, yaitu himpunan titik sudut, himpunan sisi dan himpunan diagonal. Jadi O2 = {1, 2, 3, 4}, Od1 = {d1 , d2 } dan Ot4 = {t1 , t2 , t3 , t4 }. Sudah ditunjukkan bahwa G2 subgrup berorder 2, sedangkan O2 mempunyai 4 elemen. Begitu juga Gd1 subgrup berorder 4, sedangkan Od1 mempunyai 2 elemen. Serta, Gt4 subgrup berorder 2, sedangkan Ot4 mempunyai 4 elemen.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

185

Stabiliser dan Orbit dalam suatu Tindakan Grup..

Dalam Contoh 5.2.3, didapat |Ga | |Oa | = |G| untuk setiap kasus. Hal ini dibuktikan oleh teorema berikut untuk sebarang tindakan grup. Teorema 5.2.1 (Hubungan Orbit-Stabilizer) Diberikan grup G bertindak pada suatu himpunan tak-kosong X dan a adalah sebarang elemen di X. Bila G adalah berhingga, maka |Oa | = |G|/|Ga |. Bukti Indeks [G : Ga ] adalah banyaknya koset dari Ga dalam G. Sebagaimana telah diketahui bahwa bila |G| berhingga, maka [G : Ga ] = |G|/|Ga |. Diberikan sebarang b ∈ Oa , dapat dipilih suatu g ∈ G yang memenuhi b = g.a. Dengan demikian didefinisikan pemetaan τ : Oa → H dimana H = {gGa | g ∈ G} oleh b = g.a → gGa , ∀b ∈ Oa . Pemetaan τ terdefinisi secara baik, sebab bila b = g1 .a dan b = g2 .a, maka −1 −1 −1 −1 (g−1 1 g2 ).a = g1 .(g2 .a) = g1 .b = g1 .(g1 .a) = (g1 g1 ).a = e.a = a.

Jadi g−1 g2 ∈ Ga akibatnya g1 Ga = g2 Ga . Pemetaan τ adalah satu-satu, sebab τ(b1 ) = τ(b2 ) 1 bila dan hanya bila g1 Ga = g2 Ga dimana b1 = g1 .a dan b2 = g2 .a. Tetapi g1 Ga = g2 Ga bila dan hanya bila g1 = g2 h untuk beberapa h ∈ Ga , dalam hal ini didapat b1 = g1 .a = (g2 h).a = g2 .(h.a) = g2 .a = b2 .

Pemetaan τ adalah pada, sebab diberikan sebarang koset kiri g′ Ga ∈ H dapat dipilih g′ .a ∈ Oa yang memenuhi τ(g′ .a) = g′ Ga . Karena τ satu-satu dan pada, maka |Oa | = |H| = [G : Ga ]. Jadi |Oa | = |G|/|Ga |. X



Contoh 5.2.4 Misalkan X = {1, 2, . . . , n} dan G = Sn . Diberikan sebarang i, j ∈ X dapat dipilih suatu permutasi τ ∈ Sn yang memenuhi τ(i) = j. Jadi melalui tindakan Sn didapat hanya satu orbit. Bila dipilih x = 3 ∈ X, maka O3 adalah X dan stabilizer G3 isomorpik dengan Sn−1 . Sehingga didapat |Sn | = |O3 | |G3 | = n|Sn−1 |.



Definisi 5.2.3 Diberikan grup G bertindak pada suatu himpunan tak-kosong X. Tindakan dari G pada X dinamakan transitif bila hanya ada satu orbit dalam tindakan G pada X, yaitu untuk sebarang dua elemen a, b ∈ X ada beberapa g ∈ G yang memenuhi g.a = b. X



Contoh 5.2.5 Dalam Contoh 5.1.2 tindakan grup additive R pada bidang R2 melalui translasi horizontal bukan tindakan transitif. Sebab orbit dari sebarang titik (a, b) adalah garis horizontal y = b yang tidak sama dengan bidang R2 .



Contoh 5.2.6 Misalkan X = {1, 2, 3, . . . , n} adalah himpunan dari n titik sudut dari segi-n beraturan dengan n ≥ 3. Tindakan grup dihedral Dn (dalam Contoh 2.1.16) pada X adalah transitif. Jadi untuk sebarang a ∈ X, orbit Oa mempunyai elemen sebanyak n. Bila dipilih a = 1 dan sebarang σ ∈ G1 , maka σ(2) = 2 dalam hal ini σ adalah identitas atau σ(2) = n, dimana n adalah titik sudut yang terletak pada sisi 1 − n dalam kasus ini σ adalah suatu pencerminan pada sumbu melalui titik pusat segi-n beraturan dan titik sudut 1. Sehingga didapat σ(1) = 1 dan σ(i) = n − i + 2 untuk semua i ∈ X dengan i , 1. Jadi |G1 | = 2 dan |Dn | = |O1 | |G1 | = n · 2 = 2n.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

186

Tindakan Grup..

Contoh 5.2.7 Misalkan G adalah grup rotasi pada suatu kubus. Tindakan G pada delapan titik sudut dari kubus adalah transitif. Bila dipilih titik sudut 3 dan sebarang τ ∈ G2 , maka τ(3) = 3 dalam kasus ini τ adalah identitas. Bila τ(3) = 6, maka dalam kasus ini τ(6) = 1, τ(1) = 3. Bila τ(3) = 1, maka dalam kasus ini τ(1) = 6, τ(6) = 3. (Lihat gambaran ini dalam Contoh 5.1.9.) Jadi |G2 | = 3 dan |G| = |O2| |G2 | = 8(3) = 24.



Pada akhir pembahasan ini diberikan suatu akibat langsung dari Proposisi 5.2.2 dan Teorema 5.2.1 yang berperanan sebagai suatu aturan dasar pada bab ini. Teorema 5.2.2 Misalkan X adalah suatu G − set dan N adalah banyaknya orbit dalam tindakan. Bila a1 , a2 , . . . , AN adalah representasi yang berbeda dari himpunan orbit yaitu setiap elemen dari X berada secara tepat dalam satu orbit Oai . Maka |X| =

N X

[G : Gai ],

i=1

dimana Gai adalah stabilizer dari ai . Bukti Dari Proposisi 5.2.2 didapat bahwa tindakan G pada X mempartisi X menjadi orbit-orbit Oai , i = 1, 2, . . . , N yang berbeda dan dengan menggunakan Teorema 1.2.2 didapat N X |X| = |Oai |. i=1

Tetapi dari Teorema 5.2.1 didapat |Oai | = [G : Gai ]. Jadi N X X |X| = [G : Gai ]. i=1



Latihan Latihan 5.2.1 Untuk latihan berikut : (a) dapatkan stabilizer Ga untukmasing-masing a, dapatkan orbit Oa , (c) selidiki bahwa |Oa | = [G : Ga ], (d) tentukan apakah tindakan transitif dan (e) tentukan apakah G bertindak pada X secara tepat. Dimana X, G dan a diberikan sebagai berikut. 1. X = {1, 2, 3}; G = S3 ; a = 1, 2, 3. 2. X = {1, 2, 3, 4}; G = A3 ⊂ S3 ; a = 1, 2, 3. 3. X = {1, 2, 3, 4}; G = S4 ; a = 1, 3, 4. 4. X = {1, 2, 3, 4}; G = A4 ⊂ S4 ; a = 1, 3, 4. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

187

Stabiliser dan Orbit dalam suatu Tindakan Grup..

5. X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; G = {ρ0 , (1 2 3 4)(5 7), (1 3)(2 4), (1 4 3 3)(5 7)} ⊂ S7 , dimana ρ0 adalah permutasi identitas; a = 1, 3, 6, 7. 6. X = {1, 2, 3, 4} himpunan titik sudut dari persegi; G = D4 ; a = 1, 2, 3.

7. X = {1, 2, 3, 4} himpunan titik sudut dari persegi; G = ρ ⊂ D4 , ρ adalah rotasi 90◦ ; a = 1, 3.

8. X = {1, 2, 3, 4} himpunan titik sudut dari persegi; G = ρ2 , τ ⊂ D4 ; a = 1, 3. X



Latihan 5.2.2 Misalkan X = C − {0, −1}. Untuk z ∈ X, misalkan

T0 (z) = z, T1 (z) = −1/(1 + z), T2 = (1 − z)/ − z dan G = {T0 , T1 , T2}.

(a) Tunjukkan bahwa G adalah grup terhadap komposisi fungsi.

(b) Tunjukkan bahwa G bertindak pada X secara wajar.

•X

(c) Dapatkan semua a ∈ X yang memenuhi Ga = G.

Latihan 5.2.3 Untuk a, b ∈ R, misalkan g(a, b) ∈ M(2, R) adalah matriks " # a b g(a, b) = . 0 1 Misalkan G = {g(a, b) | a, b ∈ R, a , 0} dengan operasi perkalian matriks dan X = R. Untuk g = g(a, b) ∈ G dan x =∈ X didefinisikan g.x = ax + b. (a) Tunjukkan bahwa G adalah subgrup dari GL(2, R).

(b) Tunjukkan g.x = ax + b mendefinisikan suatu tindakan G pada X. (c) Dapatkan G0 dan O0 . (d) Apakah G brtindak secara tepat pada X? (e) Apakah tindakan transitif?

•X

Latihan 5.2.4 Misalkan H suatu subgrup dari suatu grup G dan X = {xH | x ∈ G}. Misalkan G bertindak pada X melalui perkalian kiri, yaitu g.xH = gxH untuk g ∈ G dan xH ∈ X. (a) Tunjukkan bahwa GxH stabilizer dari xH ∈ X adalah subgrup xHx−1 dari G.

(b) Tunjukkan bahwa untuk sebarang xH ∈ X, |OxH | = [G : H].

•X

Latihan 5.2.5 Diberikan G adalah suatu grup berhingga dengan |G| = n dan misalkan p adalah bilangan prima terkecil membagi n. Tunjukkan bahwa bila H adalah suatu subgrup dari G dengan [G : H] = p, maka H ⊳ G. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

188

Tindakan Grup..

5.3 Teorema Burside dan Aplikasi Pada bagian ini diaplikasikan hubungan orbit-stabilizer (Teorema 5.2.1) yang telah dibahas pada bagian sebelumnya untuk membuktikan teorema Burnside. Teorema ini memberikan metode konting banyaknya orbit dari suatu himpunan melalui tindakan suatu grup simetri. Juga diilustrasikan bagaimana teorema Burnside dapat diaplikasikan untuk berbagai masalah konting, yaitu untuk menentukan banyaknya disain "yang secara esensial berbeda". Contoh 5.3.1 Suatu tongkat teridiri dari dua bagian, yaitu bagian 1 dan bagian 2. Bila pada masing-masing bagian akan diwarnai dengan tiga warna berbeda, yaitu merah, hitam dan biru sebagaimana diberikan oleh Gamabr 5.3. Maka berapakah banyaknya

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Gambar 5.3: Pewarnaan Tongkat

cara yang berbeda dari dari pewarnaan tongkat tersebut bila aturan perwarnaan adalah satu bagian dari tongkat hanya diwarnai oleh satu warna? Persoalan ini bisa dijawab sebagai berikut. Ada sebanyak 32 = 9 cara perwarnaan, yaitu x1 = bh, x2 = mb, x3 = bm, x4 = bb, x5 = mm, x6 = hb, x7 = hh, x8 = mh, x9 = hm, dimana m = merah, b = biru dan h = hitam. Jadi x1 = bh artinya bagian tonkat 1 berwarna biru bagian 2 tongkat berwarna hitam. Juga x6 = hb, artinya bagian tonkat 1 berwarna hitam bagian 2 tongkat berwarna biru. Tetapi secara esensial tongkat yang berwarna x1 dan x6 adalah sama. Begitu juga tongkat yang berwarna x2 = mb dan yang berwarna x3 = bm secara esensial adalah sama. Jadi ada sebanyak enam perwarnaan yang berbeda pada tongkat yaitu: biru-biru, merah-merah, hitam-hitam, biru-merah, biru-hitam dan merah-hitam. Masalah ini bisa dianalisa dengan menggunakan pengertian tindakan grup. Misalkan X = {x1 , x2 , x3, x4 , x5 , x6, x7 , x8 , x9} dan G = hτi adalah subgrup dari S2 dimana τ adalah pencerminan tongkat pada garis yang melewati pusat tongkat. Jadi G = {e, τ}. Dengan demikian bila G bertindak secara wajar pada X, maka X memuat enam orbit yang berbeda yaitu Ox1 = {x1 , x6 } sebab x1 = τ.x6 , Ox2 = {x2 , x3 } sebab x2 = τ.x3 , Ox4 = {x4 } sebab x4 = τ.x4, Ox5 = {x5 } sebab x5 = τ.x5 , Ox7 = {x7 } sebab x7 = τ.x7 dan Ox8 = {x8 , x9 } sebab x8 = τ.x9.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

189

Teorema Burside dan Aplikasi..

Contoh 5.3.2 Tinjau semua cara yang mungkin untuk mewarnai titik sudut persegi dengan dua warna merah, maka banyaknya cara perwarnaan yang mungkin diberikan oleh koefisien binomial 4!/2!(4 − 2)! = 6. Hasil ini bisa dilihat pada Gambar 5.4. Dari semua pewarnaan ini terdapat hanya dua pewarnaan yang berbeda. Pada Gambar 5.4 b

b

b

b b

b

b b

b

b b

b

Gambar 5.4: Pewarnaan Titik Sudut Persegi

terlihat bahwa hasil pewarnaan titik sudut persegi dengan dua warna merah, dikelompokkan pada dua baris. Baris pertama secara esensial menghasilkan pewarnaan benda yang sama. Begitu juga baris kedua secara esensial menghasilkan pewarnaan benda yang sama. Hasil

ini bisa dilakukan menggunakan pengertian tindakan suatu grup. Misalkan G = ρ adalah subgrup dari D4, dimana ρ adalah rotasi pada pusat persegi sebesar 90◦ berlawanan arah dengan arah jarum jam. Jadi G = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 }. Misalkan X adalah himpunan dari hasil pewarnaan yang diberikan oleh Gambar 5.4. Bila G bertindak pada X secara wajar, maka X memuat dua orbit yang berbeda yaitu baris pertama pada Gambar 5.4 dan baris kedua pada Gambar 5.4. Dua hasil pewarnaan pada baris pertama Gambar 5.4 ekivalen pewarnaan yang satu bisa diperoleh dari pewarnaan yang lain dengan melakukan tindakan dari ρ pada masing-masing pewarnaan. Empat hasil pewarnaan pada baris kedua Gambar 5.4 adalah ekivalen satu dengan yang lainnya. Sebab hasil pewarnaan kedua, ketiga dan keempat dapat diperoleh dari tindakan ρ, ρ2 dan ρ3 pada hasil pewarnaan yang pertama pada baris kedua Gambar 5.4.



Masalah-masalah yang dibahas dalam bagian ini, himpunan X memuat hasil disain berbeda dan dua disain A dan B dalam A dikatakan secara esensial sama bila A dan B adalah ekivalen melalui tindakan suatu grup permutasi yang sesuai G pada X. Dengan kata lain A dan B terletak pada satu orbit yang sama. Jadi bila diinginkan untuk menghitung banyaknya disain yang secara esensial berbeda, maka hal ini sama saja menentukan banyaknya orbit pada X. Teorema berikut memberikan suatu cara untuk menentukan banyaknya orbit yang berbeda pada X. Namum sebelumnya diberikan suatu definisi sebagai berikut. Definisi 5.3.1 Misalkan G bertindak pada suatu himpunan tak-kosong X dan a ∈ X, telah dikenalkan notasi Ga yang menyatakan stabilizer dari a dan merupakan subgrup c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

190

Tindakan Grup..

dari G. Juga notasi Oa adalah orbit dari a yang mana merupakan himpunan bagian dari X. Selanjutnya untuk g ∈ G dikenalkan suatu notasi X g = {x ∈ X | g.x = x} yaitu himpunan elemen-elemen di X yang dijadikan tetap oleh g. X



Teorema 5.3.1 (Burnside) Misalkan G adalah suatu grup berhingga bertindak pada suatu himpunan tak-kosong berhingga X. Bila N adalah banyaknya orbit dalam X oleh tindakkan dari G, maka 1 X N= |X g |. |G| g∈G Bukti Definisikan suatu fungsi def

T : G × X → {0, 1} oleh T(g, a) =

(

1, bila g.a = a 0, bila g.a , a.

Ada dua hal penting bagi T, pertama untuk sebarang g tetap di G didapat X |X g | = T(g, a). a∈X

Kedua, untuk sebarang a ∈ X dimana a tetap, didapat X |Ga | = T(g, a). g∈G

Selanjutnya, misalkan a1 , a2 , . . . , aN adalah representasi dari N orbit dari G dalam X. Didapat   X X X   Xg = T(g, a)  g∈G

g∈G

a∈X

  X X    T(g, a) =    a∈X

g∈G

X |G| |Oa | a∈X a∈X   N X X  |G|   =   |Oa |  i=1 a∈Oai   N X  X  |G|   =   i=1 a∈Oa Oai =

X

|Ga | =

i

N X ✚ ✚ |G| = O ✚ ai ✚ O✚ i=1 ✚ ai N X = |G| = N |G|. i=1

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

191

Teorema Burside dan Aplikasi..

Jadi N=

1 X Xg . |G| g∈G

•X

Aplikasi Diberikan ilustrasi bagaimana menerapkan teorema Burnside untuk masalah konting tertentu. Pada semua masalah konting ini, dihitung banyak orbit dari beberapa tindakan grup. Pertama diperlukan himpunan tertentu X dan grup G bertindak pada X, kemudian ditentukan X g untuk semua g ∈ G. Menentukan struktur molekul adalah satu dari berbagai contoh penggunaan teorema Burnside. Struktur Elektronik dari suatu molekul dapat ditentukan melalui struktur geometrinya. Untuk hal ini ditinjau simetri dari suatu molekul karena dapat mengungkapkan tentang sifat-sifatnya yaitu: strukur, spektra, polaritas dan lain sebagainya. Contoh 5.3.3 (Masalah Kalung) Tiga untai manik merah dan biru dirangkai untuk membentuk sebuah kalung, yang dapat diputar dan dibalik. Dengan asumsi bahwa manik-manik dengan warna yang sama bisa dibedakan. Berapa banyak jenis kalung dapat dibuat? Untuk menjawab masalah ini 3 untai manik biru dan merah dilekatkan pada enam titik sudut segi enam beraturan contoh hasil disain perangkain kalung diberikan oleh Gambar 5.5. Banyaknya cara dari pemasangan untai manik kalung ini adalah sebanyak 2 1 b

b

b

b

3 b b b b

4

5

6

b

b b

b b

b

b

b

b b b

b

b b b

b

Gambar 5.5: Penempatan Untai Kalung

6!/3!(6 − 3)! = 20 cara. Jadi Himpunan X terdiri dari 20 disain. Karena kalung dapat diputar dan dibalik, grup G yang bertindak pada X adalah grup dihedral D6 = {ρ0 , ρ, ρ2 , . . . , ρ5 , τ, ρτ, ρ2τ, . . . , ρ5 τ}, dimana ρ = (1 2 3 4 5 6) adalah rotasi sebesar 60◦ berlawanan arah jarum jam dan τ = (2 6)(3 5) adalah pencerminan pada garis melaui titik 1 dan 4. Bila dihitung X g untuk setiap g ∈ G hasilnya diberikan dalam Tabel 5.2. Selanjutnya dengan menggunakan teorema Burnside didapat N = 1/12(20 + 2(2) + 3(4)) = 4. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

192

Tindakan Grup..

Tabel 5.2: Tindakan dari D6 pada X g Xg g ρ0 = identitas 20 τ = (2 6)(3 5) ρ = (1 2 3 4 5 6) 0 ρτ = (1 2)(3 6)(4 5) 2 ρ = (1 3 5)(2 4 6) 2 ρ2 τ = (1 3)(4 6) 3 ρ = (1 4)(2 5)(3 6) 0 ρ3 τ = (1 4)(2 3)(5 6) ρ4 = (1 5 3)(2 6 4) 2 ρ4 τ = (1 5)(2 4) 5 ρ = (1 6 5 4 3 2) 0 ρ5 τ = (1 6)(2 5)(3 4)

X g 4 0 4 0 4 0

Jadi banyaknya hasil disain kalung yang berbeda adalah tiga sebagaimana diberikan oleh Gambar 5.6 b

b b

b b b

b b

b b

b

b b

b b

b b

b

Gambar 5.6: Hasil Untain Manik yang berbeda

Contoh 5.3.4 Menentukan ada berapa banyak senyawa organik yang terjadi dari suatu proses kimia yang mungkin. Dari satu rantai karbon terdiri dari enam atom karbon C dikaitkan dengan satu atom hidrogen H dan satu molekul CH3 . Ada sebanyak 26 = 64 pola senyawa molekul yang mungkin. Beberapa diantaranya membentuk senyawa yang H

H

C 2 H C3 4 C H

C 1 6 C H CH3 5 C H (a)

CH3

CH3

CH3

H

C C 2 1 6 C CH3 CH3 C 3 5 4 C C

C C 2 1 6 C CH3 H C 3 4 5 C C CH3 CH3

C 2 C3 4 C CH3 (b)

H (c)

CH3

H

H

C 1 6C H 5 C CH3 (d)

Gambar 5.7: Pola senyawa rantai karbon C

sama. Sebagai contoh, dalam Gambar 5.7 bagian (c) dan (d) adalah pola molekul yang sama sebab yang satu dapat diperoleh dari yang lainnya melalui putaran berlawanan arah jarum jam sebesar 60◦ . Sedangkan pada bagian (a), (b) dan (c) adalah tiga pola molekul yang berbeda, sebab yang satu tidak bisa didapat dari yang lainnya dengan c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

193

Teorema Burside dan Aplikasi..

Tabel 5.3: Pola rantai karbon C senyawa X g g

g ρ0 = identitas ρ = (1 2 3 4 5 6) ρ2 = (1 3 5)(2 4 6) ρ3 = (1 4)(2 5)(3 6) ρ4 = (1 5 3)(2 6 4) ρ5 = (1 6 5 4 3 2)

64 2 4 8 4 2

τ = (2 6)(3 5) ρτ = (1 2)(3 6)(4 5) ρ2 τ = (1 3)(4 6) ρ3 τ = (1 4)(2 3)(5 6) ρ4 τ = (1 5)(2 4) ρ5 τ = (1 6)(2 5)(3 4)

X g 16 8 16 8 16 8

melakukan putaran atau pencerminan pada sumbu yang ditentukan. Jadi dalam hal ini himpunan X adalah himpunan semua pola senyawa yang terjadi dengan |X| = 64 , sedangkan grup G adalah grup dihedral D6 = {ρ0 , ρ, ρ2 , . . . , ρ5 , τ, ρτ, ρ2τ, . . . , ρ5 τ}, dimana ρ = (1 2 3 4 5 6) adalah rotasi sebesar 60◦ berlawanan arah jarum jam dan τ = (2 6)(3 5) adalah pencerminan pada garis diagonal tetap melaui titik 1 dan 4, juga ρ2 τ, ρ4 τ adalah pencerminan pada garis diagonal tetap masing-masing melalui titik 2 dan 5; dan 3 dan 6. Sedangkan ρτ, ρ3 τ dan ρ5 τ adalah pencerminan pada garis bisektor masing-masing sisi segi-6 beraturan. Bila dihitung X g untuk setiap g ∈ G hasilnya diberikan dalam Tabel 5.3. Selanjutnya dengan menggunakan teorema Burnside didapat N = 1/12(64 + 2 + 4 + 8 + 4 + 2 + 16 + 8 + 16 + 8 + 16 + 8) = 156/12 = 13. Jadi banyaknya pola senyawa yang berbeda adalah 13.



Contoh 5.3.5 (Masalah Dadu) Suatu kubus diletakan pada suatu meja.

Misalkan

b b b b

b

b

Gambar 5.8: Permukaan Dadu

masing-masing enam sisi permukaan kubus dinamakan sisi bawah, atas, depan, belakang, kiri dan kanan. Selanjutnya dihitung banyaknya cara yang berbeda untuk c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

194

Tindakan Grup..

menandai enam permukaan kubus dengan titik merah untuk memperoleh suatu dadu (lihat Gambar 5.8). Untuk sisi atas kubus dapat ditandai sebarang titik merah sebanyak satu sampai enam titik yang mungkin. Untuk sisi bawah dapat ditandai titik merah dari sisanya sebanyak lima yang mungkin, penandaan ini dilakukan pada semua enam sisi kubus. Dengan demikian ada sebanyak 6! = 720 cara penandaan kubus yang mungkin. Dalam hal ini X adalah himpunan penandaan kubus dengan |X| = 720. Untuk menentukan grup G bertindak pada X dalam contoh ini, ditinjau semua cara yang mungkin suatu kubus diletakkan pada suatu meja. Sebarang satu sisi kubus dari enam sisi yang ada dapat diletakkan pada sisi bawah dan kubus dapat diputar sehingga sebarang permukaan yang tegak dapat ditempatkan pada sisi depan. Dalam hal ini ada empat cara yang mungkin, tetapi banyaknya sisi kubus adalah enam. Jadi |G| = 4(6) = 24. Bila g ∈ G dan g , e, maka X g = 0 sebab tidak ada dua sisi kubus yang bertanda sama. Jadi banyaknya dadu secara esensi berbeda adalah N = 1/24 (720) = 30.



Contoh 5.3.6 Misalkan akan diwarnai rusuk tetrahedron teratur. Rusuk tetrahedron diwarnai merah atau biru. Ada sebanyak 6 rusuk, dengan demikian bila himpunan X adalah semua cara pewarnaan rusuk yang mungkin, maka |X| = 26 = 64. Sebarang satu sisi tetrahedron dari empat sisi yang ada dapat diletakkan di bagian bawah sedangkan sebarang satu dari tiga sisi sisanya dapat diletakan di bagian belakang dengan melakukan rotasi tetrahedron (lihat Gambar 5.9). Maka dari itu grup G mempunyai 1

2

4 3

Gambar 5.9: Pewarnaan Rusuk Tetrahedron

sebanyak 4(3) = 12 elemen. Sebelum menghitung X g untuk masing-masing g ∈ G, maka ditentukan dulu 12 elemen dari G. Elemen-elemen dari G adalah ρ0 merupakan elemen identitas, tiga elemen berorder 2 yaitu ρ1 = (1 2)(3 4),

ρ2 = (1 3)(2 4),

ρ3 = (1 4)(2 3)

dan 8 elemen beroder 3, yaitu τ1 = (1 3 4), τ3 = (1 2 4), τ−1 = (2 4 3), 1 −1 τ3 = (1 4 2), c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

τ2 = (4)1 3 τ4 = (1 2 3) τ−1 2 = (1 4 3), −1 τ4 = (1 3 2).

195

Teorema Burside dan Aplikasi..

Faktanya, grup G isomorpik dengan grup alternating A4 . Selanjutnya ditentukan X g untuk masing-masing g ∈ G. Tinjau rotasi τ1 = (2 3 4) dan misalkan suatu pewarnaan khusus di Xτ1 . Maka rusuk yang melalui 2-3, 3-4 dan 4-2 semuanya harus berwarna 2 sama dan begitu juga rusuk yang melalui 1-2, 1-3 dan 1-4. Jadi Xτ1 = 2 = 4. Perlakuan yang sama dapat dilakukan untuk sebarang 8 rotasi berorder 3. Berikutnya tinjau rotasi ρ1 = (1 2)(3 4). Karena rusuk 1-2 dan 3-4 tetap didapat 22 = 4 pilihan pewarnaan. Untuk empat rusuk sisanya yaitu 1-3 dan 1-4 berubah, maka harus mempunyai warna yang sama. Hal yang sama untuk rusuk 2-3 dan 2-4. Jadi Xρ1 = 22 2 2 = 16. Lagi dengan argumen yang sama untuk sebarang 3 rotasi berorder 2. Tentunya berlaku untuk identitas ρ0 didapat Xρ0 = 64. Dengan demikian didapat



N = 1/12(64 + 3(16) + 8(4)) = 12.

Contoh 5.3.7 Molekul methane CH4 terdiri dari sauatu atom Carbon pada pusat suatu tetrahedron reguler yang masing-masing titik sudutnya melekat empat atom Hidrogen (lihat Gambar 5.10). Bila pada empat titik sudut tetrahedron dilekatkan H, CH3, Cl atau C2 H5 , maka banyaknya konfigurasi senyawa kimia yang mungkin terjadi sebanyak 44 = 256 molekul. Jadi himpunan X adalah himpunan semua senyawa kimia yang mungkin terjadi dari dari tetrahedron dengan lengan atom C yang keempat lengannya dapat mengikat H, CH3, Cl atau C2 H5 dimana |X| = 256. Selanjutnya untuk menentukan grup H b

b

C H

b

b

H

b

H Gambar 5.10: Molekul Methane CH4

tetrahedron G yang bertindak pada X, diperlukan elemen-elemen dari grup G. Untuk mempermudah bagimana memperoleh elemen-elemen dari G diberikan Gambar 5.11 sehingga didapat elemen-elemen dari G sebagai berikut: (a) Satu elemen identitas ρ0 = (). (b) Delapan rotasi 120◦ dan 240◦ berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu yang melalui titik sudut dan titik pusat permukaan (lihat Gambar 5.11 bagian (a)). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

196

Tindakan Grup..

1

1

1

b

2 3 (a)

4 2

4 3

4 2

(b)

3 (c)

Gambar 5.11: Rotasi dan Refleksi Tetrahedron

Karena ada empat titik sudut, maka banyaknya rotasi 120◦ adalah 4, salah satu rotasi ini adalah (1 2 3), Dengan cara yang sama ada sebanyak 4 rotasi 240◦ ,salah satu rotasi ini adalah (1 3 2). (c) Tiga rotasi 180◦ terhadap sumbu yang melalui titik tengah rusuk yang saling berhdapan (lihat Gambar 5.11 bagian (b)). Salah satu contoh rotasi ini adalah (2 3)(1 4). Karena ada 3 pasang rusuk yang berhadapan, maka banyaknya rotasi ini adalah tiga. (d) Enam refleksi pada bidang tegak lurus sisi (lihat Gambar 5.11 bagian (c)). Salah satu contoh refleksi ini adalah (2 3). (e) Enam kombinasi rotasi dan refleksi, salah satu contohnya adalah (1 2 3 4). Faktanya Grup G isomorpik dengan grup simetri S4 . Dengan demikian didapat banyaknya senyawa yang berbeda adalah N = 1/24(44 + 6(43 ) + 11(42 ) + 6(4)) = 1/24(840) = 35.



Contoh 5.3.8 Berapa banyaknya cara essensial berbeda yang dapat terjadi dari pewarnaan 8 titik sudut suatu kubus denganontoh n warna? Dalam hal ini himpunan X adalah memenuhi |X| = n8 . Sebagaimana telah dibahas dalam Contoh 5.2.7 bahwa |G| = 24. Selanjutnya untuk masing-masing g ∈ G ditentukan X g . Sebagaimana dalam Contoh 5.1.9, bila g ∈ G adalah suatu rotasi ρ sebesar 90◦ atau 270◦ pada sumbu melalui pusat dua sisi yang berlawanan, misalnya (1 2 3 4)(5 6 7 8), maka disain dalam Xρ semua titik 1,2,3,4 harus berwarna sama begitu juga untuk titik 5,6,7,8. Jadi banyaknya disain yang mungkin dalam Xρ adalah n2 . Bila g ∈ G adalah suatu rotasi σ sebesar 180◦ pada sumbu yang serupa, misalnya (1 3)(2 4)(5 7)(6 8), maka pasangan titik 1,3 dan 2,4 harus berwarna sama begitu juga untuk pasangan titik 5,7 dan 6,8. Maka banyaknya disain dalam Xσ yang mungkin adalah n4 . Bila g ∈ G adalah rotasi τ sebesar 180◦ pada suatu c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

197

Teorema Burside dan Aplikasi..

sumbu yang melalui titi tengah dua rusuk yang berlawanan misalnya (1 5)(2 8)(3 7)(4 6), maka dengan argumen yang sama didapat sebanyak n4 yang mungkin untuk disain dalam Xτ . Bila g ∈ G adalah rotasi φ sebesar 120◦ atau 240◦ pada suatu sumbu yang melalui dua titi sudut yang berlawanan, misalnya (2 4 5)(3 8 6), maka titik 2,4 dan 5 harus diberi warna yang sama begitu juga untuk titik 3,8 dan 6. Sedangkan titik tetap 1 dan 7 bisa diwarnai dengan pilihan yang sebarang. Untuk hal ini banyaknya disain dalam Xφ yang mungkin adalah n4 . Semua hasil penghitungan yang dilakukan diringkas dalam Tabel 5.4 Tabel 5.4: Rotasi Kubus dengan n pewarnaan Macam Rotasi

e

ρ

σ

τ

φ

Banyaknya Rotasi

1

6

3

6

8

X g

n8

n2

n4

n4

n4

Dengan demikian banyaknya pewarnaan yang berbeda adalah N = 1/24(n8 + 17n4 + 6n2 ).



Latihan Latihan 5.3.1 Dapatkan banyaknya cara yang berbeda untuk soal berikut. 1. Dari suatu permukaan sisi regular tetrahedron dibuat dadu dengan menandai satu, dua, tiga atau empat titik pada sisi permukaannya. Masing-masing penandaan titik hanya tepat terlihat satu kali. 2. Pewarnaan pada empat sisi suatu persegi bila diwarnai dengan enam warna dan satu warna hanya boleh digunakan sekali. 3. Pwewarnaan dua sisi permukaan suatu tetrahedron reguler dengan warna merah dan dua sisi permukaan yang diwarnai hijau. 4. Pewarnaan dua sisi permukaan kubus dengan warna merah, dua sisi permukaan yang diwarnai biru dan sisa dua sisi permukaan diwarnai hijau. 5. Pewarnaan enam permukaan sisi suatu kubus dengan enam warna berbeda bila tujuh warna digunakan. Aturannya adalah satu warna hanya boleh digunakan satu kali. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

198

Tindakan Grup..

6. Perangkaian manik-manik pada suatu kalung tiga diberi warna kuning dan enam merah dengan asumsi kalung dapat dibalik serta diputar. Manik-manik dengan warna yang sama tidak dapat dibedakan. 7. Perangkaian manik-manik pada suatu kalung satu diberi warna kuning, dua merah dan tiga biru dengan asumsi kalung dapat dibalik serta diputar. Manikmanik dengan warna yang sama tidak dapat dibedakan. X



Latihan 5.3.2 Misalkan X adalah suatu himpunan dengan empat elemen. Dapatkan banyaknya relasi ekivalen pada X yang tidak ekivalen terhadap sebarang permutasi X dalam S4 .



5.4 Klas Konjugasi dan Persamaan Klas Dalam bagian ini dibahas satu tindakan grup khusus yaitu tindakan grup G pada dirinya sendiri melalui konjugasi atau dengan kata lain tindakan G × G → G melalui (g, a) = gag−1 . Dalam bagian sebelumnya telah dibahas formula konting Burnside yang berkaitan dengan orbit dalam suatu himpunan berhingga X yang dikenakan tindakan oleh grup berhingga G dan digunakan formula ini pada berbagai masalah. Dalam bagian ini dibahas formula konting lain yang penting berkenaan dengan orbit dalam tindakan suatu grup pada dirinya sendiri. Formula ini sangat penting dalam memahami struktur dari suatu grup berhingga dan digunakan formula ini untuk mengkaji grup dengan order pangkat dari suatu bilangan prima p.

Konjugasi Contoh 5.4.1 Diberikan grup G = S3 = {ρ0 , ρ, ρ2 , µ1 , µ2, µ3 } bertindak pada dirinya sendiri melalui konjugasi yaitu tindkan G × G → G didefinisikan oleh (g, a) → gag−1 (lihat Contoh 5.1.5). Melalui tindakan ini, orbit tindakan adalah Oρ0 = {ρ0 }

Oρ = Oρ2 = {ρ, ρ2 } Oµ1 = Oµ2 = Oµ3 = {µ1 , µ2, µ3 }. Stabiliser terkait adalah Gρ0 = G,

Gρ = Gρ2 = {ρ0 , ρ, ρ2 }

dan Gµi = {ρ0 , µi }, untuk i = 1, 2, 3.

Perlu diperhatikan bahwa (1) |G| = 6 = Oρ0 + Oρ + Oµ1 .

(2) |G| = 6 = |Oa | |Ga | untuk semua a ∈ G.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

199

Klas Konjugasi dan Persamaan Klas..

Hasil yang diperoleh bukan suatu kejutan sebab sudah dibuktikan dalam Proposisi 5.2.2 dan Teorema 5.2.1.



Berikut ini didefinisikan istilah yang digunakan. Definisi 5.4.1 Bila G adalah suatu grup dan a, b ∈ G, maka a dan b berkonjuget dalam G bila ada suatu g ∈ G yang memenuhi b = gag−1 atau dengan kata lain bila a dan b adalah dalam orbit yang sama oleh tindakan G pada dirinya sendiri melalui konjugasi. Klas konjugasi dari suatu a ∈ G yaitu KG (a) = {gag−1 | g ∈ G} adalah himpunan semua konjuget dari a atau dengan kata lain orbit dari a dalam tindakan tersebut. Ingat bahwa, sentralisir dari a ∈ G n o CG (a) = {g ∈ G | ga = ag} = g ∈ G | gag−1a adalah himpunan dari semua elemen yang komutatif dengan a atau secara ekivalen stabiliser dari a dalam tindakan tersebut. Bila konteks grup G jelas yang dimaksud, X maka indeks dihapus dan hanya ditulis K(a) dan C(a).



Proposisi 5.4.1 Misalkan G adalah suatu grupbertindak pada dirinya sendiri melalui konjugasi dan a ∈ G. Maka banyaknya klas konjugasi dari a sama dengan indeks dari sentralisir dari a yaitu |K(a)| = [G : C(a)]. Bila G berhingga maka |K(a)| = |G|/|C(a)|. Bukti Pernyataan dalam proposisi adalah berkaitan dengan Teorema 5.2.1 yang istilihistilahnya diberikan dalam definisi sebelumnya. X



Berikut ini diberikan teorema utama dalam bagian ini.

Teorema 5.4.1 (Persamaan Klas) Diberikan grup berhingga G, Z(G) adalah senter dari G dan misalkan a1 , a2 , . . . , ar adalah elemen-elemen tidakdi Z(G) membentuk suatu himpunan dari representasidari klas konjugasi yang tak-termuat di Z(G). Hal berarti bahwa tidak ada dua dari ai berkonjuget satu dengan yang lainnya, tetapi setiap elemen tidak di senter dari satu diantara keduanya. Maka r X |G| = |Z(G)| + [G : C(ai )] . i=1

Bukti Bila b1 , b2 , . . . , bs adalah elemen-elemen di Z(G), karena masing-masing b j berkonjuget dengan dirinya sendiri, maka b j dan ai bersama-sama adalah suatu himpunan lengkap dari representasi semua klas konjugasi. Berdasarkan Teorema 5.2.2 didapat s r X X |G| = [G : C(bi )] + [G : C(ai )] , i=1

i=1

h i   dimana untuk menyesuaikan dengan Proposisi 5.4.1 G : G g diganti dengan G : C(g) . Tetapi untuk masing-masing bi dalam senter, C(bi ) adalah G sendiri. Jadi [G : C(bi )] = 1, dengan didapat persamaan klas r X |G| = |Z(G)| + X [G : C(ai )] . i=1



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

200

Tindakan Grup..

Contoh 5.4.2 Diberikan grup dihedral D4 . Untuk menentukan klas konjugasi dilakukan hal berikut: τρτ−1 = (τρ)τ = (ρ3 τ)τ = ρ3 τ2 = ρ3 ρτρ−1 = ρ(τρ3 ) = ρ(ρτ) = ρ2 τ ρ(ρτ)ρ−1 = ρ(ρτ)ρ3 = ρ2 (τρ3 ) = ρ2 (ρτ) = ρ3 τ. Dari fakta penghitungan yang dilakukan didapat Tabel 5.5. Tabel 5.5: Klas Konjugasi dalam D4 Sentralisir Z(D4 ) = {ρ0 , ρ2 } C(ρ) = C(ρ3 ) = {ρ0 , ρ, ρ2 , ρ3 } C(τ) = C(ρ2 τ) = {ρ0 , τ, ρ2, ρ2 τ} C(ρτ) = C(ρ3 τ) = {ρ0 , ρτ, ρ2, ρ3 τ}

Klas Konjugasi K(e) = {e}, K(ρ2 ) = {ρ2 } K(ρ) = {ρ, ρ3 } K(τ) = {τ, ρ2 τ} K(ρτ) = {ρτ, ρ3 τ}

Dalam hal ini persamaan klas adalah 8 = 2 + 2 + 2 + 2.

Indeks [G : C(ρ)] = 2 [G : C(τ)] = 2 [G : C(ρτ)] = 2



Contoh 5.4.3 Diberikan grup kuoternion Q8 = {±1, ±ii, ±jj, ±kk}. Sebarang elemen dari sebarang grup komutatif dengan elemen pangkat-pangkatnya, jadi sentralisir C(ii) memuat i , i 2 = −1, i 3 = −ii dan i 4 = 1. Karena C(ii) adalah suatu subgrup dari Q8 , maka |C(ii)| membagi |Q8|. Karena i j = k , −kk = ji ji, maka C(ii ) = {1, i , −1, −ii}. Jadi indeks [Q8 : C(ii )] = 2. Elemen dari klas konjugasi adalah i sendiri dan ji jijj−1 = −ii. Mengikuti alur yang sama untuk j dan k didapat klas konjugasi {±jj} dan {±kk} dengan demikian Z(Q8 ) = {±1}. Jadi persamaan klasnya adalah 8 = 2 + 2 + 2 + 2.



Berikut ini diberikan akibat penting dari persamaan klas. Teorema 5.4.2 Bila G adalah suatu grup berorder pn , dimana p adalah prima dan n ≥ 1, maka senter dari G adalah tak-trivial, yaitu |Z(G)| > 1 dan |Z(G)| = pk untuk beberapa k dimana 1 ≤ k ≤ n. Bukti Persamaan klas adalah |G| = |Z(G) +

r X

[G : C(ai )],

i=1

dimana a1 , a2 , . . . , ar adalah merepresentasikan secara lengkap himpunan klas konjugasi yang tidak termuat dalam Z(G). Karena C(ai ) , G, maka indeks [G : C(ai )] , 1, jadi p membagi [G : C(ai )]. Juga, karena p membagi |G|, maka p membagi |Z(G)|. Dengan demikian |Z(G)| , 1. Selanjunya, karena senter dari G, yaitu Z(G) adalah suatu subgrup dari G, maka |Z(G)| membagi |G| = pn . Dengan demikian |Z(G)| = pk untuk beberapa k X dimana 1 ≤ k ≤ n.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

201

Klas Konjugasi dan Persamaan Klas..

Kesimpulan 5.4.1 Bila G adalah suatu grup berorder p2 dimana p adalah prima maka G adalah grup komutatif dan G isomorpik dengan Zp2 atau isomorpik dengan Zp × Zp . Bukti Andaikan bahwa G bukan grup komutatif, maka Z(G) , G. Gunakan Teorema 5.4.2, maka |Z(G)| > 1. Tetapi Z(G) < G dan dengan menggunakan teorema Lagrange haruslah |Z(G)| = p. Selanjutnya, misalkan a ∈ tetapi a < Z(G). Maka a ∈ C(a) dan Z(G) < C(a). Lagi dengan menggunakan teorema Langrange didapat |C(a)| = p2 = |G|. Akibatnya a ∈ Z(G), tetapi hal ini bertentangan dengan kenyataan a < Z(G). Jadi haruslah G adalah grup komutatif. Selanjutnya bila G siklik, maka G  Zp2 dan bila G tidak siklik, maka G  Zp × Zp . X



Pengertian dari konjugasi juga dapat didefinisikan untuk subgrup dan elemen dari suatu grup. Geeneralisasi ini berguna pada pembahsan berikutnya. Faktanya, pengertian yang dibahas ini dapat didefinisikan untuk sebarang himpunan bagian dari suatu grup yang tidak perlu merupakan subgrup.

Definisi 5.4.2 Misalkan G adalah suatu grup dan X adalah himpunan semua subgrup dari G. Tinjau pemetaan G × X → X yang memetakan (g, A) menjadi himpunan gAg−1 = {gag−1 | a ∈ A}. pemetaan ini adalah suatu tindakan dinamakan konjugasi. Dua subgrup A, B ⊆ G dikatakan berkonjuget dalam G bila ada suatu g ∈ G yang memenuhi B = gAg−1 atau dengan kata lain bila A dan B adalah dalam orbit yang sama oleh tindakan dari G pada himpunan dari subgrup-subgrupnya melalui konjugasi. Klas konjugasi dari A di G adalah himpunan semua konjuget dari A yaitu KG (A) = {gAg−1 | g ∈ G}

atau dengan kata lain adalah orbit dari A dalam tindakan tersebut. Ingat bahwa sentralisir dari himpunan A di G adalah himpunan dari semua elemen yang komutatif dengan semua elemen A, yaitu CG (A) = {g ∈ G | ga = ag untuk semua a ∈ A} = {g ∈ G | gag−1 untuk semua a ∈ A}.

Normalisir adalah himpunan

NG (A) = {g ∈ G | gA = Ag} = {g ∈ G | gAg−1 = A}

merupakan stabiliser dari A dalam tindakan tersebut. Bila konteks yang dimaksud dengan grup G adalah sudah jelas, penulisan indeks G dihapus dan cukup ditulis X K(A), C(A) dan N(A).



Proposisi 5.4.2 Misalkan grup G bertindak pada himpunan semua subgrup dari G melalui konjugasi dan A < G. Maka banyaknya klas konjugasi dari A sama dengan indeks dari normalisir A, yaitu |K(A)| = [G : N(A)]. Bila |G| berhingga, maka |K(A)| = |G|/|N(A)|. Bukti Apa yang dinyatakan dalam proposisi ini adalah pernyataan dalam Teorema 5.2.1 dalam terminilogi Definisi 5.4.2. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

202

Tindakan Grup..

Latihan Latihan 5.4.1 Uraikan klas konjugasi dan tuliskan persamaan klas dari suatu grup komutatif. X



Latihan 5.4.2 Diberikan dua grup G1 dan G2 . Tunjukkan bahwa dalam G1 × G2 elemen (a, b) dan (c, d) berkonjuget bila dan hanya bila a dan c berkonjuget di G1 , b dan d berkonjuget di G2 . X



Latihan 5.4.3 Uraikan klas konjugasi dan tulis persamaan klas dari grup berikut: 1. Z2 × S3 4. S3 × S3

2. Z2 × D4 5. A4

3. Z3 × S3 6. Z3 × A4 .

•X

Latihan 5.4.4 Diberikan sebarang grup G. Tunjukkan bahwa untuk sebarang a, b ∈ G, bila a dan b berkonjuget, maka a dan b mempunyai order yang sama. X



Latihan 5.4.5 Diberikan grup G dan P(G) adalah himpunan semua subgrup dari G. Didefinisikan suatu pemetaan φ : G × P(G) → P(G) oleh φ(g, A) = gAg−1 , dimana gAg−1 = {gag−1 | a ∈ A}. (a). Tunjukkan bahwa φ adalah suatu tindakan grup. (b). Tunjukkan bahwa sentralisir C(A) = {g ∈ G | gag−1 = a untuk semua a ∈ A} adalah suatu subgrup dari G. (c). Tunjukkan bahwa normalisir N(A) = {g ∈ G | gAG−1 = A} adalah subgrup dari G.

•X

Latihan 5.4.6 Misalkan grup G bertindak pada himpunan dari semua subgrup G melalui konjugasi. Tunjukkan bahwa untuk sebarang S ⊂ G dan g ∈ G didapat gN(S)g−1 = N(gSg−1 ). X



Latihan 5.4.7 Misalkan grup G bertindak pada himpunan dari semua subgrup G melalui konjugasi. Tunjukkan bahwa untuk sebarang S ⊂ G dan g ∈ G didapat gC(S)g−1 = X C(gSg−1 ).



Latihan 5.4.8 Misalkan grup G bertindak pada dirinya sendiri melalui konjugasi. Tunjukkan bahwa bila a dan b berkonjuget dalam G, maka |C(a)| = |C(b)|. X



Latihan 5.4.9 Misalkan grup G bertindak pada dirinya sendiri melalui konjugasi. Tunjukkan bahwa bila a dan b berkonjuget dalam G, maka C(a) = C(b) bila dan hanya bila X masing-masing C(a) dan C(b) adalah subgrup normal dari G.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

203

Konjugasi dalam Sn dan Simplisitas dari A5 ..

Latihan 5.4.10 Terangkan mengapa dalam Contoh 5.4.2 dua elemen a, b ∈ D4 terletak pada orbit yang sama bila dan hanya bila C(a) = C(b). X



Latihan 5.4.11 Misalkan indeks dari senter Z(G), [G : Z(G)] = r. Tunjukkan bahwa untuk sebarang g ∈ G banyaknya elemen dari klas konjugasi K(g) adalah lebih kecil atau sama dengan r. X



Latihan 5.4.12 Terangkan mengapa untuk sebarang grup berhingga G dan sebarang X elemen g ∈ G, maka |K(g)| membagi |G|.



Latihan 5.4.13 Terangkan mengapa untuk sebarang elemen g ∈ G, senter Z(G) dari grup G termuat dalam sentralisir C(g) dari elemen g. X



Latihan 5.4.14 Terangkan mengapa untuk sebarang elemen g ∈ G, senter Z(G) dari grup G dan sentralisir C(g) dari elemen g adalah sama bila dan hanya bila g ∈ Z(g). X



Latihan 5.4.15 Tunjukkan bahwa untuk sebarang grup tak-komutatif G, indeks dari senter Z(g) yaitu [G : Z(g)] tidak akan sama dengan suatu bilangan prima p. X



Latihan 5.4.16 Melalui definisi a, b ∈ G berkonjuget bila ada suatu elemen g ∈ G yang memenuhi b = gag−1 . Berikan suatu contoh untuk menunjukkan bahwa elemen g ini tidak perlu tunggal. Dengan kata lain, ada h ∈ G dengan h , g yang juga memenuhi b = hah−1 . X



Latihan 5.4.17 Dalam situasi Latihan 5.4.16, tunjukkan bahwa banyaknya elemen h yang memenuhi b = hah−1 sama dengan |C(a)|. X



Latihan 5.4.18 Tunjukkan bahwa untuk sebarang elemen g ∈ G dengan g bukan elemen netral e, maka |C(g)| ≥ 2. X



5.5 Konjugasi dalam Sn dan Simplisitas dari A5 Pada bagian ini dibahas klas konjugasi dari grup simetri Sn dan digunakan hasil-hasilnya untuk membuktikan bahwa A5 tidak mempunyai subgrup normal sejati tak-trivial. Dua contoh pertama diberikan untuk mengilustrasikan teorema utama pada bagian ini. Definisi 5.5.1 Diberikan sebarang σ ∈ Sn , σ dapat ditulis sebagai produk dari sikel yang saling asing dimana sikel ditulis dengan urutan dari yang panjangnya pendek keurutan yang lebih panjang. Lagipula, urutan panjang sikel n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ ns ditentukan secara tunggal dan memenuhi n = n1 + n2 + · · · + ns . Dalam hal ini n1 , n2 , . . . , ns dinamakan tipe X sikel dari σ.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

204

Tindakan Grup..

Contoh 5.5.1 Dalam grup simetri S9 , diberikan suatu tipe sikel 2, 3, 4 yaitu σ = (6 9)(1 4 5)(3 2 7 8). Misalkan elemen konjuge τστ−1 dari σ dimana τ = (1 7 2 6)(9 3 5 4 8). Tinjau permutasi φ yang mempunyai tipe sikel yang sama dengan tipe sikel dari σ yaitu 2, 3, 4. Dalam hal ini permutasi φ diperoleh dengan mengganti masing-masing i dalam dekomposisi dari sikel σ oleh τ(i) yaitu φ = (τ(6) τ(9)) (τ(1) τ(4) τ(5)) (τ(3) τ(2) τ(7) τ(8)) = (1 3)(7 8 4)(5 6 2 9). Dengan mudah dapat dilakukan penghitungan berikut τστ−1 (1) = τσ(6) = τ(9) = 3 = φ(1) τστ−1 (3) = τσ(9) = τ(6) = 1 = φ(3) τστ−1 (7) = τσ(1) = τ(4) = 8 = φ(7) τστ−1 (8) = τσ(4) = τ(5) = 4 = φ(8) τστ−1 (4) = τσ(5) = τ(1) = 7 = φ(4) τστ−1 (5) = τσ(3) = τ(2) = 6 = φ(5) τστ−1 (6) = τσ(2) = τ(7) = 2 = φ(6) τστ−1 (2) = τσ(7) = τ(8) = 9 = φ(2) τστ−1 (9) = τσ(8) = τ(3) = 5 = φ(9). Terihat bahwa τστ−1 konjuget dari σ mempunyai tipe sikel yang sama dengan tipe sikel dari σ.



Contoh 5.5.2 Dalam S6 diberikan dua sikel dengan tipe sikelyang sama yaitu σ = (2)(3 6)(4 1 5) dan ρ = (4)(1 5)(6 3 2). Selanjutnya dibuat permutasi τ yang memetakan masing-masing i yang ada dalam dekomposisi σ ke j yang ada dalam dekomposisi dari ρ, yaitu τ = (2 4 6 5)(3 1). Tinjau permutasi τστ−1 konjugasi dari σ, didapat τστ−1 (1) = τσ(3) = τ(6) = 5 = ρ(1) τστ−1 (2) = τσ(5) = τ(4) = 6 = ρ(2) τστ−1 (3) = τσ(1) = τ(5) = 2 = ρ(3) τστ−1 (4) = τσ(2) = τ(2) = 4 = ρ(4) τστ−1 (5) = τσ(6) = τ(3) = 1 = ρ(5) τστ−1 (6) = τσ(4) = τ(1) = 3 = ρ(6). Terlihat bahwa tipe sikel dari permutasi σ sama dengan tipe sikel permutasi konjuget dari σ.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Konjugasi dalam Sn dan Simplisitas dari A5 ..

205

Teorema 5.5.1 Dua permutasi σ dan ρ dalam Sn berkonjuget bila dan hanya bila σ dan ρ mempunyai tipe sikel yang sama. Bukti (⇒) Misalkan σ dan ρ berkonjuget, maka pilih τ yang memenuhi ρ = τστ−1 . Misalkan tipe sikel dari σ adalah: (x1 · · · xp )(y1 · · · yq )(z1 · · · zr ) · · · Tinjau permutasi φ yang mempunyai tipe sikel sama dengan tpesikel dari σ, yaitu φ = (τ(x1 ) · · · τ(xp )) (τ(y1 ) · · · τ(yq )) (τ(z1 ) · · · τ(zr )) · · · Didapat ρ(τ(xi )) = τστ−1 (τ(xi ) = τσ(xi ) = τ(xi+1 ) = φ(τ(xi )). Dengan cara yang serupa didapat ρ(τ(y j )) = φ(τ(y j )) dan ρ(τ(zk )) = φ(τ(zk )). Terlihat bahwa ρ = φ. Jadi ρ mempunyai tipe sikel yang sama dengan tipe sikel dari σ. (⇐) Misalkan diberikan dua permutasi dengan tipe sikel yang sama yaitu: σ = (x1 · · · xp )(y1 · · · yq )(z1 · · · zq ) · · · dan ρ = (u1 · · · up )(v1 · · · vq )(w1 · · · wq ) · · · Didefinisikan suatu permutasi τ oleh τ(xi ) = ui , τ(y j ) = v j , τ(zk ) = wk , dan seterusnya. Misalkan φ = τστ−1 adalah konjuget dari σ. Didapat φ(ui ) = τστ−1 (ui ) = τσ(xi ) = τ(xi+1 ) = ui+1 = ρ(ui ) Dengan cara yang sama didapat φ(v j ) = ρ(v j ), φ(wk ) = ρ(wk ) dan seterusnya. Terlihat bahwa φ = ρ. Jadi ρ mempunyai tipe sikel yang sama dengan tipe sikel dari σ. X



Definisi 5.5.2 Suatu partisi dari suatu bilangan bulat positip n adalah sebarang barisan bilangan positip tak-naik n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ ns yang memenuhi penjumlahan n1 + n2 + · · · + X ns = n.



Kesimpulan 5.5.1 Banyaknya dari klas konjugasi dalam Sn sama dengan banyaknya partisi dari n. Bukti Dari pembahasan Teorema 5.5.1, tipe sikel dari sebarang permutasi adalah suatu partisi dan untuk sebarang partisi n1 ≤ n2 ≤ · · · ≤ ns ada suatu permutasi dengan tipe sikel yang demikian. Misalnya, (1 2 · · · n1 )(n1 + 1 n1 + 2 · · · n1 + n2 ) · · · (m + 1 m + 2 · · · n), dimana m = n1 +n2 +· · ·+ns−1 . Dengan demikian m+ns = n atau n1 +n2 +· · ·+ns−1 +ns = n. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

206

Tindakan Grup..

Bukti dalam Teorema 5.5.1 menunjukkan bahwa diberikan dua permutasi σ dan ρ yang mempunyai tipe sikel yang sama, selanjutnya dikonstruksi permutasi τ yang memenuhi ρ = τστ−1 . Contoh berikut mengilustrasikan bahwa τ tidak tunggal. Contoh 5.5.3 Dalam S9 , diberikan dua permuatsi dengan tipesikel yang sama, yaitu σ = (9)(4)(1 3)(5 8)(2 6 7) dan ρ = (3)(8)(2 5)(9 7)(1 4 6). Dengan menggunakan pengkonstruksian yang sama dilakukan dalam Teorema 5.5.1, didapat ρ = τστ−1 dimana τ = (9 3 5)(4 8 7 6)(1 2). Tetapi, dengan cara yang sama dapat ditulis dua permutasi dalam urutan yang berbeda, yaitu σ = (4)(9)(5 8)(1 3)(2 6 7) dan ρ = sama seperti sebelumnya. Lagi, menggunakan pengkonstruksian yang sama dilakukan dalam Teorema 5.5.1 didapat θ = (4 3 7 6)(9 8 5 2 1) yang memenuhi ρ = θσθ−1 .



Tabel 5.6: Klas-klas Konjugasi dalam S4 Partisi dari 4 1, 1, 1, 1 1, 1, 2 1, 3 2, 2 4

Representasi Klas Konjugasi (1) (1 2) (1 2 3) (1 2)(3 4) (1 2 3 4)

Banyaknya Konjuget 1 6 8 3 6

Contoh 5.5.4 Contoh berikut ini adalah menentukan suatu himpunan lengkap yang merupakan representasi dari semua klas konjugasi dari Sn , misalnya untuk n = 4. Menurut Teorema 5.5.1 dan Kesimpulan 5.5.1 hanya diperlukan semua partisi yang mungkin dari 4. Hal ini ditampilkan dalam Tabel 5.6 yang juga dihitung banyaknya permutasi dalam masing-masing klas.



Contoh berikut mengilustrasikan bagaimana pemahaman tentang klas konjugasi dapat menentukan segi keutamaan yang lain. Contoh 5.5.5 Misalkan σ = (1 2 3) ∈ S4 . Akan ditentukan sentralisir C(σ) dalam S4 . Sentralisisr C(σ) harus memuat e, σ, σ2. Pada satu sisi yang lain, melalui contoh sebelumnya, sebarang sikel (x y z) adalah berkonjuget dengan (1 2 3) dalam S4 dan ada 8 sikel semacam ini. Tetapi dengan menggunakan hubungan stabiliser orbit, didapat bahwa banyaknya elemen dalam klas konjugasi dari σ adalah indeks [S4 : C(σ)]. Jadi |S4 |/|C(σ)| = 8. Karena |S4 | = 24, maka |C(σ)| = 3. Dengan demikian sentralisir C(σ) = {e, σ, σ2}.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

207

Teorema Sylow..

Contoh berikut mengilustrasikan fakta bahwa elemen a dan b berkonjuget dalam suatu grup G dan berada pada suatu subgrup H ⊆ G tidak perlu berkonjuget dalam H. Contoh 5.5.6 Misalkan σ = (1 2 3) ∈ A4 ⊆ S4 . Dengan menggunakan Teorema 5.5.1, maka σ berkonjuget dengan ρ = (1 2 4). Tetapi permutasi τ dapat ditentukan sebagaimana dalam bukti Teorema 5.5.1 adalah τ = (3 4) yang merupakan permutasi ganjil. Jadi τ < A4 . Lagipula, tidak ada permutasi yang lain χ ∈ A4 yang memenuhi ρ = χσχ−1 . Bila ada, maka τστ−1 = χσχ−1 sehingga didapat στ−1 χ = τ−1 χσ. Jadi τ−1 χ ∈ C(σ) ⊆ S4 . Karena τ adalah permutasi ganjil dan χ adalah permutasi genap, maka permutasi τ−1 χ ∈ C(σ) adalah permutasi ganjil. Tetapi hal ini tidak mungkin sebab dalam contoh sebelumnya sentralisir C(σ) = {e, σ, σ2} semua elemennya adalah permutasi genap. Jadi σ dan ρ berkonjuget di S4 tetapi tidak berkonjuget di A4 .



Latihan 5.6 Teorema Sylow Latihan 5.7 Aplikasi Teorema Sylow Latihan

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

208

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Tindakan Grup..

Bab

6

Deret Komposisi 6.1 Teorema Isomorpisma Latihan 6.2 Teorema Jordan-Hölder Latihan 6.3 Grup Solvable Latihan

209

210

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Deret Komposisi..

Bagian II Ring dan Lapangan

211

Bab

7

Ring Sebagai ide penggunaan dua operasi dalam model sistem bilangan yang telah akrab dilakukan. Maka kajian dalam bab ini dimulai melihat strukur aljabar dengan lebih dari satu operasi. Beberapa sifat penting diidentifikasi berkaitan dengan dua operasi yang akan dibahas ini untuk memberikan pemahaman yang lebih baik dari struktur aljabar yang berbeda dari apa yang telah dibahas dalam beberapa bab yang terdahulu. Bahasan mencakup konsep ring, daerah integral dan lapangan, yang diperkenalkan langkah demi langkah dalam bab ini. Bahasan bab ini membentuk dasar untuk teori aljabar yang dibahas dalam bab berikutnya.

7.1 Contoh-contoh dan Konsep Dasar Dalam kajian ini yang telah dibahas sebelumnya dibatasi pada suatu himpunan yang tak-kosong dengan satu operasi yang memeuhi: tertutup, assosiatif, keberadaan elemen netral dan keberadaan elemen invers untuk setiap elemen. Sistem bilangan yang telah dibahas adalah himpunan Z, Q, R, C, dan Zn adalah grup dengan satu operasi "tambah". Selain itu, himpunan tersebut akan dilengkapi lagi dengan satu operasi yang lain yaitu "perkalian". Selanjutnya diidentifikasi beberapa sifat penting dari operasi "perkalian" ini serta hubungan antara kedua operasi tersebut. Pembahasan dimulai dari himpunan bilangan bulat Z. Contoh 7.1.1 Dibahas beberapa sifat penting himpunan bilangan bulat Z terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana telah biasa dilakukan memenuhi: (1) Z adalah suatu grup komutatif terhadap operasi "tambah". (2) Diberikan sebarang a, b ∈ Z, maka perkalian ab ∈ Z. (3) Diberikan sebarang a, b, c ∈ Z, maka perkalian a(bc) = (ab)c, dengan kata lain dalam Z berlaku sifat assosiatif terhadap "perkalian". 213

214

Ring..

(4) Diberikan sebarang a, b, c ∈ Z, maka a(b+c) = ab+ac dan (a+b)c = ac+bc dengan kata lain dalam Z berlaku sifat distributif terhadap "perkalian"dan "tambah".



Selanjutnya, pembahasan dikonsentrasikan pada himpunan dengan dua operasi yang mempunyai empat sifat sebagaimana diberikan dalam Contoh 7.1.1. Definisi 7.1.1 Suatu himpunan tak-kosong R dilengkapi dengan dua operasi "tambah" dan "perkalian" dinamakan suatu ring bila memenuhi empat aksioma ring, yaitu untuk setiap a, b dan c di R: (1) R adalah suatu grup komutatif terhadap operasi "tambah". (2) Tertutup terhadap perkalian, ab ∈ R. (3) Assosiatifterhadap perkalian. a(bc) = (ab)c. (4) Distributif terhadap "perkalian"dan "tambah", a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc. Bila dalam ring R memenuhi sifat ab = ba untuk semua a, b ∈ R, maka ring R dinamakan ring komutatif. Juga bila R memuat elemen 1 ∈ R yang memenuhi 1.a = a = a.1, ∀a ∈ R, maka ring R dinamakan ring satuan. X



Pembahasan dari ring R, elemen 0 di R adalah selalu menyatakan elemen netral dari R terhadap operasi biner + dan elemen invers dari a ∈ R terhadap operasi tambah ditulis −a. Selanjutnya n.a menyatakan a + a + . . . + a sebanyak n untuk n adalah bilangan bulat positip. Sedangkan bila n bilangan bulat negatip, maka n.a menyatakan (−a) + (−a) + . . . + (−a) sebanyak |n|. Contoh 7.1.2 Himpunan Z, Q, R dan C adalah ring terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana telah biasa dilakukan adalah ring komutatif.



Contoh 7.1.3 Himpunan bilangan bulat modu;o n yaitu Zn adalah ring komutatif terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana telah didefinisikan operasi tambah dan perkalian dalam modulo n.



Contoh 7.1.4 Misalkan ring R adalah himpunan Z, Q, R atau C. Maka himpunan semua matriks berukuran 2 × 2 dengan elemen-elemen di R yaitu M(2, R) adalah suatu ring terhadap operasi tambah dan perkalian matriks sebagaimana telah dikenal operasi tambah dan perkalian dalam matriks.



Contoh 7.1.5 Diberikan himpunan semua fungsi pada R, F(R) = { f : R → R}, dengan operasi "tambah" dan "perkalian" fungsi untuk f, g ∈ F(R) didefinisikan oleh def

1. ( f + g) = f (x) + g(x) untuk semua x ∈ R, c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

215

Contoh-contoh dan Konsep Dasar.. def

2. ( f.g)(x) = f (x).g(x) untuk semua x ∈ R. Himpunan F(R) dengan operasi "tambah"adalah grup komutatif. Elemen netral di F(R) adalah e(x) = 0, ∀x ∈ R dan invers dari f ∈ F(R) adalah − f , dimana − f (x) = −( f (x)), ∀x ∈ R. Sifat yang lain dari ring juga dipenuhi oleh F(R).



Contoh 7.1.6 Diberikan ring R1 , R2 , . . . , Rn adalah ring. Produk ring R = R1 × R2 × . . . × Rn , dengan operasi "tambah" dan "perkalian" dalam R untuk (a1 , a2 , . . . , an ), (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ R didefinisikan oleh def

1. (a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ), def

2. (a1 , a2 , . . . , an )(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn ).



Maka R memenuhi semua kriteria ring. Contoh 7.1.7 Himpunan

√ √ Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q}

terhadap operasi biner "tambah" dan "perkalian" sebagaimana dilakukan seperti biasanya adalah ring komutatif.



Berikut ini diberikan sifat-sifat dasar dari suatu ring. Teorema 7.1.1 Bila R suatu ring satuan, maka untuk semua a, b ∈ R: (1) a.0 = 0.a = 0 (2) a.(−b) = (−a).b = −(a.b) (3) (−a).(−b) = a.b (4) (−1).a = −a (5) (−1).(−1) = 1. (6) (m.a).(n.b) = mn.(ab) untuk semua bilangan bulat m dan n. Bukti (1) Gunakan distributif, a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0. Tambahkan dengan −(a.0) kedua ruas, didapat 0 = a.0. Dengan cara serupa didapat 0 .a = 0. (2) Hitung a.(−b) + a.b = a.(−b + b) = a.0 = 0. Sehingga didapat a.(−b) = −(a.b). (3) Dipunyai bahwa (−a).(−b) = −(a.(−b)) = −(−(a.b)) = a.b. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

216

Ring..

(4) Dari (2), (−1).a = −(1.a) = −a. (5) Gunakan (3), (−1).(−1) = 1.1 = 1. (6) Digunakan induksi dua kali. Bila m = 0 atau n = 0 tidak ada yang perlu dibuktikan. Misalkan m = 1, maka (6) dipenuhi untuk n = 1. Asumsikan (6) benar untuk m = 1 dan n = k ≥ 0. Maka dengan menggunakan sifat distributif didapat a[(k + 1).b] = a[k.b + b] = a.(k.b) + ab = k.(ab) + ab = (k + 1).ab, terlihat bahwa (6) dipenuhi untuk m = 1 dan n = k + 1. Hal ini menunjukkan bahwa (6) dipenuhi untuk m = 1 dan untuk semua n ≥ 0. Bila n < 0, misalkan r = −n. Didapat a[n.b] = a[(−r).b] = a[−(r.b)] = −[a(r.b)] = −r.(ab) = n.(ab). Jadi (6) dipenuhi untuk m = 1 dan semua n ∈ Z. Berikutnya, asumsikan (6) dipenuhi untuk m = k ≥ 0 dan semua n ∈ Z. Didapat [(k + 1).a](n.b) = (k.a + a)(n.b) = (k.a)(n.b) + a(n.b) = km.(ab) + m.(ab) = (km + m).(ab) = [(k + 1)m].(ab), terlihat bahwa (6) dipenuhi untuk m = k+1 dan semua n ∈ Z. Hal ini menunjukkan bahwa (6) dipenuhi oleh m ≥ 0 dan semua n ∈ Z. Selanjutnya, bila m < 0, misalkan s = −m didapat (m.a)(n.b) = (−s.a)(n.b) = −(s.a)(n.b) = −sn.(ab) = mn.(ab). Lengkap sudah bukti (6).

•X

Dalam pembahasan suatu grup G himpunan bagian tak-kosong dai G yaitu H adalah subgrup dari G bila H adalah grup terhadap operasi biner yang berlaku di G. Bila operasi biner dalam grup G adalah +, maka pernyataan H adalah subgrup dari G dapat diganti oleh H ⊂ G adalah subgrup dari G bila dan hanya bila a − b ∈ H untuk semua a dan b di H. Pemahaman ini secara intuisi bisa digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan bagian dari suatu ring adalah subring. Definisi 7.1.2 Suatu himpunan bagian S , ∅ dari suatu ring R adalah suatu subring bila S adalah ring terhadap operasi yang berlaku dalam ring R. X



Teorema 7.1.2 Suatu himpunan bagian S , ∅ dari suatu ring R adalah suatu subring bila dan hanya bila untuk semua a, b ∈ S memenuhi (1) a − b ∈ S (2) ab ∈ S. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

217

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

Bukti (⇐) Bila (1) dan (2) dipenuhi maka S adalah subgrup dari R terhadap operasi "tambah" dan subgrup komutatif, juga S tertutup terhadap operasi "perkalian". Sifat assosiatif terhadap "perkalian" dan distributif di S menurun dari ring R. Jadi S adalah subring dari ring R. (⇒) Bila S adalah subring dari R, maka S adalah subgrup dari R terhadap operasi "tambah" hal ini berakibat (1), yaitu a − b ∈ S untuk semua a, b ∈ S. Sedangkan (2) dipenuhi dari aksiomatik ring yang tetutup terhadap "perkalian". X



Contoh 7.1.8 Himpunan 2Z terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana biasa dilakukan dalam himpunan bilangan bulat adalah subring dari ring Z. Hal ini bisa diselidiki sebagi berikut. Untuk 2Z ⊆ Z dan a, b ∈ 2Z didapat (1) a − b ∈ 2Z dan (2) ab ∈ 2Z. Jadi 2Z adalah subring dari Z. Secara umum nZ untuk n ≥ 1 adalah subring dari Z.



Contoh 7.1.9 Himpunan Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z, i2 = −1} terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana biasa dilakukan dalam himpunan bilangan kompleks adalah subring dari ring C. Hal ini bisa diselidiki sebagi berikut. Untuk Z[i] ⊆ C dan x, y ∈ Z[i], maka x = a + bi dan y = c + di untuk beberapa a, b, c, d ∈ Z. Didapat (1) x − y = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i ∈ Z[i] (2) xy = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i ∈ Z[i]

(sebab a − c, b − d ∈ Z) (sebab ac − bd, ad + bc ∈ Z).



Jadi Z[i] adalah subring dari C. Ring Z[i] dinamakan ring Gaussian. √ √ Contoh 7.1.10 Himpunan Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q} terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana biasa dilakukan dalam himpunan bilangan riil adalah subring √ √ dari ring R. Hal ini bisa diselidiki sebagi berikut. Untuk Q( 2) ⊆ R dan x, y ∈ Q( 2), √ √ maka x = a + b 2 dan y = c + d 2 untuk beberapa a, b, c, d ∈ Q. Didapat √ √ √ √ (1) x − y = (a + b 2) − (c + d 2) = (a − c) + (b − d) 2 ∈ Q( 2) (sebab a − c, b − d ∈ Q) √ √ √ √ (2) xy = (a+b 2)(c+d 2) = (ac+2bd)+(ad+bc) 2 ∈ Q( 2) (sebab ac+2bd, ad+bc ∈ Q). √ Jadi Q( 2) adalah subring dari R.



√ Catatan bahwa Contoh 7.1.10 dapat diperumum ke Q( p) untuk p bilangan bulat positip prima, dengan cara ini diperoleh sejumlah tak-hingga banyak subring dari R yaitu √ √ Q ⊆ Q( p) ⊆ R. Untuk Q adalah suatu subring dari Q( p) dikarenakan untuk sebarang √ bilangan rasional a dapat ditulis sebagai a = a + 0. p. Contoh 7.1.11 Untuk sebarang bilangan kompleks u dan v, didefinisikan matriks berikut # " v def u h(u, v) = −v u c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

218

Ring..

dan H = {h(u, v) | u, v ∈ C}. Dapat ditunjukkan bahwa H adalah subring dari M(2, C). Himpunan H dinamakan ring quaternion. Bila Q8 = {±1, ±ii, ±jj, ±kk} sebagaimana diberikan dalam Contoh 2.1.21 dan u = a + bi, v = c + di dimana a, b, c, d ∈ R, maka h(u, v) dapat diungkapkan sebagai " # " # " # " # 1 0 i 0 0 1 0 i h(u, v) = a +b +c +d 0 1 0 −i −1 0 i 0 atau a 1 + b i + c j + d k . Dengan kata lain, elemen-elemen di H adalah kombinasi linier dari elemen-elemen di Q8 dengan koefisien riil.



Latihan Latihan 7.1.1 Dalam latihan berikut ini selidiki himpunan berikut terhadap operasi yang diberikan apakah suatu ring. √ 1. S = {a + b 3 | a, b ∈ Z}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" bilangan riil sebagaimana biasanya. 2. S = {a+bi | a, b ∈ Q}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" bilangan kompleks sebagaimana biasanya. " # a b 3. S = { | a, b ∈ R}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" matriks seba0 a gaimana biasanya. " # a b 4. S = { | a, b ∈ R}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" matriks seba−b a gaimana biasanya. 5. S = {A ∈ M(2, R) | det(A) = 0}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" matriks sebagaimana biasanya. 6. S = {m/n ∈ Q | n ganjil}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" bilangan riil sebagaimana biasanya. √ 7. S = {ri | r ∈ R, i = −1}, terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" bilangan kompleks sebagaimana biasanya. X



Latihan 7.1.2 Tunjukkan bahwa himpunan F(R) = { f : R → R} adalah suatu ring terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" fungsi sebagaimana didefinisikan dalam X Contoh 7.1.5.



Latihan 7.1.3 Misalkan R1 , R2 , . . . , Rn adalah sebarang ring dan S = R1 × R2 × . . . × Rn terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana didefinisikan dalam Contoh 7.1.6. Maka tunjukkan bahwa c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

219

Contoh-contoh dan Konsep Dasar..

(a) S adalah suatu ring. (b) S komutatif bila dan hanya bila Ri komutatif untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. (c) S adalah suatu ring dengan elemen satuan bila dan hanya Ri ring dengan elemen satuan untuk semua i, 1 ≤ i ≤ n. X



Latihan 7.1.4 Bila S dan T adalah subring dari ring R, tunjukkan bahwa S ∩ T adalah X suatu subring dari R.



Latihan 7.1.5 Tentukan semua subring dari ring Z.

•X

Latihan 7.1.6 Misalkan R adalah suatu ring. Senter dari R didefinisikan oleh Z(R) = {x ∈ R | xy = yx untuk semua y ∈ R}. Tunjukkan bahwa Z(R) adalah suatu subring dari R.

•X

Latihan 7.1.7 Dapatkan senter Z(H), dimana H adalah ring quaternion.

•X

Latihan 7.1.8 Berikan suatu contoh dari suatu ring R yang mana elemen-elemen a, b dan X c di R dengan a , 0 memenuhi ab = ac tetapi b , c.



Latihan 7.1.9 Misalkan R adalah suatu ring. Tunjukkan bahwa (a + b)(a − b) = a2 − b2 X untuk semua a, b ∈ R bila dan hanya bila R adalah suatu ring komutatif.



Latihan 7.1.10 Misalkan R adalah suatu ring. Tunjukkan bahwa (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 untuk semua a, b ∈ R bila dan hanya bila R adalah suatu ring komutatif. X



Latihan 7.1.11 Tunjukkan bahwa Teorema Binomial 1.3.3 dipenuhi untuk semua elemen x dan y di ring komutatif R. X



Latihan 7.1.12 Suatu ring Boolean R adalah suatu ring yang memenuhi a2 = a untuk semua a ∈ R. Tunjukkan bahwa suatu ring Boolean adalah suatu ring komutatif dan 2a = 0 untuk semua a ∈ R. X



Latihan 7.1.13 Untuk sebarang himpunan X, misalkan P(X) = {A| | A ⊆ X}. Untuk sebarang A dan B di P(x) didefinisikan A + B == {x | x ∈ A ∪ B, x < A ∩ B} dan A.B = A ∩ B. Tunjukkan bahwa P(X) adalah suatu ring dengan satuan dan juga P(X) adalah suatu ring Boolean. X



Latihan 7.1.14 Misalkan R adalah suatu ring dengan satuan 1 dan S = {n.1 | n ∈ Z}. Tunjukkan bahwa S adalah suatu subring dari R. Kesimpulan semacam hal ini dalam X beberapa ring bisa tidak benar



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

220

Ring..

7.2 Daerah Integral Dalam bagian ini diidentifikasi suatu sifat dari beberapa ring yang memainkan peranan penting dalam kajian berikutnya. Lagi, sebagai suatu inspirasi kajian adalah ring himpunan bilangan bulat Z. Dalam sistem bilangan bila pada suatu perhitungan persamaan seperti ab = ac dengan a , 0 secara langsung disimpulkan b = c. Kesimpulan semacam ini dalam beberapa ring bisa tidak benar. Contoh 7.2.1 Himpunan Z5 dan Z6 adalah ring. Telah dikenal tabel operasi tambah dari kedua himpunan tersebut, terhadap operasi tambah membentuk grup komutatif. Selanjutnya dibuat tabel perkalian dari Z5 dan Z6 tetapi tanpa elemen nol. Tabel Perkalian mod 5 . [1]5 [2]5 [3]5 [4]5 [1]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5 [2]5 [2]5 [4]5 [1]5 [3]5 [3]5 [3]5 [1]5 [4]5 [2]5 [4]5 [4]5 [3]5 [2]5 [1]5

. [1]6 [2]6 [3]6 [4]6 [5]6

Tabel Perkalian mod 6 [1]6 [2]6 [3]6 [4]6 [1]6 [2]6 [3]6 [4]6 [2]6 [4]6 [0]6 [2]6 [3]6 [0]6 [3]6 [0]6 [4]6 [2]6 [0]6 [4]6 [5]6 [4]6 [3]6 [2]6

[5]6 [5]6 [4]6 [3]6 [2]6 [1]6

Ada beberapa perbedaan diantara dua tabel perkalian dalam Z5 − {[0]5 } dan Z6 − {[0]6 }. Tabel perkalian dalam Z5 − {[0]5 } elemen [0]5 tidak ada dalam setiap baris. Sedangkan tabel perkalian dalam Z6 − {[0]6 } elemen [0]6 muncul dalam baris ke-2, ke-3 dan ke-4. Elemen [0]6 muncul dari hasil perkalian [2]6 [3]6 = [3]6 [2]6 = [3]6 [4]6 = [4]6 [3]6 . Perhatikan bahwa [3]6 [2]6 = [3]6 [4]6 , walaupun [3]6 , [0]6 tetapi [2]6 , [4]6 . Hal ini menjelaskan bahwa kedua ruas persamaan tidak bisa dilakukan pembagian oleh [3]6 walaupun [3]6 , [0]6 .



Definisi 7.2.1 Bila a dan b adalah dua elemen taknol dari suatu ring R yang memenuhi ab = 0, maka a dan b dinamakan pembagi nol dalam R. X



Contoh 7.2.2 Dalam ring Z6 pembagi nol adalah [2]6, [3]6 dan [4]6 . Dalam ring Z12 pembagi nol adalah [2]12 sebab [2]12 [6]12 = [0]12 , [3]12 sebab [3]12 [4]12 = [0]12 , [4]12 sebab [4]12 [3]12 = [0]12 , [6]12 sebab [6]12 [2]12 = [0]12 ,

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

221

Daerah Integral..

[8]12 sebab [8]12 [3]12 = [0]12 , [9]12 sebab [9]12 [4]12 = [0]12 , [10]12 sebab [10]12 [8]12 = [0]12 . Perhatikan bahwa semua elemen pembagi nol dalam Z12 adalah elemen yang tidak relatif prima dengan 12. Hal ini bukan sebagai suatu kebetulan dan ditunjukkan dalam sifat berikut.



Teorema 7.2.1 Suatu elemen taknol [r]n ∈ Zn adalah suatu pembagi nol bila dan hanya bila r dan n tidak relatif prima. Bukti (⇒) Misalkan [r]n ∈ Zn , [r]n , [0]n dan untuk beberapa [m]n ∈ Zn , [m]n , [0]n memenuhi [r]n [m]n = [0]n . Karena [m]n , [0]n , maka n tidak membagi m dan menggunakan Proposisi 1.3.2 bagian (2) didapat bahwa r dan n tidak relatif prima. (⇐) Misalkan r dan n tidak relatif prima. Maka fpb(r, n) = d > 1 dan n/d < n. Didapat [r]n [n/d]n = [r/d]n [n]n = [0]n . Jadi [r]n adalah suatu pembagi nol dalam Zn . X



Kesimpulan 7.2.1 Ring Zp tidak mempunyai pembagi nol bila dan hanya bila p adalah prima. Bukti Langsung dari Teorema 7.2.1.

•X

Contoh 7.2.3 Ring Z, Q, R, C dan Zp dimana p prima adalah ring tanpa elemem pembagi nol.



Hukum kanselasi perkalian dipenuhi dalam suatu ring R bila untuk semua a, b dan c di R dengan a , 0, ab = ac berakibat b = c dan ba = ca berakibat b = c. Akan terlihat bahwa ring yang memenuhi hukum kanselasi terhadap perkalian secara tepatnya adalah ring yang tidak mempunyai pembagi nol. Teorema 7.2.2 Dalam suatu ring R memenuhi hukum kanselasi bila dan hanya bila R tidak mempunyai elemen pembagi nol. Bukti (⇒) Misalkan hukum kanselasi dipenuhi dalam suatu ring R dan untuk beberapa a, b ∈ R, a , 0 dipunyai ab = 0. Ditunjukkan bahwa hal tersebut dapat terjadi hanya bila b = 0. Karena ab = 0 dan a.0 = 0, gunakan hukum kanselasi didapat b = 0. Jadi R tidak mempunyai pembagi nol. (⇐) Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan untuk beberapa a, b, c ∈ R, a , 0 dipunyai ab = ac. Maka a(b − c) = ab − ac = 0. Karena a bukan pembagi nol, haruslah b − c = 0 atau b = c. Dengan cara yang sama ba = ca berakibat b = c. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

222

Ring..

Definisi 7.2.2 Suatu ring R dinamakan suatu daerah integral bila (1) R komutatif, (2) R mempunyai elemen satuan, 1 ∈ R, (3) R tidak mempunyai pembagi nol.

•X

Contoh 7.2.4 Ring Z, Q, R, C dan Zp dimana p prima adalah daerah integral.



Definisi 7.2.3 Suatu himpunan takkosong S dari suatu daerah intgral D dinamakan subdaerah (subdomain) dari D bila S terhadap operasi yang sama sebagai mana dalam D adalah suatu daerah integral. X



Proposisi 7.2.1 Suatu himpunan bagian takkosong S dari suatu daerah integral D adalah suatu sub-daerah dari D bila dan hanya bila (1) S adalah subring dari D. (2) 1 ∈ S dimana 1 adalah elemen satuan di D. Bukti (⇐) Misalkan (1) dan (2) dipenuhi, maka S adalah subring dari D dan 1 ∈ S. Diberikan sebarang a , 0, b dan c di S yang memnuhi ab = ac. Maka a = m.1, b = r.1 dan c = s.1 untuk beberapa m , 0, r dan s di Z. Didapat 0 = ab − ac = a(b − c) = m.1[(r.1) − (s.1)] = m.1(r − s).1 = m(r − s).1. Jadi m(r − s) = 0 di Z, hal ini berakibat r = s atau r.1 = s.1. Dengan demikian b = c. Dengan cara yang sama dpat ditunjukkan ba = ca, maka b = c. Hal ini menunjukkan dalam S berlaku hukum kanselasi. Akibatnya S tidak memuat pembagi nol. Jadi S adalah subdaerah. (⇒) Misalkan S adalah subdaerah dari suatu daerah integral D, maka S adalah subring komutatif dari D dan 1 ∈ S. X



Contoh 7.2.5 Himpunan Z[i] adalah suatu daerah integral, sebab Z[i] adalah subring dari C dan 1 = 1 + 0 i ∈ Z[i]. √ √ Contoh 7.2.6 Himpunan Q( 2) adalah suatu daerah integral, sebab Q( 2) adalah sub√ √ ring dari R dan 1 = 1 + 0 2 ∈ Q( 2).





Contoh 7.2.7 Ring M(2, R) bukan suatu daerah integral. Sebab M(2, R) mempunyai pembagi nol, contohnya " # " # " # 0 1 0 1 0 0 . = . 0 0 0 0 0 0 Juga, M(2, R) bukan ring komutatif.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

223

Daerah Integral..

Contoh 7.2.8 Ring Z × Z bukan suatu daerah integral, sebab (2, 0).(0, 3) = (0, 0). Secara lebih umum untuk sebarang dua ring tak-trivial R1 dan R2 , maka ring R1 × R2 bukan suatu daerah integral. Sebab semua bentuk (r1 , 0) dan (0, r2 ) dengan r1 , 0 dan r2 , 0 adalah elemen pembagi nol dalam R1 × R2 .



Contoh 7.2.9 Sifat lain dari daerah integral Z yaitu persamaan a2 = a mempunyai tepat dua penyelesaian a = 0 atau a = 1. Beda dalam Z6 yang mana telah diketahui bahwa bukan daerah integral. Maka a = 3 juga penyelesaian dari a2 = a. Dalam suatu daerah integral D, a2 = a berakibat a(a − 1) = a2 − a = 0 dan karena tidak memuat pembagi nol, maka hanyalah a = 0 atau a = 1 adalah penyelesaian dari a2 = a dalam D.



Latihan Latihan 7.2.1 Dapatkan semua pembagi nol dari ring berikut. 1. Z4 2. Z8 3. Z11 4. Z2 × Z2 5. Z4 × Z6 6. Z × Q 7. M(2, Z2 ). X



Latihan 7.2.2 Buat suatu contoh dari suatu ring komutatif yang tidak memuat pembagi nol dan bukan suatu daerah integral. X



Latihan 7.2.3 Buat suatu contoh dari suatu ring dengan elemen satuan yang tidak X memuat pembagi nol dan bukan suatu daerah integral.



Latihan 7.2.4 Tunjukkan bahwa irisan dari dua subdaerah dari suatu daerah integral D X adalah juga subdaerah dari D.



Latihan 7.2.5 Misalkan D adalah suatu daerah integral dan S = {n.1 | nZ} dengan 1 adalah elemen satuan di D. Tunjukkan bahwa (a) S adalah subdaerah dari D.

•X

(b) Bila R adalah sebarang subdaerah dari D, maka S ⊆ R.

Latihan 7.2.6 Tunjukkan bahwa ring berikut adalah daerah integral. (a) Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q, i2 = −1}. √ √ (b) Z[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Z}. √ √ √ √ √ √ (c) Q( 2, 3) = {a + b 2 + c 3 + d 2 3 | a, b, c.d ∈ Q}. Latihan 7.2.7 Dapatkan semua subdaerah dari Z.

•X

•X

Latihan 7.2.8 Tunjukkan bahwa subdaerah dari Zp dengan p adalah prima hanyalah Zp sendiri. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

224

Ring..

Latihan 7.2.9 Tunjukkan bahwa hanyalah ring Bolean Z2 adalah suatu daerah integral. X



Latihan 7.2.10 Misalkan R adalah suatu ring dengan setidaknya dua elemen yang memenuhi untuk setiap elemen taknol a ∈ R ada dengan tunggal suatu elemen b ∈ R sehingga aba = a. Tunjukkan bahwa (a) R tidak mempunyai pembagi nol. (b) bab = b. (c) R mempunyai elemen satuan.

Latihan 7.2.11 Diberikan ring Z7 .

•X

(a) Tunjukkan bahwa Z7 adalah suatu ring yang memenuhi kriteria dalam Latihan 7.2.10. (b) Untuk sebarang elemen taknol a ∈ Z7 dapatkan elemen terkait b ∈ Z7 yang memenuhi aba = a. X



7.3 Lapangan Dalam bagian sebelumnya telah dikenalkan pengertian suatu daerah integral, yaitu suatu ring komutatif mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol. Dalam suatu daerah integral hukum kanselasi dipenuhi, sebagaimana telah ditunjukkan dengan menyatakan bahwa jika ab = ac, a , 0, maka a(b − c) = ab − bc = 0 dan juga karena tidak ada pembagi nol, haruslah b − c = 0 dan b = c. Dalam hal ini tidak dilakukan pembagian dengan a pada kedua ruas persamaan. Sebab tidak diketahui apakah a mempunyai invers terhadap perkalian. Contoh 7.3.1 Dalam Z hanyalah elemen 1 dan −1 yang mempunyai invers terhadap perkalian, sebab 1.1 = 1 dan (−1).(−1) = 1.



Contoh 7.3.2 Dalam ring himpunan Z5 didapat

[1]5 .[1]5 = [1]5 , [2]5 .[3]5 = [1]5 , [3]5 .[2]5 = [1]5 , [4]5 .[4]5 = [1]5 . Terlihat bahwa dalam ring Z5 semua elemen yang taknol mempunyai invers di Z5 terhadap operasi perkalian.



Definisi 7.3.1 Dalam suatu ring R dengan elemen satuan 1, suatu elemen a ∈ R dinamakan suatu unit bila a mempunyai invers terhadap perkalian. X



Sebagaimana telah dibahas dalam Grup, bila a mempunyai invers a−1 , maka invers tersebut tunggal. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

225

Lapangan..

Contoh 7.3.3 Dalam ring Z12 elemen-elemen unit adalah, [1]12 , [5]12 , [7]12 dan [11]12 sebab [1]12 .[1]12 = [3]12 .[3]12 = [5]12 .[5]12 = [7]12 .[7]12 = [11]12 .[11]12 = [1]12 . Perlu diperhatikan bahwa elemen unit dalam Z12 adalah elemen taknol yang merupakan bukan pembagi nol. Juga himpunan unit dari Z12 terhadap perkalian adalah U(12) merupakan grup. Pembahasan dalam contoh ini secara umum diberikan dalam dua teorema berikut.



Teorema 7.3.1 Dalam suatu ring R dengan elemen satuan 1, bila suatu elemen a ∈ R adalah suatu unit, maka a bukan suatu pembagi nol. Bukti Misalkan a ∈ R adalah suatu unit dalam R, jadi a−1 ada dalam R. Bila untuk beberapa b ∈ R memenuhi ab = 0, maka b = 1.b = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 .0 = 0. Dengan demikian a bukan suatu pembagi nol. X



Teorema 7.3.2 Misalkan R adalah suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan 1, dan U(R) = {a ∈ R | a adalah suatu unit di R}.

Maka U(R) adalah suatu grup terhadap operasi perkalian di R.

Bukti Ditunjukkan U(R) memenuhi empat aksioma grup. (Tertutup) Misalkan a, b ∈ U(R), maka a−1 dan b−1 di U(R). Dengan demikian b−1 a−1 ∈ R, didapat (ab)(b−1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 = aa−1 = 1, dan (b−1 a−1 )(ab) = b−1 (a−1 a)b−1 = b−1 b = 1. Terlihat bahwa b−1 a−1 invers dari ab terhadap perkalian, jadi ab ∈ U(R). (Assosiatif) Operasi perkalian dalam U(R) juga merupakan operasi perkalian dalam R. Karena R ring, maka memenuhi sifat assosiatif. (Identitas) 1.1 = 1, jadi 1 mempunyai invers dirinya sendiri terhadap operasi perkalian. Elemen 1 adalah suatu unit dan 1 ∈ U(R). (Invers) Bila a ∈ U(R), maka a mempunyai invers terhadap perkalian a−1 di R. Tetapi a adalah invers dari a−1 terhadap perkalian. Jadi a−1 mempunyai invers terhadap perkalian X dan a−1 ∈ U(R).



Teorema 7.3.3 Dalam ring Zn grup perkalian dari unit adalah U(Zn ) = U(n).

Bukti Bila [a]n ∈ U(Z) atau dengan kata lain [a]n adalah suatu unit di Zn , maka [a]n , [0]n dan menurut Teorema 7.3.1 [a]n bukan pembagi nol di Zn . Dengan demikian menurut Teorema 7.2.1 a dan n adalah relatif prima, jadi [a]n ∈ U(n), maka U(Zn ) ⊆ U(n). Bila [a]n ∈ U(n) dan karena U(n) adalah grup terhadap operasi perkalian (sebagaimana telah dibahas dalam bagian grup), maka ([a]n )−1 adalah invers dari [a]n di U(n) ⊆ Zn jadi [a]n ∈ U(Zn ), maka U(n) ⊆ U(Zn ). Dengan demikian U(Zn ) = U(n). X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

226

Ring..

Contoh 7.3.4 U(Z6 ) = {[1]6 , [5]6 } = U(6) dan U(Z5 ) = Z5 − {[0]5 } = U(5).



Contoh 7.3.5 Untuk himpunan bilangan bulat, U(Z) = {1, −1} adalah grup terhadap perkalian. Untuk bilangan rasional, U(Q) = Q∗ adalah himpunan semua bilangan rasional taknol terhadap perkalian adalah grup.



Contoh 7.3.6 Misalkan akan dihitung elemen unit dari Z4 × Z6 . Disini (a, b) unit di Z4 × Z6 bila dan hanya bila ada suatu elemen (c, d) ∈ Z4 × Z6 yang memenuhi (a, b)(c, d) = (ac, bd) = ([1]4 , [1]6 ). Dengan kata lain a harus suatu unit di Z4 dan b juga harus suatu unit di Z6 . Jadi U(Z4 × Z6 ) = {([1]4 , [1]6 ), ([1]4 , [5]6 ), ([3]4 , [1]6 ), ([3]4 , [5]6 )} = U(Z4 ) × U(Z6 ).



Berikut ini dibahas suatu definisi dari pengertian yang paling mendasar dalam teori ring. Definisi 7.3.2 Suatu ring F dinamakan suatu lapangan bila (1) Ring F adalah ring komutatif. (2) Ring F mempunyai elemen satuan, 1 ∈ F. (3) Setiap elemen taknol di F adalah suatu unit.

•X

Perhatikan bahwa berdasarkan Teorema 7.3.2, kondisi (3) bisa diganti oleh (3’) Himpunan semua elemen tak nol di F adalah suatu grup komutatif terhadap operasi perkalian. Kondisi (1) penting, bila kondisi (1) tidak dipenuhi maka ring F tidak bisa dikatakan sebagai suatu lapangan. Contoh 7.3.7 Himpunan Q, R dan C adalah lapangan dan Z adalah daerah integral yang bukan suatu lapangan.



Hubungan diantara daerah integral dan lapangan diberikan oleh teorema berikut. Teorema 7.3.4 Setiap lapangan adalah suatu daerah integral. Bukti Hal ini akibat langsung dari Definisi 7.2.3, Definisi 7.3.2 dan Teorema 7.3.1. Yaitu, misalkan dalam suatu lapangan F, untuk a, b ∈ F berlaku ab = 0. Bila a , 0, maka ada invers a−1 ∈ F dan didapat b = 1.b = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 .0 = 0. Terlihat bahwa bila sebarang a , 0 di F dan ab = 0 berakibat bahwa b = 0. Jadi a ∈ F bukan elemen pembagi nol. Oleh karena itu F tidak memuat pembagi nol. Jadi F adalah suatu daerah integral. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

227

Lapangan..

Teorema 7.3.4 tidak berlaku sebalinya. Contohnya adalah himpunan bilangan bulat Z adalah suatu daerah integral tetapi bukan suatu lapangan. Teorema berikut memberikan syarat bahwa suatu daerah integral adalah suatu lapangan. Teorema 7.3.5 Setiap daerah integral berhingga D adalah suatu lapangan. Bukti Misalkan D adalah suatu daerah integral berhingga dan sebarang x ∈ D dengan x , 0. Dihimpun semua elemen taknol di D yaitu D − {0} = {1, x1, x2 , . . . , xn−1 }. Karena D daerah integral dan x , 0 didapat himpunan x(D − {0}) = {x, xx1 , xx2, . . . , xxn−1 } yang semua elemennya taknol. Himpunan x(D − {0}) sama dengan D − {0} sebab bila xxi = xx j untuk beberapa 1 ≤ i, j ≤ n − 1. Maka dengan menggunakan hukum kanselasi didapat xi = x j . Hal ini menunjukkan bahwa semua elemen di x(D − {0}) adalah berbeda dan karena |D − {0}| = |x(D − {x})|, maka D − {0} = x(D − {0}). Bila x = 1, maka x−1 = 1. Bila x , 1, maka haruslah 1 = xxi untuk suatu i, 1 ≤ i ≤ n − 1. Jadi x−1 = xi untuk suatu i, 1 ≤ i ≤ n − 1. Dengan demikian sebarang x , 0 di D mempunyai invers di D. Jadi D X adalah suatu lapangan.



Kesimpulan 7.3.1 Himpunan Zp adalah suatu lapangan bila dan hanya bila p adalah prima. Bukti (⇐). Misalkan p prima dan dari Teorema 7.3.3 didapat U(Zp ) = U(p). Karena p prima, maka U(p) = Zp − {[0]p }. Jadi Zp adalah daerah integral. Dengan menggunakan Teorema 7.3.5, maka Zp adalah suatu lapangan. (⇒) Misalkan Zp adalah suatu lapangan, maka Zp tidak memuat pembagi nol. Dengan X menggunakan Kesimpulan 7.2.1 maka p adalah prima.



Definisi 7.3.3 Himpunan bagian takkosong S dari suatu lapangan F dinamakan sublapangan dari F bila S adalah suatu lapangan terhadap dua operasi yang sama seperti di F. X



Teorema 7.3.6 Suatu himpunan bagian takkosong S dari suatu lapangan F adalah suatu sub-lapangan terhadap dua operasi yang sama seperti di F bila dan hanya bila untuksemua x, y ∈ S berlaku (1) x − y ∈ S. (2) Untuk y , 0, xy−1 ∈ S c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

228

Ring..

Bukti (⇒) Misalkan S adalah sub-lapangan dari suatu lapangan F, maka S terhadap operasi "tambah" adalah subgrup dari F dengan demikikian x − y ∈ S untuk semua x, y ∈ S. Himpunan S − {0} terhadap operasi "perkalian" adalah subgrup dari F, maka xy−1 ∈ S − {0} dan untuk x = 0 didapat 0.y−1 = 0 ∈ S. jadi xy−1 ∈ S untuk semua x, y ∈ S dimana y , 0. (⇐) Misalkan x − y ∈ S untuk semua x, y ∈ S, maka S adalah subgrup dari F. Dan misalkan xy−1 untuk semua x, y ∈ S dimana y , 0, maka x, y−1 ∈ S − {0} untuk semua x, y ∈ S − {0}. Jadi S − {0} terhadap operasi perkalian adalah sungrup dari F. Elemen satuan 1 , 0, jadi 1 = 1.1−1 ∈ S − {0} ⊂ S. Himpunan S terhadap operasi perkalian adalah komutatif sebab F komutatif terhadap perkalian. Dengan demikian S adalah sub-lapangan dari F. X



Contoh 7.3.8 Dengan menggunakan Teorema 7.3.6 dapat ditunjukkan himpunan √ √ Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q} terhadap dua operasi tambah dan perkalian sebagaimana dilakukan adalah √ sub-lapangan 7.1.10 bahwa Q( 2) adalah subdari lapangan R. Sudah ditunjukkan dalam Contoh √ ring dari R. Untuk menunjukkan bahwa Q( 2) adalah sub-lapangan dari R cukup √ dibuktikan kondisi (2) dalam Toerema 7.3.6. Misalkan x, y ∈ Q( 2) dimana y , 0. Maka √ √ x = a + b 2, y = c + d 2 untuk beberapa a, b, c, d ∈ Q. Didapat xy

−1

√ ! √ √ ! a+b 2 a+b 2 c−d 2 = (a + b 2) √ = √ = √ . √ c+d 2 c+d 2 c+d 2 c−d 2 √ √ (ac − 2bd) + (bc − ad) 2 ac − 2bd bc − ad √ + = = 2 ∈ Q( 2). c2 − 2d2 c2 − 2d2 c2 − 2d2 | {z } | {z } √

1

∈Q

∈Q

√ 2 2 Catatan bahwa karena c + d 2 = y , 0, maka √ c − 2d , 0. Sebab bila tidak demikian yaitu c2 − 2d2 = 0, maka berakibat bahwa 2 = ±(c/d) adalah suatu hal yang tidak mungkin untuk c, d ∈ Q.



Contoh 7.3.9 Sebegitu jauh contoh-contoh yang dibahas adalah lapangan takhingga √ Q, R, C dan Q( 2); dan lapangan berhingga seperti Zp dengan banyaknya elemen adalah p dan p adalah bilangan bulat prima. Dalam contoh ini diberikan suatu lapangan dengan n elemen dimana n bukan suatu bilangan bulat prima. Diberikan himpunan Z3 [i] = {a + bi | a, b ∈ Z3 , i2 = −1}. Karena a dan b adalah [0]3 , [1]3 atau [2]3 = [−1]3 , maka Z3 [i] = {[0]3 , [1]3 , [2]3 , [1]3 i, [1]3 + [1]3 i, [2]3 + [2]3 i, [2]3i, [1]3 + [2]3 i, [2]3 + [2]3 i}. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

229

Lapangan..

Terlihat bahwa n = |Z3 [i]| = 9. Operasi "+" dan "." dalam Z3 [i] didefinisikan sebagai berikut. Untuk x, y ∈ Z3 [i] dimana x = [a]3 + [b]3 i dan y = [c]3 + [d]3 i, def

def

x + y = ([a]3 + [c]3 ) + ([b]3 + [d]3 )i dan x.y = ([a]3 [c]3 − [b]3 [d]3 ) + ([a]3 [d]3 + [b]3 [c]3 )i. Dengan dua operasi tersebut Z3 [i] adalah suatu ring komutatif. Setiap elemen taknol di Z3 [i] adalah unit sebab −1 −1 [1]−1 = [2]3 i 3 = [1]3 , [2]3 = [2]3 , ([1]3 i)

dan ([1]3 + [1]3 i)−1 = [2]3 + [1]3 i, ([1]3 + [2]3 i)−1 = [2]3 + [2]3 i. Dengan demikian Z3 [i] adalah suatu lapangan. Contoh 7.3.10 Diberikan grup kuoternion



Q8 = {±1, ±ii, ±jj, ±kk}, maka H ring kuoternion sebagaimana dibahas dalam Contoh 7.1.11 dapat didefinisikan sebagai H = {a + b i + c j + d k | a, b, c, d ∈ R dan i , j , k ∈ Q8 }.

Himpunan H adalah suatu ring dengan elemen satuan 1. Selanjutnya bila x ∈ H dimana x , 0 dan x = a + b i + c j + d k , maka didapat x∗ = a − b i − c j − d k . Juga xx∗ = a2 + b2 + c2 + d2 , 0 dan x(x∗ /xx∗ ) = 1. Jadi semua x ∈ H dengan x , 0 adalah unit. Apapun hal tersebut, karena i j = k dan j i = −kk, maka H bukan suatu ring komutatif. Dengan demikian H bukan suatu lapangan.



Definisi 7.3.4 Suatu ring R dengan elemen satuan yang memenuhi setiap elemen taknol X a ∈ R adalah suatu unit dinamakan suatu ring pembagian (division ring).



Contoh 7.3.11 Setiap lapangan adalah suatu ring pembagian dan ring kuoternion H adalah suatu contoh ring pembagian yang bukan suatu lapangan.



Dikenalkan suatu konsep terakhir dalam bagian ini yang dinamakan karakteristik. Contoh 7.3.12 Dalam Z6 bisa didapat suatu bilangan bulat positip terkecil n yang memenuhi na = [0]6 untuk semua a ∈ Z6 , yaitu n = 6. Dengan cara yang sama, dalam Z4 × Z6 didapat n = 12, yang memenuhi 12(a, b) = (12a, 12b) = ([0]4 , [0]6 ) untuk semua (a, b) ∈ Z4 × Z6 dan tidak ada bilangan bulat positip lebih kecil dari bilangan bulat tersebut yang memenuhi sifat tersebut. Dalam ring Z, tidak ada bilangan bulat positip terkecil n yang memenuhi na = 0 untuk semua a ∈ Z.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

230

Ring..

Definisi 7.3.5 Dalam suatu ring R, karakteristik dari R dinotasikan oleh kar(R) adalah bilangan bulat positip terkecil n yang memenuhi n.a = 0 untuk semua a ∈ R. Bila tidak ada bilngan n yang demikian, maka kar(R) = 0. X



Contoh 7.3.13 Untuk setiap bilangan bulat positip n ada suatu ring yang mempunyai karakter sama dengan n yaitu Zn himpunan bilangan bulat modulo n. Sedangkan kar(Z) = kar(Q) = kar(R) = kar(C) = 0.



Bila ring R mempunyai elemen satuan, maka mudah untuk menentukan karakteristik dari R sebagaimana ditunjukan berikut. Teorema 7.3.7 Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan 1. Maka (1) kar(R) = 0 bila 1 mempunyai order tak-berhingga terhadap operasi "tambah". (1) kar(R) = n bila 1 mempunyai order n terhadap operasi "tambah". Bukti (1) Bila |i| = ∞, maka tidak akan ada bilangan bulat berhingga n yang memenuhi n.1 = 0. Jadi kar(R) = 0. (2) Bila |1| = n, maka n adalah bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi n.1 = 0 dan untuk semua a ∈ R didapat n.a = n(1.a) = (n.1)a = 0.a = 0. Terlihat bahwa kar(R) = n X



Contoh 7.3.14 Dalam R = Z4 × Z6 elemen satuan adalah ([1]4 , [1]6 ) dan kar(R) = |([1]4 , [1]6 )| = 12. Tinjau himpunan bagian S = Z4 × {[0]6 } ⊆ R. Maka S adalah subring dari R dengan elemen satuan ([1]4 , [0]6 ) dan kar(S) = |([1]4 , [0]6 )| = 4 , kar(R). Dengan kata lain karakteristik dari subring S bisa berbeda dengan karakteristik dari ring R.



Apa yang terjadi dalam Contoh 7.3.14 tidak akan terjadi dalam suatu daerah integral. Contoh berikut menjelaskan hal tersebut. Contoh 7.3.15 Misalkan D adalah sebarang daerah integral dan S adalah suatu subdaerah dari D. Berdasarkan Proposisi 7.2.1 bila elemen satuan 1 ∈ D, maka 1 ∈ S. Dengan kata lain D dan S mempunyai elemen satuan yang sama. Jadi kar(D) = |1| = kar(S). X



Diakhir bagian ini diberikan suatu sifat karakteristik dari suatu daerah integral. Teorema 7.3.8 Misalkan D adalah suatu daerah integral. Maka kar(D) = 0 atau kar(D) = p, dimana p adalah prima. Bukti Asumsikan D adalah daerah integral dengan kar(D) , 0. Pilih bilangan bulat positip terkecil n yang memenuhi n.1 = 0. Andaikan n bukan prima, maka n = uv untuk beberapa bilangan bulat u < n dan v < n. Didapat 0 = n.1 = (uv).1 = (u.1)(v.1) ∈ D.

Karena D adalah suatu daerah integral maka u.1 = 0 atau v.1. Hal ini bertentangan dengan kenyataan pilihan n adalah bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi X n.1 = 0. Dengan demikian haruslah n adalah prima.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

231

Lapangan..

Visualisasi Gambar 7.1 membantu kita untuk mengenal lebih baik berbagai macam ring yang telah dikenalkan dalam bab ini. Dalam masing-masing macam bagian suatu contoh yang mewakili diberikan. Bila diinginkan bisa dikonstruksi contoh-contoh yang lain sebagaimana yang dikehendaki untuk masing-masing macam dari 6 bagian yang ada. Klas dari semua ring b M(2, 2Z) Ring komutatif b

Z6

Daerah Integral b

2Z b

Z

Lapangan b Q b Z5

Ring dengan satuan b M(2, R) Ring Pembagian b H

Gambar 7.1: Semua klas Ring

Latihan Latihan 7.3.1 Dapatkan semua unit dari ring berkut. 1. Z10 2 Z2 × Z4 3. Z[i] 4. Z ×√Z 5. H 6. C 7. Q( 3) 8. M(2, Z2 ) 9. M(2, Z) 10. M(2, R). X



Latihan 7.3.2 Misalkan a adalah suatu unit dalam suatu ring R dengan satuan. TunX jukkan bahwa invers terhadap perkalian dari a adalah suatu unit di R.



Latihan 7.3.3 Misalkan R adalah suatu ring dengan satuan 1 ∈ R dan S suatu subring dari R dengan 1 ∈ S. Tunjukkan bahwa bila a ∈ S adalah suatu unit di S, maka a adalah suatu unit di R. Tunjukkan dengan suatu contoh bahwa hal yang sebaliknya tidak perlu benar. X



Latihan 7.3.4 Misalkan R1 dan R2 adalah ring komutatif yang mempunyai elemen satuan. Tunjukkan bahwa grup unit berikut U(R1 × R2 )  U(R1 ) × U(R2 ). X



Latihan 7.3.5 Misalkan R adalah suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan dan M(2, R) adalah himpunan matriks berukuran 2 × 2 dengan elemen-elemen di R. Tunjukkan bahwa A ∈ M(2, R) adalah suatu unit bila dan hanya bila det(A) adalah suatu X unit di R.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

232

Ring..

Latihan 7.3.6 Dari ring berikut tentukan mana yang merupakan lapangan. 1. Z[i] 2. Q ×√Q 3. Z13 4. Q( 3) 5. Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q} 6. H 7. Z2 [i] = {a + bi | a, b ∈ Z2 }. X



Latihan 7.3.7 Misalkan S dan T adalah sub-lapangan dari suatu lapnagn F. Tunjukkan bahwa S ∩ T adalah suatu sub-lapngan dari F. X



Latihan 7.3.8 Tentukan karakteristik dari ring berikut. 1. Z10 × Z8 2. C √ 3. Z × Z 4. H 5. Q( 2) 6. Z3 [i] 7. Z2 × Q × Z3 . X



Latihan 7.3.9 Misalkan F adalah suatu lapangan dengan kar(F) = p > 0. Tunjukkan bahwa untuk sebarang elemen a, b ∈ F didapat (a + b)p = ap + bp . X



Latihan 7.3.10 Tunjukkan bahwa D adalah suatu daerah integral dengan kar(D) = 0, X maka D adalah tak-berhingga.



Latihan 7.3.11 Misalkan F adalah suatu lapangan dengan |F| = q. Tunjukkan bahwa untuk semua a ∈ F didapat aq = a. X



Latihan 7.3.12 Misalkan p adalah bilangan prima dan persamaan xp − 1 = 0. Tunjukkan bahwa (a) dalam C, xp − 1 = 0 mempunyai p penyelesaiaan yang berbeda. (b) Dalam suatu lapangan F dengan kar(F) = p, maka xp − 1 = 0 mempunyai hanya satu penyelesaiaan (Pentunjuk: Gunakan Latihan 7.3.9). X



Latihan 7.3.13 Suatu elemen a dalam suatu ring R dikatakan nilpoten bila untuk beberapa k ≥ 1 didapat ak = 0. Tunjukkan bahwa himpunan dari elemen nilpoten dalam X suatu ring komutatif R membentuk suatu subring dari R. Latihan 7.3.14 Dapatkan semua elemen nilpoten dalam Z24 .



•X

Latihan 7.3.15 Tunjukkan bahwa bila D adalah suatu daerah integral, maka 0 adalah satu-satunya elemen nilpoten dalam D. X



Latihan 7.3.16 Misalkan a adalah suatu elemen nilpoten dalam suatu ring komutatif R dengan elemem satuan. Tunjukkan bahwa: (a) a = 0 atau a adalah suatu pembagi nol. (b) ax adalah nilpoten untuk semua x ∈ R. (c) 1 + a adalah suatu unit di R. X (d) Bila u adalah suatu unit di R, maka u + a juga suatu unit diR.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

233

Lapangan..

Latihan 7.3.17 Dalam suatu ring R suatu elemen a ∈ R dinamakan idempoten bila a2 = a. Tunjukkan bahwa dalam suatu daerah integral D hanyalah 0 dan 1 elemen idempoten di D. X



Latihan 7.3.18 Dapatkan semua elemen idempoten di Z6 , Z12 dan Z6 × Z12 .

•X

Latihan 7.3.19 Tunjukkan bahwa suatu ring R adalah suatu ring pembagian bila dan hanya bila untuk sebarang a ∈ R ada suatu elemen tunggal b ∈ R yang memenuhi X aba = a.



Latihan 7.3.20 Tunjukkan bahwa senter dari suatu ring pembagian adalah suatu lapaX ngan.



Latihan 7.3.21 Tunjukkan bahwa suatu ring berhingga R dengan elemen satuan dan X tanpa elemen elemen pembagi nol adalah suatu ring pembagian. Latihan 7.3.22 Didefinisikan kuoternion integral sebagai berikut:



I = {a + b i + c j + d k | a, b, c, d ∈ Z} ⊆ H. (a) Tunjukkan bahwa I adalah suatu subring dari H. (b) Misalkan N : I → Z adalah fungsi dinamakan norm yang didefinisikan oleh N(a + b i , +c j + d k ) = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ Z. Tunjukkan bahwa untuk semua z = a + b i + c j + d k ∈ I, N(z) = zz∗ , dimana z∗ = a − b i − c j − d k . (c) Tunjukkan bahwa N(zw) = N(z)N(w), ∀z, w ∈ I. (d) Tunjukkan bahwa z ∈ I adalah suatu unit bila dan hanya bila N(z) = 1. X (e) Tunjukkan bahwa grup dari unit di I adalah U(I) = Q8 .



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

234

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Ring..

Bab

8

Homomorpisma Ring Dalam Bab 2 telah dibahas pemetaan dari suatu grup G ke group yang lain G′ dinamakan homomorpisma grup. Dalam bab ini didefinisikan homomorpisma ring. Ditunjukkan bahwa bagaimana homomorpisma ring memberikan sesuatu yang lebih penting terhadap pemahaman dari suatu macam subring khusus yang dinamakan suatu ideal. Dapat ditunjukkan bahwa image homomorpisma dari suatu ring isomorpik dengan suatu ring kuosi. Homomorpisma ring, ideal dan ring kousi mempunyai keterkaitan yang dekat tepatnya seperti cara dalam homomorpisma grup. Pengkonstruksian lapangan dari kousi dari suatu daerah integral dibahas pada akhir bab ini.

8.1 Definisi dan Sifat-sifat Dasar Seperti halnyadalamgrup, pemetaan diantara ring yang digunakan haruslah pemetaan yang mempertahan struktur aljabar dari ring. Untuk itu ditinjau pemetaan yang dikaitkan dengan dua operasi dalam ring. Karena suatu ring adalah suatu grup terhadap operasi "tambah", maka pemetaan yang dipertimbangkan adalah suatu pemetaan homomorpisma grup terhadap operasi "tambah" begitu juga terhadap operasi "perkalian". Contoh 8.1.1 Diberikan ring Z dan 2Z, dan pemetaan natural φ(n) = 2n untuk semua n ∈ Z. Telah diketahui bahwa φ adalah suatu homomorpisma grup terhadap +, sebab φ(m + n) = 2(m + n) = 2m + 2n = φ(m) + φ(n). Tetapi terhadap operasi perkalian (.), didapat 2 = φ(1.1) , φ(1).φ(1) = 2.2 = 4. Dengan kata lain terhadap operasi perkalian (.) dalam Z tidak memenuhi seperti yang diharapkan.



Contoh 8.1.2 Diberikan pemetaan dari ring Z ke ring Z3 oleh φ(n) = n mod 3 untuk semua n ∈ Z. Sebagaimana telah diketahui, untuk semua m dan n di Z didapat φ(m + n) = (m + n) mod 3 = (m mod 3) + (n mod 3) = φ(m) + φ(n), φ(m.n) = (m.n) mod 3 = (m mod 3).(n mod 3) = φ(m).φ(n). 235

236

Homomorpisma Ring..

Terlihat bahwa dalam contoh ini pemetaan φ memenuhi kriteria sebagaimana yang diharapkan.



Definisi 8.1.1 Suatu pemetaan dari suatu ring R ke suatu ring R′ yaitu φ : R → R′ dinamakan suatu homomorpisma ring bila untuk semua x, y ∈ R didapat (1) φ(x + y) = φ(x) + φ(y), (2) φ(x.y) = φ(x).φ(y). Perlu diperhatikan bahwa dua operasi yang digunakan pada persamaan bagian kiri adalah di ring R, sedangkan pada sebelah kanan di ring R′ . X



Catatan bahwa kondisi (1) dalam Definisi 8.1.1 menjelaskan bahwa pemetaan φ adalah suatu homomorpisma grup terhadap operasi "tambah". Contoh 8.1.3 Diberikan pemetaan φ : Z4 → Z6 didefinisikan oleh φ(x) = [3x]6 untuk semua x ∈ Z4 . Sebagaimana telah diketahui operasi tambah dan kali dalam modulo, maka untuk setiap x, y ∈ Z4 didapat φ(x + y) = 3(x + y) mod 6 = (3x mod 6) + (3y mod 6) = φ(x) + φ(y), φ(x.y) = 3(x.y) mod 6 = 9(x.y) mod 6 = (3x mod 6).(3y mod 6) = φ(x).φ(x). Terlihat bahwa dalam contoh ini pemetaan φ adalah suatu homomorpisma ring.



Contoh 8.1.4 Diberikan pemetaan homomorpisma φ : Z → Z, diselidiki ada berapa banyak pemetaan homomorpisma tersebut. Pemetaan homomorpisma φ haruslah suatu homomorpisma grup terhadap tambah. Karena Z adalah grup siklik dibangun oleh 1, maka image dari 1 yaitu φ(1) secara lengkap menentukan φ. Dengan demikian, misalkan φ(1) = n ∈ Z. Maka didapat n = φ(1) = φ(1.1) = φ(1).φ(1) = n2 .

Jadi n2 = n di Z, hal ini ekivalen dengan n(n − 1) = 0. Tetapi, karena Z tidak memuat pembagi nol, maka n = 0 atau n = 1. Selanjutnya bila φ(1) = n = 0, maka φ(m) = 0 untuk semua m ∈ Z. Dengan demikian homomorpisma φ adalah pemetaan nol. Bila φ(1) = n = 1, maka φ(m) = m untuk semua m ∈ Z. Dengan demikian homomorpisma φ adalah pemetaan identitas. Jadi hanya ada dua pemetaan homomorpisma yang mungkin yaitu pemetaan nol dan pemetaan identitas.



Contoh 8.1.5 Diberikan pemetaan homomorpisma φ : Z6 → Z12 , diselidiki ada berapa banyak pemetaan homomorpisma tersebut. Lagi, dengan menggunakan fakta bahwa Z6 adalah grup siklik terhadap operasi tambah dengan generator [1]6 , maka φ([1]6 ) = x ∈ Z12 secara lengkap menentukan φ. Dari Proposisi 3.2.2 bagian (4) didapat |φ([1]6 )| ∈ Z12 membagi |[1]6 | = 6. Jadi |x| = 1 dan x = [0]12 , atau |x| = 2 dan x = [6]12 , atau |x| = 3 dan x = [4]12 atau x = [8]1 2, atau |x| = 6 dan x = [2]12 atau x = [10]1 2. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

237

Definisi dan Sifat-sifat Dasar..

Sebegitu jauh apa yang dibahas hanya menggunakan kondisi (1) dari pengertian homomorpisma ring. Berikutnya, digunakan kondisi (2) dalam definisi homomorpisma ring, didapat x = φ([1]6 ) = φ([1]6 .[1]6 ) = φ([1]6 ).φ([1]6 ) = x2 . Dengan demikian nilai x yang mungkin haruslah memenuhi x2 = x ∈ Z12 . (Elemen yang demikian dalam suatu ring dinamakan idempoten). Karena dalam Z12 berlaku [6]212 = [0]12 , [8]212 = [2]212 = [10]212 = [4]12 . Jadi nilai x ∈ Z12 yang mungkin hanyalah x = [0]12 dan x = [4]12 . Dengan demikian didapat φ(y) = [0]12 , ∀y ∈ Z6 atau φ(y) = [4y]12 , ∀y ∈ Z6 . Jadi hanya ada dua pemetaan homomorpisma ring yang mungkin dari Z6 ke Z12 , yaitu pemetaan nol dan pemetaan yang didefinisikan oleh φ(y) = [4y]12 , ∀y ∈ Z6 .



Dalam suatu homomorpisma ring didefinisikan kernel seperti kernel dari homomorpisma grup terhadap operasi tambah. Definisi 8.1.2 Misalkan φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring. Maka kernel dari φ adalah himpunan Ker(φ) = {x ∈ R | φ(x) = 0R′ } ⊆ R. X



Dalam beberapa contoh sudah terlihat berulang kali penggunaan sifat-fatat yang telah dikenal dari homomorpisma grup. Karena ring adalah grup terhadap operasi tambah, sifat-sifat berikut dari homomorpisma ring mengikuti Proposisi 3.2.2 dan 3.2.3. Proposisi 8.1.1 Misalkan φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring. Maka (1) φ(0R ) = 0R′ , (2) φ(−x) = −φ(x), untuk semua x ∈ R, (3) φ(nx) = nφ(x), untuk semua x ∈ R dan n ∈ Z, (4) φ adalah satu-satu bila dan hanya bila Ker(φ) = {0R }.

•X

Berikut ini dibahas beberapa sifat homomorpisma ring yang melibatkan kondisi (1) dan (2) dari definisi homomorpisma ring. Proposisi 8.1.2 Misalkan φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring. Maka (1) φ(xn ) = φ(x)n , untuk semua x ∈ R dan untuk semua n > 0, n ∈ Z. (2) Bila A adalah suatu subring dari R, maka φ(A) = {φ(x) ∈ R′ | x ∈ A} ⊆ R′ adalah suatu subring dari R′ . (3) Bila R adalah suatu ring dengan satuan 1R , maka φ(1R ) adalah suatu satuan di φ(R) dan φ(1R )2 = φ(1R ). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

238

Homomorpisma Ring..

(4) Bila R adalah suatu ring dengan satuan 1R dan x ∈ U(R) adalah suatu unit di R, maka φ(xn ) = φ(x)n di φ(R) untuk semua n ∈ Z. (5) Bila B adalah suatu subring dari R′ , maka φ−1 (B) = {x ∈ R | φ(x) ∈ B} ⊆ R adalah subring dari R dan Ker(φ) ⊆ φ−1 (B). (6) Ker(φ) adalah suatu subring dari R. (7) Bila R adalah suatu ring komutatif, maka φ(R) adalah suatu ring komutatif. Bukti (1) Untuk n = 1, didapat φ(x1 ) = φ(x) = φ(x)1 . Bila k > 0 dan φ(xk ) = φ(x)k , maka φ(xk+1 ) = φ(xk .x) = φ(xk ).φ(x) = φ(x)k .φ(x) = φ(x)k+1 . Jadi (1) terbukti melalui induksi matematika. (2) Bila A subring dari R, maka menurut Proposisi 3.2.2 bagian (5), φ(A) adalah suatu subgrup dari R′ terhadap operasi tambah. Selanjutnya untuk sebarang x, y ∈ φ(A), dapat dipilih beberapa a, b ∈ A yang memenuhi φ(a) = x dan φ(b) = y. Catatan bahwa karena A adalah subring dari R, didapat ab ∈ A. Dengan demikian xy = φ(a)φ(b) = φ(ab) ∈ φ(A).

Maka dari itu menggunakan sifat-sifat subring (Teorema 7.1.2) φ(A) adalah subring dari R′ . (3) Diberikan sebarang x ∈ φ(R) dapat dipilih beberapa a ∈ R yang memenuhi φ(a) = x. Dengan demikian didapat x.φ(1R ) = φ(a).φ(1R ) = φ(a.1R ) = φ(a) = x. Dengan cara yang sama didapat φ(1R ).x = φ(1R ).φ(a) = φ(1R .a) = φ(a) = x. Terlihat bahwa φ(1R ) adalah elemen satuan di φ(R). Selanjutnya, juga φ(1R ).φ(1R ) = φ(1R .1R ) = φ(1R ). Jadi φ(1R )2 = φ(1R ). (4) Misalkan x ∈ U(R) ⊆ R. Untuk n > 0 dari (1) didapat φ(xn ) = φ(x)n . Untuk n = 0, φ(x0 ) = φ(1R ) dari (3) didapat φ(1R ) adalah elemen satuan di φ(R) dan φ(1R ) = φ(x)0 . Maka φ(x0 ) = φ(x)0 . Untuk n = −1, didapat φ(x).φ(x−1 ) = φ(x.x−1 ) = φ(1R ) dan dari (3) merupakan elemen satuan di φ(R). Juga dengan cara yang sama didapat φ(x−1 ).φ(x) = φ(x−1 .x) = φ(1R ) adalah elemen satuan di φ(R). Hal ini berakibat φ(x)−1 = φ(x−1 ) adalah invers dari φ(x) di φ(R). Untuk sebarang n < 0, misalkan n = −s dimana s > 0. Gunakan (1) dan kasus n = −1 didapat φ(xn ) = φ(x−s ) = φ((x−1 )s ) = (φ(x−1 ))s = (φ(x)−1 )s = φ(x)−s = φ(x)n .

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

239

Definisi dan Sifat-sifat Dasar..

(5) Bila B adalah suatu subring dari R′ , maka menggunakan Proposisi 3.2.2 bagian (6) φ−1 (B) adalah subgrup dari R terhadap operasi tambah. Untuk sebarang x, y ∈ φ−1 (B) dan karena B adalah subring R′ didapat φ(xy) = φ(x)φ(y) ∈ B. Akibatnya xy ∈ φ−1 (B). Dengan menggunakan Teorema 7.1.2 maka φ−1 (B) adalah subring dari R. Selanjutnya, karena 0R′ ∈ B, maka Ker(φ) = φ−1 (0R′ ) ⊆ φ−1 (B). (6) Misalkan B = {0R′ } ⊆ R′ adalah subring trivial dari R′ . Maka dari (5) didapat φ−1 (B) = φ−1 (0R′ ) = Ker(φ) adalah subring dari R. (7) Diberikan sebarang x, y ∈ φ(R) dapat dipilih beberapa a, b ∈ R yang memenuhi x = φ(a) dan y = φ(b). Bila R adalah komutatif, maka xy = φ(a).φ(b) = φ(a.b) = φ(b.a) = φ(b).φ(a) = yx. Dengan demikian φ(R) adalah komutatif.

•X

Definisi 8.1.3 Suatu homomorpisma ring φ : R → R′ yang bijektif dinamakan isomorpima ring. Dua ring R dan R′ dikatakan isomorpik ditulis R  R′ bila ada suatu X isomorpisma φ : R → R′ .



Untuk menunjukkan bahwa dua ring adalah isomorpik mengikuti empat langkah yang telah dibahas dalam isomorpisma grup. Sebagai latihan untuk dibuktikan Proposisi 3.2.5 juga berlaku untuk isomorpisma ring. Sedangkan Proposisi 3.2.6 memberikan alat yang penting untuk menentukan apakah dua grup adalah isomorpik. Proposisi berikut memberikan beberapa hal perbandingan untuk ring melalui pengertian ring isomorpik. Bukti dapat dilakukan sebagai latihan. Proposisi 8.1.3 Diberikan ring isomorpik R  R′ . Maka (1) Ring R adalah suatu ring komutatif dan mempunyai elemen satuan bila dan hanya bila ring R′ adalah suatu ring komutatif dan mempunyai elemen satuan. (2) Himpunan R adalah suatu daerah integral bila dan hanya bila R′ juga adalah suatu daerah integral. (3) Himpunan R adalah suatu lapangan bila dan hanya bila himpunan R′ juga adalah suatu lapangan. X



Contoh 8.1.6 Untuk sebarang a, b ∈ R, misalkan matriks A(a, b) ∈ M(2, R) didefinisikan oleh " # b def a A(a, b) = . −b a

Misalkan R = {A(a, b) | a, b ∈ R} ⊆ M(2, R). Dapat ditunjukkan bahwa R  C sebagai berikut. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

240

Homomorpisma Ring..

(1) Misalkan pemetaan φ : R → C didefinisikan oleh φ(A(a, b)) = a + bi ∈ C untuk setiap A((a, b)) ∈ R. (2) Ditunjukkan bahwa φ adalah suatu homomorpisma ring. Untuk operasi tambah, didapat " # " # a b c d φ(A(a, b) + A(c, d)) = φ( + ) −b a −d c " # a+c b+d = φ( ) −(b + d) a + c = φ(A(a + c, b + d)) = (a + c) + (b + d)i = (a + bi) + (c + di) = φ(A(a, b)) + φ(A(c, d)). Sedangkan untuk perkalian didapat φ(A(a, b).A(c, d)) = = = = = =

# " # " a b c d . ) φ( −b a −d c " # ac − bd ad + bc φ( ) −(ad + bc) ac − bd φ(A(ac − bd, ad + bc)) (ac − bd) + (ad + bc)i (a + bi).(c + di) φ(A(a, b)).φ(A(c, d)).

Terlihat bahwa φ adalah suatu homomorpisma ring. (3) Pemetaan φ adalah satu-satu, sebab φ(a, b) = a + bi = 0 bila dan hanya bila a = b = 0. Dengan demikian Ker(φ) = {A(0, 0)} adalah trivial subring dari R. (4) Pemetaan φ adalah pada, sebab diberikan sebarang a + bi ∈ C dapat dipilih matriks A(a, b) ∈ R yang memenuhi φ(A(a, b)) = a + bi.



Contoh berikut merupakan bahasan di akhir bagian ini. Contoh ini memberikan suatu pemahaman yang penting bahwa suatu permasalahan yang sangat sulit bisa diselesaikan dengan memahami pengertian-pengertian dan sifat-sifat yang telah dibahas. Contoh 8.1.7 Ditunjukkan bahwa persamaan 2x3 − 5x2 + 7x − 8 = 0 tidak mempunyai penyelesaian untuk semua x ∈ Z. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut. Misalkan φ : Z → Z3 homomorpisma natural φ(x) = x mod 3 untuk semua x ∈ Z. Andaikan ada suatu a ∈ Z yang memenuhi 2a3 − 5a2 + 7a − 8 = 0. Maka [0]3 = φ(0) = φ(2a3 − 5a2 + 7a − 8) = 2φ(a)3 − 5φ(a)2 + 7φ(a) − 8.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

241

Definisi dan Sifat-sifat Dasar..

Karena −5 ≡ 7 ≡ −8 ≡ 1 mod 3, didapat 2φ(a)3 − 5φ(a)2 + 7φ(a) − 8 = 2φ(a)3 + φ(a)2 + 1φ(a) + 1. Bila b = φ(a) ∈ Z3 , maka 2b3 + b2 + b + 1 = [0]3 . Tetapi mudah diselidiki bahwa untuk b = [0]3 , [1]3 , [2]3 , maka 2b3 + b2 + b + 1 , [0]3 . Hal ini bertentangan dengan kenyataan 2b3 + b2 + b + 1 = [0]3 . Dengan demikian tidak ada bilangan bulat a ∈ Z yang memenuhi 2a3 −5a2 +7a−8 = 0. Jadi persamaan 2x3 −5x2 +7x−8 = 0 tidak mempunyai penyelesaian di Z.



Latihan Latihan 8.1.1 Dapatkan semua homomorpisma yang mungkin diantara ring berikut. 1. φ : Z → Z3 4. φ : Z6 √ → Z10 √ 7. φ : Q( 2) → Q( 2)

2. φ : 3Z → Z 5. φ : Z12√→ Z6 √ 8. φ : Q( 2) → Q( 3)

3. φ : Z4 → Z6 6. φ : Q → Q 9. φ : Z[i] → C.

•X

Latihan 8.1.2 Tunjukkan bahwa Zm × Zn dan Zmn adalah ring isomorpik bila dan hanya X bila m dan n adalah prima relatif.



Latihan 8.1.3 Untuk sebarang a, b ∈ Z, misalkan B(a, b) ∈ M(2, Z) didefinisikan oleh " # def a 3b B(a, b) = . b a Bila S = {B(a, b) | a, b ∈ Z} ⊆ M(2, Z), maka tunjukkan bahwa √ √ S  Z[ 3] = {a + b 3 | a, b ∈ Z}.

•X

Latihan 8.1.4 Tunjukkan bahwa R dan C tidak merupakan ring isomorpik.

•X

Latihan 8.1.5 Tunjukkan bahwa bila R1  R2 ring isomorpik, maka kar(R1 ) = kar(R2 ). X √ √ Latihan 8.1.6 Tunjukkan bahwa Q( 3) dan Q( 5) tidak merupakan ring isomorpik. X

• •

Latihan 8.1.7 Misalkan R adalah suatu ring komutatif dengan kar(R) = p dimana p adalah prima. Tunjukkan bahwa pemetaan φ : R → R didefinisikan oleh φ(x) = xp , untuk semua x ∈ R adalah suatu homomorpisma ring (φ dinamakan pemetaan Frobenius). X



Latihan 8.1.8 Diberikan ring R1 dan R2 . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

242

Homomorpisma Ring..

(a) Misalkan φ : R1 × R2 → R1 didefinisikan oleh φ(a, b) = a. Tunjukkan bahwa φ adalah suatu homomorpisma ring. (b) Tunjukkan bahwa R1 × R2  R2 × R1 .

•X

Latihan 8.1.9 Tunjukkan bahwa relasi isomorpisma  adalah suatu relasi ekivalen pada klas dari semua ring. X



Latihan 8.1.10 Tunjukkan bahwa x3 + 10x2 + 6x + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian di Z. X



Latihan 8.1.11 Selidiki apakah x3 + 6x2 + 22x + 1 = 0 mempunyai suatu penyelesaian di X Z.



8.2 Ideal Dalam kasus suatu homomorpisma grup φ : G → G′ , kernel Ker(φ) adalah suatu subgrup dari G dengan sifat bahwa setiap koset kiri adalah suatu koset kanan. Dinamakan subgrup yang demikian adalah subgrup normal. Dari kajian subgrup normal telah ditunjukkan bahwa memberikan hasil grup kuasi (grup pecahan). Hal yang sama untuk kasus dari suatu homomorpisma ring φ : R → R′ , sebagaimana telah ditunjukkan Ker(φ) adalah suatu subring dari ring R. Faktanya, Ker(φ) adalah suatu subring dengan suatu sifat ekstra yang akan memberikan pengertian dari suatu ring kuasi (ring pecahan). Contoh 8.2.1 Misalkan K = Ker(φ), dimana φ adalah suatu homomorpisma φ : Z → Z2 didefinisikan oleh φ(x) = x mod 2, ∀x ∈ Z. Dalam hal ini K = 2Z ⊆ Z. Perhatikan bahwa untuk sebarang n ∈ Z dan sebarang k = 2x ∈ K didapat φ(nk) = φ(n.2x) = φ(n).φ(2x) = [0]2 dan φ(kn) = φ(2x.n) = φ(2x).φ(n) = [0]2 . Hal ini menunjukkan bahwa untuk sebarang n ∈ Z dan k ∈ K didapat nk ∈ K dan kn ∈ K. Sifat ini berlaku untuk kernel dari sebarang homomorpisma ring sebagaimana ditunjukkan berikut ini.



Proposisi 8.2.1 Misalkan φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring dan K = Ker(φ). Maka (1) K adalah suatu subring dari R. (2) Untuk semua r ∈ R dan semua k ∈ K, maka rk ∈ K dan kr ∈ K. Bukti c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

243

Ideal..

(1) Telah ditunjukkan dalam Proposisi 8.1.2 bagian (6) bahwa Ker(φ) adalah subring dari R. (2) Misalkan sebarang r ∈ R dan sebarang k ∈ K. Maka didapat φ(rk) = φ(r)φ(k) = φ(r).0R′ = 0R′ dan φ(kr) = φ(k)φ(r) = 0R′ .φ(r) = 0R′ . Terlihat bahwa rk ∈ K dan kr ∈ K.

•X

Definisi 8.2.1 Misalkan R adalah suatu ring dan I adalah suatu himpunan bagian takkosong dari R. Maka I dinamakan suatu ideal dari R bila (1) I adalah suatu subring dari R. (2) Untuk semua r ∈ R dan semua x ∈ I maka rx ∈ I dan xr ∈ I.

•X

Kesimpulan 8.2.1 Misalkan φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring dengan K = Ker(φ). Maka K adalah suatu ideal dari R. Bukti Langsung dari Proposisi 8.2.1 dan Definisi 8.2.1.

•X

Contoh 8.2.2 Diselidiki semua ideal dari Z. Bila I adalah suatu ideal dari Z, maka menurut Definisi 8.2.1 bagian (1), I adalah subring dari Z. Jadi I = nZ untuk beberapa n ≥ 1 dan misalkan sebarang a ∈ Z dan sebarang b ∈ I. Didapat b = nk untuk beberapa k ∈ Z dan ab = a(nk) = n(ak) ∈ nZ = I juga

ba = (nk)a = n(ak) ∈ nZ = I.

Terlihat bahwa I adalah suatu ideal dari Z. Jadi semua ideal dari Z adalah nZ untuk sebarang n ≥ 1.



Contoh berikut menjelakan bahwa supaya tidak membuat kesimpulan yang salah. Yaitu semua subring dari suatu ring yang diberikan tidak harus merupakan suatu ideal dari ring tersebut. Contoh 8.2.3 Himpunan Z adalah suatu subring dari Q, tetapi bukan suatu ideal dari Q. Sebab, untuk 1/2 ∈ Q dan 5 ∈ Z didapat (1/2).5 < Z.



Contoh 8.2.4 Dalam sebarang ring R, himpunan {0R } adalah suatu ideal dari R yang dinamakan ideal trivial dan R sendiri adalah suatu ideala dari R yang dinamakan ideal sejati.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

244

Homomorpisma Ring..

Contoh 8.2.5 Misalkan R adalah suatu ring komutatif dan sebarang a ∈ R. Didefinisikan ideal utama yang dibangun oleh a, dinotasikan oleh hai sebagai berikut def

hai = {ra | r ∈ R}. Dengan kata lain hai adalah kelipatan dari semua a dengan sebarang elemen r ∈ R. Catatan bahwa hai adalah suatu ideal dari R sebab memenuhi kondisi ideal yaitu: (1) Diberikan sebarang x dan y di hai dapat dipilih beberapa r dan s di R yang memenuhi x = ra dan y = sa. Juga x − y = ra − sa = (r − s) a ∈ hai |{z} ∈R

dan xy = ra.sa = (ras) a ∈ hai . |{z} ∈R

Terlihat bahwa hai adalah subring dari R.

(2) Untuk sebarang r ∈ R dan sebarang x = sa ∈ hai didapat rx = r(sa) = (rs) a ∈ hai |{z} ∈R

dan xr = rx = r(sa) = (rs) a ∈ hai . |{z} ∈R



Contoh 8.2.6 Setiap ideal di Z adalah suatu ideal utama. Dari Contoh 8.2.2 didapat bahwa setiap ideal dari Z adalah I = nZ untuk n ≥ 1. Jadi I = hni adalah ideal utama yang dibangun oleh n.



Contoh 8.2.7 Diselidiki semua ideal dari Q. Misalkan I , {0} adalah suatu ideal nontrivial dari Q. Jadi ada suatu elemen a ∈ I dengan a , 0. Karena a ∈ Q∗ = Q − {0} dan Q adalah suatu lapangan, maka a adalah suatu unit. Dengan kata lain, ada invers terhadap perkalian a−1 ∈ Q yang memenuhi a−1 a = 1. Tetapi karena a−1 ∈ Q, a ∈ I dan I adalah ideal, didapat 1 = a−1 a ∈ I.

Lagi, dengan menggunakan fakta bahwa I adalah suatu ideal dan diberikan sebarang b ∈ Q didapat b = b.1 ∈ I. Jadi Q ⊂ I, hal ini berakibat I = Q. Maka dari itu, hanya {0} dan Q yang merupakan ideal dari Q.



Contoh ini adalah kesimpulan yang mencolok. Bila secara teliti apa yang dibahas dalam contoh kuncinya adalah fakta bahwa a , 0 berakibat a adalah suatu unit. Dengan kata lain Q adalah suatu lapangan. Dengan demikian proposisi berikut ini bukan sebagai suatu kejutan. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

245

Ideal..

Proposisi 8.2.2 Misalkan R adalah suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan. Maka R adalah suatu lapangan bila dan hanya bila ideal dari R hanyalah {0R } dan R sendiri. Bukti (⇒) Bila R adalah suatu lapangan dan ideal I , {0R } adalah suatu ideal dari R. Maka ada suatu elemen a ∈ I dan a , 0R . Karena R suatu lapangan, maka setiap elemen taknol adalah unit. Juga karena I adalah ideal dari R, maka 1 = a−1 a ∈ I. Maka dari itu, untuk semua r ∈ R didapat r = r.1 ∈ I. Jadi R ⊆ I, akibatnya R = I. (⇐) Misalkan R adalah suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan. Untuk menunjukkan R adalah suatu lapangan cukup ditunjukkan bahwa semua elemen taknol di R adalah unit. UNtuk itu, misalkan 0R , a ∈ R dan I = hai adalah ideal utama yang dibangun oleh a. Jelas bahwa I , {0R } sebab 0R , a ∈ I. Bila ideal dari R hanyalah {0R } dan R sendiri. Maka I = R. Sebagaimana telah diketahui bahwa R adalah suatu ring dengan satuan, maka 1 ∈ I = hai. Dapat dipilih r = a−1 ∈ R yang memenuhi 1 = ra = a−1 a. Dengan demikian a adalah elemen unit sebagaimana dikehendaki. X



Dari Proposisi 8.2.2 didapat bahwa ideal dari lapangan Q, R, C dan Zp dimana p adalah prima hanyalah ideal trivial dan ideal sejati. Contoh 8.2.8 Diberikan ideal I = 5Z dari R = Z. Sebagaimana telah diketahui Z adalah grup komutatif terhadap tambah dengan demikian 5Z adalah suatu subgrup normal dan didapat Z/5Z = {5Z, 1 + 5Z, 2 + 5Z, 3 + 5Z, 4 + 5Z} adalah grup terhadap operasi tambah pada koset di Z/5Z:

(a + 5Z) + (b + 5Z) = (a + b) + 5Z. Selanjutnya secara natural perkalian koset mengikuti operasi tambah pada koset adalah (a + 5Z).(b + 5Z) = (ab) + 5Z. Perkalian koset tersebut diselidiki apakah terdefinisi secara baik. Bila x + 5Z = a + 5Z dan y + 5Z = b + 5Z, maka x ∈ a + 5Z dan

y ∈ b + 5Z

Jadi x = a + 5k Dengan demikian didapat

dan

y = b + 5 j, untuk beberapa k, j ∈ Z.

xy = (a + 5k)(b + 5 j) = ab + b(5k) + a(5 j) + (5k)(5 j) . | {z } ∈5Z

Terlihat bahwa xy ∈ ab + 5Z akibatnya xy + 5Z = ab + 5Z. Jadi perkalian koset terdefinisi dengan baik.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

246

Homomorpisma Ring..

Suatu ring adalah suatu grup terhadap operasi tambah dan suatu ideal I dalam R adalah subring dari R. Maka dari itu I adalah suatu subgrup dari R terhadap operasi tambah. Karena R adalah grup komutatif terhadap operasi tambah, maka I adalah suatu subgrup normal dari R terhadap operasi tambah. Menurut Teorema 3.4.1 dan Proposisi 3.4.1 bagian (3), R/I adalah suatu grup komutatif terhadap operasi tambah pada koset di R/I. Dalam Lemma 3.4.1 ditunjukkan bahwa suatu subgrup adalah subgrup normal ekivalen dengan operasi yang didefinisikan pada koset adalah terdefinisi secara baik. Pada pembahasan berikut ditunjukkan bahwa suatu subring yang merupakan suatu ideal adalah ekivalen dengan operasi perkalian koset terdefinisi secara baik. Yang demikian ini sama halnya membandingkan Lemma 3.4.1 dengan Lemma 8.2.1 dan Teorema 3.4.1 dengan Teorema 8.2.1. Lemma 8.2.1 Misalkan I adalah suatu subring dari suatu ring R. Maka I adalah suatu ideal dari R bila dan hanya bila perkalian (a + I)(b + I) = (ab) + I adalah suatu operasi terdefinisi secara baik pada koset dari I dalam R. Bukti (⇒) Asumsikan I adalah suatu ideal dalam R selanjutnya misalkan a1 + I = a2 + I dan b1 + I = b2 + I. Hal ini berakibat bahwa a1 = a2 + k dan b1 = b2 + j untuk beberapa k, j ∈ I. Maka a1 b1 = a2 b2 + a2 j + kb2 + kj. Karena I adalah suatu subring dari R, maka tertutup terhadap operasi tambah dan perkalian, jadi kj ∈ I. Karena I adalah suatu ideal , maka a2 j ∈ dan kb2 ∈ I. Dengan demikian a2 j + kb2 + jk ∈ I. Maka dari itu a1 b1 ∈ (a2 b2 ) + I (hal ini juga berarti bahwa a1 b1 ∼ a2 b2 ) dan dengan menggunakan Teorema 3.1.2 didapat (a1 b1 ) + I = (a2 b2 ) + I. Jadi perkalian pada himpunan dari elemen koset dari I terdefinisi secara baik. (⇐) Asumsikan operasi perkalian koset terdefinisi secara baik. Dibutuhkan untuk membuktikan bahwa untuksemua r ∈ R dan x ∈ I berlaku rx ∈ I dan xr ∈ I. Untuk hal demikian, misalkan r ∈ R dan x ∈ I. Karena x ∈ I, dengan menggunakan Teorema 3.1.2 didapat x + I = 0R + I. Akibatnya rx + I = (r + I)(x + I) = (r + I)(0R + I) = 0R + I = I. Lagi dengan menggunakan Teorema 3.1.2 terlihat bahwa rx ∈ I. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa xr ∈ I. Dengan demikian I adalah suatu daerah integral dalam R. X



Teorema 8.2.1 Misalkan I adalah suatu ideal dalam suatu ring R. Maka R/I adalah suatu ring terhadap operasi yang didefiniskan oleh (1) (a + I) + (b + I) = (a + b) + I

dan (2) (a + I).(b + I) = (ab) + I,

untuk semua a + I, b + I ∈ R/I. Bukti c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

247

Ideal..

(1) Sudah ditunjukkan bahwa R/I berdasarkan Teorema 3.4.1 dan Proposisi 3.4.1 bagian (3), R/I adalah suatu grup komutatif terhadap operasi tambah pada koset di R/I. (2) Berdasarkan Lemma 8.2.1 perkalian koset terdefinisi secara baik dan dengan definisi ini operasi perkalian tertutup. (3) Untuk sebarang a + I, b + I, c + I ∈ R/I, dengan menggunakan fakta bahwa perkalian dalam R adalah asosiatif, didapat [(a + I)(b + I)](c + I) = = = = =

((ab) + I)(c + I) (ab)c + I a(bc) + I (a + I)((bc) + I) (a + I)[(b + I)(c + I)].

Jadi perkalian dalam R/I adalah asosiatif. (4) Sifat distributif dalam R/I juga dipenuhi dan pembuktian bisa digunakan sebagai latihan. X



Definisi 8.2.2 Misalkan I adalah suatu ideal dalam suatu ring R. Maka R/I terhadap operasi yang telah diberikan dalam Teorema 8.2.1 dinamakan ring kuasi dari R oleh I. X



Proposisi berikut sebagai akibat langsung dari Definisi 8.2.2 dalam ring kuasi R/I berkaitan dengan operasi perkalian. Proposisi 8.2.3 Misalkan I adalah suatu ideal dalam suatu ring komutatif R dengan elemen satuan 1R . Maka R/I adalah suatu ring komutatif dengan elemen satuan 1R + I.

Bukti Sudah ditunjukkan bahwa dalam Teorema 8.2.1 R/I terhadap operasi tambah dan perkalian pada koset di R/I adalah suatu ring. Karena R suatu ring komutatif, maka untuk sebarang a + I, b + I ∈ R/I didapat (a + I)(b + I) = (ab) + I = (ba) + I = (b + I)(a + I). Hal ini menunjukkan bahwa R/I adalah suatu ring komutatif. Karena 1R adalah elemen satuan di R dan R/I adalah suatu ring komutatif, maka untuk semua a + I ∈ R/I didapat (1R + I)(a + I) = (1R .a) + I = a + I dan (a + I)(1R + I) = (a.1R ) + I = a + I. Hal ini menunjukkan bahwa 1R +I adalah elemen satuan di R/I. Dengan demikian maka R/I adalah suatu ring komutatif dengan elemen satuan 1R + I. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

248

Homomorpisma Ring..

Berikut ini diberikan teorema berkaitan dengan isomorpisma ring. Teorema 8.2.2 (Teorema Isomorpisma Pertama Untuk Ring) Misalkan φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring dengan kernel K = ker(φ). Maka R/K  φ(R). Bukti Juga karena φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma grup terhadap operasi "+", maka pemetaan χ : R/K → φ(R) didefinisikan oleh χ(a+K) = φ(a) adalah suatu pemetaan isomorpisma grup (Torema 3.4.2). Selanjutnya hanya dibutuhkan bahwa pemetaan χ adalah suatu homomorpisma ring dengan kata lain bahwa diselidiki terhadap operasi "perkalian". Misalkan a + K dan b + K adalah sebarang elemen di R/K dan karena φ adalah suatu homomorpisma ring maka didapat χ[(a + K)(b + K)] = χ(ab + K) = φ(ab) = φ(a)φ(b) = χ(a + K)χ(b + K). dengan demikian lengkap sudah bukti.

•X

Teorema 8.2.3 Diberikan suatu ring R dan suatu ideal K di R, ada suatu homomorpisma pada φ : R → R/K dengan ker(φ) = K. Bukti Digunakan Teorema 3.4.3, maka pemetaan φ : R → R/K yang didefinisikan oleh φ(a) = a + K adalah suatu homomorpisma grup terhadap operasi "+" dengan ker(φ) = K. Selanjutnya tinggal hanya menyelidiki terhadap operasi perkalian. Misalkan sebarang a, b ∈ R, maka φ(ab) = ab + K = (a + K)(b + K) = φ(a)φ(b). Terlihat bahwa φ adalah suatu homomorpisma ring. Terakhir, dengan menggunakan Teorema 8.2.2 maka φ adalah pemetaan pada. X



Teorema berikut menunjukkan bahwa suatu homomorpisma ring mempertahan ideal. Teorema 8.2.4 Misalkan bahwa φ : R → R′ adalah suatu homomorpisma ring. Maka (1) Bila I adalah suatu idealdi R, maka φ(I) adalah suatu ideal di φ(R). (2) Bila J adalah suatu ideal di R′ , maka φ−1 (J) = {r ∈ R | φ(r) ∈ J} adalah suatu ideal di R dengan ker(φ) ⊆ φ−1 (J). Bukti Latihan.

•X

Bila Toerama 8.2.4 digunakan pada homomorpisma φ : R → R/K sebagaimana didefinisikan dalam Teorema 8.2.3, maka terdapat korespondensi diantara ideal di R/K dengan ideal di R yang memuat K. Proposisi 8.2.4 Misalkan K adalah suatu ideal dalam suatu ring R. Maka (1) Diberikan suatu ideal I di R dengan K ⊆ I, maka I∗ = I/K = {a + K | a ∈ I} adalah suatu ideal di R/K. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

249

Ideal..

(2) Diberikan suatu ideal J∗ di R/K, maka ada suatu ideal J di R dengan K ⊆ J yang memenuhi J∗ = J/K = {a + K | a ∈ J}. (3) Diberikan ideal I dan J di R keduanya memuat K, maka I ⊆ J bila dan hanya bila I/K ⊆ J/K. Bukti Bukti (1) dan (2) langsung dari Teorema 8.2.4 dan Teorema 8.2.3. (3) Bila I ⊆ J, maka I/K = {a + K | a ∈ I} ⊆ {a + K | a ∈ J} = J/K.

Bila I/K ⊆ J/K, maka untuk sebarang a ∈ I didapat a + K ∈ I/K dengan demikian a + K ∈ J/K. Jadi a + K = b + K untuk beberapa b ∈ J. Karena a ∈ a + K, maka a ∈ b + K. Jadi a = b + k untuk beberapa k ∈ K. Karena K ⊆ J, maka k ∈ J dan b + k ∈ J. Jadi a ∈ J, hal ini menunjukkan bahwa I ⊆ J. X



Contoh 8.2.9 Dalam Z diberikan dua ideal 5Z dan 6Z, maka dengan menggunakan Lemma Euclide 1.3.2 bila b dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi bc ∈ 5Z, maka 5|b dalam hal ini b ∈ 5Z atau 5|c dan dalam hal ini c ∈ 5Z. Dilain pihak, dapat dipilih bilangan bulat x dan y yang memenuhi x < 6Z dan y < 6Z tetapi xy ∈ 6Z, misalnya x = 4 dan y = 9.Perlu diperhatikan bahwa homomorpisma ring φ : Z → Zn yang didefinisikan oleh φ(x) = [x]n , maka Z/nZ  Zn . Jadi Z/5Z adalah daerah integral, sedangkan Z/6Z adalah ring yang mempunyai pembagi nol. Selanjutnya tinjau dua ideal 5Z dan 6Z. Catatan bahwa 6Z ⊂ 3Z ⊂ Z dimana 6Z , 3Z dan 3Z , Z. Misalkan bahwa J adalah suatu ideal dimana 5Z ⊆ J ⊆ Z. Pilih suatu bilangan bulat n yang memenuhi J = nZ. Karena 5Z ⊆ J = nZ, maka 5 ∈ nZ atau 5 = nk untuk beberapa k ∈ Z. Hal ini memberikan n = 5 dan k = 1, sehingga didapat 5Z = J atau n = 1 dan k = 5 dalam hal ini J = Z.



Contoh 8.2.9 memberikan penjelasan dari bahasan berikut berkaitan dengan dua macam ideal yang khusus. Definisi 8.2.3 Suatu ideal sejati taktrivial I , R dalam suatu ring komutatif R dinamakan suatu ideal prima bila ab ∈ I berakibat bahwa a ∈ I atau b ∈ I untuk semua a dan b di R. X



Definisi 8.2.4 Suatu ideal sejati taktrivial I , R dalam suatu ring komutatif R dinamakan suatu ideal maximal bila hanya ideal J di R yang memenuhi I ⊆ J ⊆ R, maka J = I atau J = R. X



Dalam Contoh 8.2.9, maka ideal 5Z dalam Z adalah ideal prima sekaligus ideal maksimal. Sedangkan ideal 6Z bukan keduanya. Contoh 8.2.10 Dalam ring Z ideal I adalah suatu ideal prima bila dan hanya bila I = pZ, dimana p adalah suatu bilangan bulat prima. Bila p adalah suatu bilangan bulat prima c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

250

Homomorpisma Ring..

dan ab ∈ pZ, maka dengan menggunakan Lemma Euclide 1.3.2 didapat a ∈ pZ atau b ∈ pZ. Jadi I = pZ adalah ideal prima dalam Z. Sebaliknya, bila I = nZ dimana n > 1 bukan suatu ideal prima, maka n = uv untuk beberapa bilangan positip u, v < n. Jadi uv ∈ nZ sedangkan u < nZ dan v < nZ. Dengan demikian nZ bukan suatu idealprima.



Contoh 8.2.11 Dalam ring Z ideal I adalah suatu ideal maximal bila dan hanya bila I ideal prima. Bila I = pZ adalah ideal prima dan pZ = I ⊆ rZ ⊆ Z, maka p = rk untuk beberapa k ∈ Z. Didapat r = p dan k = 1, maka rZ = pZ = I atau r = 1 dan k = p, dalam hal ini rZ = 1Z = Z. Hal ini menunjukkan bahwa I = pZ adalah ideal maksimal. Sebaliknya, bila I = nZ, n > 1 bukan suatu ideal prima, maka n bukan bilangan bulat prima. Jadi n = uv untuk beberapa bilangan bulat positip u, v dimana 1 < u < n dan 1 < v < n. Maka I = nZ ⊂ uZ ⊆ Z, dimana nZ , uZ (sebab u < n) dan uZ , Z (sebab 1 < u). Jadi I = nZ bukan ideal maksimal.



Contoh 8.2.12 Contoh ini menjelaskan bahwa ideal prima dan ideal maksimal tidak selalu sama. Dalam ring R = Z × Z, tinjau ideal I = Z × {0} = {(n, 0) | n ∈ Z}. Diberikan sebarang x = (n1 , m1) dan y = (n2 , m2 ) elemen di R yang memenuhi xy ∈ I. Maka (n1 n2 , m1m2 ) = (n1 , m1 )(n2 , m2) = xy ∈ I,

akibatnya m1 m2 = 0. Tetapi, karena Z tidak memuat pembagi nol maka m1 = 0, jadi x = (n1 , 0) ∈ I atau m2 = 0 jadi y = (n2 , 0) ∈ I. Dengan demikian I adalah ideal prima, tetapi bukan ideal maksimal sebab I = Z × {0} ⊂ Z × 2Z ⊂ Z × Z = R, dimana Z × {0} , Z × 2Z dan Z × 2Z , Z × Z sedangkan Z × 2Z adalah suatu ideal di R.



Pentingnya pengertian ideal prima dan ideal maksimal menjadi jelas dalam teorema berikut. Teorema 8.2.5 Misalkan R adalah suatu ring komutatif disertai elemen satuan dan I adalah suatu ideal di R. Maka (1) I adalah ideal prima di R bila dan hanya bila R/I adalah suatu daerah integral, (2) I adalah ideal maksimal bila dan hanya bila R/I adalah suatu lapangan. Bukti Dari informasi Teorema 8.2.1 dan Proposisi 8.2.3 R/I adalah suatu ring komutatif disertai elemen satuan. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

251

Ideal..

(1) Maka R/I adalah suatu daerah integral bila dan hanya bila R/I tidak memuat pembagi nol. Kondisi ini ekivalen dengan kondisi bahwa (a + I)(b + I) = I bila dan hanya bila a + I = I atau b + I = I. Jadi R/I adalah suatu daerah integral bila dan hanya bila ab + I = I berakibat bahwa a + I = I atau b + I = I. Dengan kata lain bila dan hanya bila ab ∈ I berakibat bahwa a ∈ I atau b ∈ I yang artinya bahwa I adalah suatu ideal prima. (2) Dengan menggunakan Proposisi 8.2.2 maka R/I adalah suatu lapangan bila dan hanya bila ideal di R/I adalah {0} = I dan R/I sendiri. Misalkan R/I adalah suatu lapangan dan tinjau sebarang ideal J di R yang memenuhi I ⊆ J ⊆ R. Dengan menggunakan Proposisi 8.2.4 maka, {0} ⊆ J/I ⊆ R/I dan J/I adalah suatu ideal di R/I. Jadi J/I = {0} dalam hal ini J = I, atau J/I = R/I dalam kasus ini J = R. Jadi I adalah ideal maksimal. Sebaliknya, misalkan bahwa I adalah ideal maksimal di R dan tinjau sebarang ideal J∗ di R/I. Lagi gunakan Proposisi 8.2.4 maka, J∗ = J/I untuk beberapa ideal J di R yang memenuhi I ⊆ J ⊆ R. Karena I adalah suatu ideal maksimal maka J = I dalam kasus ini J∗ = {0} atau J = R dalam kasus ini J∗ = R/I. Jadi R/I adalah suatu lapangan. X



Kesimpulan 8.2.2 Dalam suatu ring komutatif disertai elemen satuan, setiap ideal maksimal adalah ideal prima. Bukti Bila I adalah suatu ideal maksimal di R, maka R/I adalah suatu lapangan. Setiap lapangan adalah suatu daerah integral, jadi R/I adalah daerah integral. Dengan demikian I adalah suatu ideal prima. X



Contoh 8.2.13 Misalkan φ : Z × Z → Z adalah suatu ring homorpisma didefinisikan oleh φ(m, n) = n, ∀(m.n) ∈ Z × Z. Maka ker(φ) = Z × {0} dan dengan menggunakan Teorema 8.2.2 didapat (Z × Z)/(Z × {0})  Z yang merupakan daerah integral, tetapi bukan suatu lapangan. Hal ini sesuai dengan bahasan dalam Contoh 8.2.12 bahwa Z×{0} adalah suatu ideal prima tetapi bukan suatu ideal maksimal.



Contoh 8.2.14 Misalkan φ : Z × Z → Z3 adalah homomorpisma ring didefinisikan oleh φ(m, n) = [n]3 , ∀(m, n) ∈ Z × Z.

Maka ker(φ) = Z × 3Z dan (Z × Z)/(Z × 3Z)  Z3 yang mana adalah suatu lapangan. Jadi Z × 3Z adalah suatu ideal maksimal di Z × Z.



Teorema 8.2.5 memberikan suatu korespondensi diantara ideal-ideal prima atau idealideal maksimal. Disamping itu juga, ring-ring kuasi yang merupakan daerah integral atau lapangan. Dalam bab berikutnya, teorema tersebut terlihat sangat penting sebagai dasar untuk pengkonstruksian contoh-contoh baru dari daerah integral dan lapangan. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

252

Homomorpisma Ring..

Latihan 8.3 Lapangan dari Kuasi Ring dari himpunan bilangan bulat Z adalah contoh dasar dari suatu daerah integral yang bukan lapangan. Hanya elemen −1 dan 1 yang merupakan elemen unit dalam Z. Apapun itu, diketahui bahwa invers terhadap perkalian dari elemen-elemen bilangan bulat taknol yang lain ada diluar Z yaitu elemen-elemen di Q yang merupakan lapangan dari himpunan bilangan rasional. Dalam bagian ini dibahas hubungan yang mirip diantara Z dan Q. Diamati pengkonstruksian Q dari Z yang merupakan fakta bahwa Z adalah daerah integral. Pengamatan ini mengijinkan untuk mengkonstruksi suatu lapangan melalui sebarang daerah integral sebagai mana cara lapangan Q dikonstruksi melalui Z. Contoh 8.3.1 Dibahas pengkonstruksian lapangan dari himpunan bilangan rasional Q dari ring himpunan bilangan bulat Z. Untuk memulainya, ditinjau himpunan semua ungkapan pecahan S dari pembilang dan penyebut yang merupakan bilangan bulat:   a S= a, b ∈ Z dan b , 0 . b Untuk memperoleh semua bilangan rasional dari S dibutuhkan perhitungan fakta bahwa suatu bilangan rasional dapat disajikan oleh banyak pecahan yang berbeda. Misalnya 1 2 3 4 5 6 = = = = = ··· 2 4 6 8 10 12 Perlu diperhatikan bahwa kondisi a/b = c/d adalah ekivalen dengan ad = bc. (1) Pada himpunan S, didefinisikan suatu relasi "∼" oleh a c ∼ bila dan hanya bila ad = bc. b d Dapat ditunjukkan bahwa relasi "∼" adalah suatu relasi ekivalen sebagaimana berikut. a a (i) Karena ab = ba, maka ∼ . b b c a a c (ii) Bila ∼ , maka ad = bc. Hal ini berkibat bahwa cb = da, jadi ∼ . b d d b (iii) Bila a c c e ∼ dan ∼ , b d d f maka ad = bc dan c f = de. Hal ini berakibat bahwa 0 = bc f − bc f = (ad) f − b(ed) = (a f − be)d

e a Karena d , 0 dan Z tidak memuat pembagi nol, maka a f = be atau ∼ . b f Terlihat bahwa "∼" adalah relasi ekivalen. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

253

Lapangan dari Kuasi..

Ketika ditulis bilangan rasional 1/2 apa yang dimaksud dengan klas ekivalen [1/2] dan dengan cara yang sama untuk bilangan rasioanl lainnya, misalnya )   ( 3 3k k ∈ Z, k , 0 . = 5 5k Dengan demikian himpunan semua bilangan rasional dapat digambarkan sebagai himpunan klas ekivalen   a Q = [ ] a, b ∈ Z, b , 0 . b

(2) Operasi pada Q diberikan sebagai berikut a c ad + bc [ ]+[ ]=[ ] b d bd

dan

a c ac [ ].[ ] = [ ]. b d bd

Operasi yang diberikan adalah terdefinisi secara baik (well defined). Dengan kata lain operasi tersebut hasilnya adalah bebas dari pilihan penyajian yang diberikan dalam klas ekivalen dan untuk memudahkan pengoperasiannya penulisan [ ba ] ditulis sebegai ba . Bila c c′ a a′ = ′ dan = ′, b b d d ′ ′ ′ ′ maka ab = a b dan cd = c d. Didapat (ad + bc)(b′ d′ ) = = = =

(ab′ )dd′ + bb′ (cd′ ) (a′ b)dd′ + bb′ (c′ d) (a′ d′ + b′ c′ )(bd) (bd)(a′ d′ + b′ c′ ).

Hal ini menunjukkan bahwa a c ad + bc a′ d′ + b′ c′ a′ b′ + = = = ′ + ′, b d bd b′ d′ b d dengan demikian menunjukkan bahwa operasi penjumlahan adalah well defined. ′ ′ ac Juga didapat acb′ d′ = a′ c′ bd atau bd ∼ ba′ dc ′ . Terlihat bahwa perkalian juga well defined. (3) Elemen nol di Q adalah [ 0b ] atau ditulis 0b dengan 0 , b ∈ Z dan invers dari ba terhadap operasi "tambah" adalah − ba . Elemen satuan di Q adalah aa untuk a , 0 dan untuk a , 0 invers dari ab terhadap operasi "perkalian" adalah ba . Ring Z isomorpik dengan subring dari Q yang mempunyai elemen-elemen berbentuk 1a untuk s ∈ Z.



Pembahasan mengenai lapangan Q merupakan suatu petunjuk untuk pengkosntruksian suatu lapangan yang demikian melalui sebarang daerah integral. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

254

Homomorpisma Ring..

Lemma 8.3.1 Misalkan D adalah suatu daerah integral dan misalkan S = {(a, b) | a, b ∈ D, b , 0}. Didefinisikan suatu relasi pada S oleh (a, b) ∼ (c, d)

bila dan hanya bila

ad = bc.

Maka ∼ adalah suatu relasi ekivalen. Bukti (1) (Refleksif) (a, b) ∼ (a, b) sebab ab = ba hal ini karena D adalah ring komutatif. (2) (Simetri) Bila (a, b) ∼ (c, d), maka ad = bc yang berakibat bahwa cd = da karena D adalah ring komutatif. Dengan demikian (c, d) ∼ (a, b). (3) (Transitif) Bila (a, b) ∼ (c, d) dan (c, d) ∼ (e, f ), maka ad = bc dan c f = de. Jadi, ad f = bc f = bde dan karena perkalian adalah komutatif, maka (a f )d = (be)d. Karena (c, d) ∼ S dan d , 0, juga D adalah daerah integral yaitu tidak memuat X pembagi nol maka didapat a f = be. Dengan demikian (a, b) ∼ (e, f ).



Catatan bahwa fakta D adalah suatu ring komutatif dan tidak mempunyai pembagi nol digunakan untuk membuktikan bahwa ∼ adalah relasi ekivalen. Relasi ekivalen ∼ mempartisi himpunan S kedalam klas ekivalen yang saling asing. Seperti halnya pembahasan lapangan pecahan Q, untuk menjadikan notasi lebih intuitif, maka sebarang elemen (a, b) ∈ S klas ekivalenya adalah [(a, b)] dinotasikan oleh ba . Sehingga didapat a c = bila dan hanya bila ad = bc. b d Selanjutnya ditinjau himpunan   a F= a, b ∈ D, b , 0 . b Agar supaya himpunan F adalah suatu lapangan, didefinisikan dua operasi dalam F. Lemma 8.3.2 Untuk sebarang elemen ba , dc ∈ F dua operasi yang didefinisikan berikut adalah ekivalen: (1) Penjumlahan

a c def ad + bc + = . b d bd

(2) Perkalian

a c def ac . = . b d bd Bukti Perluh diingat bahwa ad + bc dan ac keduanya di D dan karena D adalah suatu daerah integral dan b , 0, d , 0, maka bd , 0. Jadi masing-masing bagian kanan persamaan dalam (1) dan (2) adalah suatu elemen di F. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

255

Lapangan dari Kuasi.. ′



(1) Misalkan ab = ba′ dan dc = dc′ . Untuk menunjukkan bahwa penjumlahan adalah well defined, perlu ditunjukkan bahwa ad + bc a′ d′ + b′ c′ = bd b′ d′ atau dengan kata lain b′ d′ (ad + bc) = bd(a′ d′ + b′ c′ ). Karena ab′ = a′ b dan cd′ = c′ d dan menggunakan fakta bahwa D adalah suatu ring komutatif didapat b′ d′ (ad + bc) = = = = =

(b′ d′ )ad + (b′ d′ )bc (ab′ )d′ d + (cd′ )b′ b (a′ b)d′ d + (c′ d)b′ b (bd)a′ d′ + (bd)c′ b′ bd(a′ d′ + c′ b′ ).

Terlihat bahwa menghasilkan sesuai yang diharapkan. ′



(2) Misalkan bahwa ba = ba′ dan dc = dc′ . Untuk menunjukkan bahwa perkalian adalah well defined perlu ditunjukkan bahwa a′ c′ ac = ′ ′, bd b d atau dengan kata lain, (b′ d′ )(ac) = (bd)(a′ c′ ). Karena ab′ = a′ b dan cd′ = c′ d dan dengan menggunakan fakta bahwa D adalah ring komutatif didapat (b′ d′ )(ac) = = = =

(ab′ )(cd′ ) (a′ b)(cd′ ) (a′ b)(c′ d) (bd)(a′ c′ ).

•X

Lemma 8.3.2 menjelaskan bahwa dua operasi penjumlhan dan perkalian dalam F adalah well defined. Berkutnya ditunjukkan bahwa F dengan dua operasi tersebut adalah suatu lapangan. Lemma 8.3.3 Himpunan F sebagaimana telah didefinisikan sebelumnya adalah suatu lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Bukti c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

256

Homomorpisma Ring..

(1) Penjumlhan di F adalah assosiatif: c e a + + b d f

!

a c f + ed + b df a(d f ) + (c f + ed)b = b(d f ) (ad + cb) f + e(db) = (bd) f =

ad + bc e + bd f   a c e = + + . b d f

=

(2) Penjumlahan di F adalah komutatif: a c ad + bc cb + da c a + = = = + . b d bd db d b (3) Elemen

0 1

adalah elemen nol terhadap penjumlahan: 0 a 0.b + a.1 a a.1 + 0.b a 0 + = = = = + . 1 b 1.b b 1.b b 1 0 1

=

0 c

untuk semua c , 0.

(4) Elemen invers dari

a b

terhadap penjumlahan adalah − ba :

Catatan bahwa

a −a ab − ba 0 0 + = = = . b b b.b bb 1

Terlihat bahwa F adalah grup komutatif terhadap operasi penjumlahan. Lima sifat berikutnya ini dapat dibuktikan sebagai latihan. (5) Perkalian dalam F adalah assosiatif. (6) Hukum distributif dipenuhi dalam F. (7) Perkalian dalam F adalah komutatif. (8) Elemen 11 adalah elemen identitas terhadap perkalian. Catatan bahwa semua a , 0.

1 1

= aa untuk

(9) Bila ba , 0 di F, maka a , 0 di D dan ba adalah invers dari ba terhadap operasi perkalian. X o n Lemma 8.3.4 Himpunan D′ = 1a | a ∈ D adalah subring dari F dengan D′  D.



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

257

Lapangan dari Kuasi..

∈ D′ dan 1a 1b = ab1 ∈ D′ , maka D′ adalah subring dari F. Misalkan Bukti Karena 1a − 1b = a−b 1 φ : D → D′ didefinisikan oleh φ(a) = 1a , ∀a ∈ D. Maka φ(a + b) = φ(ab) =

a+b a b = + = φ(a) + φ(b) 1 1 1 ab a b = = φ(a)φ(b). 1 11

Jadi φ adalah suatu homomorpisma ring. Pemetaan φ jelas pada dan satu-satu. Sebab, φ(a) = φ(b) berarti bahwa 1a = 1b , maka a.1 = 1.b dan a = b. Jadi φ adalah suatu isomorpisma ring. X



Teorema 8.3.1 (Existence dari lapangan pecahan) Misalkan D adalah suatu daerah integral. Maka ada suatu lapangan F yang berisi pecahan ba dimana a, b ∈ D dan b , 0. Lagipula, dapat diidentifikasi setiap elemen a ∈ D dengan elemen 1a ∈ F, maka D menjadi suatu subring dari F dan masing-masing elemen dari F mempunyai bentuk a = ab−1 dimana a, b ∈ D dan b , 0. b Bukti Suatu yang hanya belum ditunjukkan adalah untuk semua ba ∈ F didapat ba = ab−1 . !−1 Tetapi hal ini jelas, sebab a a 1 a b = . = . . b 1 b 1 1 Jadi bila diidentifikasi setiap elemen x ∈ D dengan 1x ∈ F, didapat ba = ab−1 . X



Definisi 8.3.1 Sebarang lapangan F dalam Teorema 8.3.1 dinamakan lapangan pecahan dari daerah integral D. X



Dari pengkonstruksian lapangan kuasi F dapat terlihat bahwa F terdiri dari elemenelemen asli dari D, elemen-elemen invers dari D terhadap perkalian dan hasil perkalian elemen-elemen dari D dengan elemen-elemen invers dari D terhadap perkalian. Dengan kata lain, F diperoleh melalui menambahkan minimum kebutuhan mutlak untuk memperluas D menjadi suatu lapangan. Teorema berikut bahkan menunjukkan bahwa F adalah lapangan terkecil yang memuat D dan bahwa sebarang dua lapangan pecahan dari D harus isomorpik. Teorema 8.3.2 Misalkan F adalahlapangan pecahan dari suatu daerah integral D dan E adalah sebarang lapangan yang memuat D. Maka ada suatu homomorpisma ring φ : F → E yang memenuhi φ adalah pemetaan satu-satu dan φ(a) = a untuk semua a ∈ D.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

258

Homomorpisma Ring..

Bukti Definisikan φ sebagai berikut. Untuk sebarang a ∈ D, misalkan φ(a) = a dan untuk sebarang ab−1 ∈ F, misalkan φ(ab−1 ) = φ(a)φ(b)−1 ∈ E. Catatan bahwa karena b , 0 di D, maka φ(b) = b , 0 di E. Pemetaan φ adalah well defined, sebab bila ab−1 = cd−1 di F, maka ad = bc di D dan karena φ adalah pemetaan identitas pada D, di D maka

F

F

φ

φ(F)



φ(a)φ(d) = ad = bc = φ(b)φ(c) ∈ E. Dapat diselidiki bahwa φ adalah suatu homomorpisma ring. Pemetaan φ adalah satu-satu, sebab bila φ(ab−1 ) = φ(cd−1 ) maka φ(a)φ(d) = φ(b)φ(c) ∈ E jadi ad = bc. Akibatnya ab−1 = cd−1 di F.

D

•X

Catatan bahwa dalam bukti teorema yang baru saja dibahas, setiap elemen dari sublapangan φ(F) ⊆ E mempunyai bentuk φ(a)φ(b)−1 , yaitu adalah suatu elemen pecahan dari D di E. Kesimpulan 8.3.1 Setiap lapangan yang memuat daerah integral D memuat suatu lapangan pecahan dari D. Bukti Langsung dari hasil Teorema 8.3.2 dan dari beberapa catatan.

•X

Kesimpulan 8.3.2 (Ketunggalan dari Lapangan Pecahan) Sebarang dua lapangan pecahan dari suatu daerah integral D adalah isomorpik. Bukti Misalkan F dan F′ adalah dua lapangan pecahan dari daerah integral D. Hal ini berarti bahwa, setiap elemen dari F′ berbentuk ab−1 ∈ F′ untuk a, b ∈ D dengan b , 0. Oleh karena itu, F′ = φ(F) dimana φ sebagaimana diberikan dalam bukti Teorema 8.3.2. X Jadi F′  F.



Diringkas apa yang baru saja telah dibahas tersebut tentang lapangan pecahan F dari suatu daerah integral D. Misalkan D suatu daerah integral. Maka (1) Lapangan pecahan F dari D adalah ada . c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

259

Lapangan dari Kuasi..

(2) Lapangan pecahan F dari D adalah tunggal dalam arti isomorpik. (3) Himpunan F = { ba | a, b ∈ D, b , 0}. (4) Bila E adalah suatu lapangan yang memuat D yatitu D ⊆ E, maka ada suatu sublapangan F′ ⊆ E dengan F  F′ . Hal ini menyatakan bahwa F adalah lapangan terkecil yang memuat D. Untuk mengakhiri sub-bagian ini, dibicarakan lagi konsep karakteristik dari suatu daerah integral yang telah dibahas. Sudah dikembangkan beberapa alat baru yang mengijikan untuk menghargai pentingnya karakteristik. Ditunjukkan bahwa Q dan Zp dengan p adalah prima merupakan lapangan terkecil dari karakteristiknya. Sebagaimana nantinya dalam bagian berikutnya ditunjukkan bahwa, sebarang lapangan yang lain adalah suatu perluasan dari lapangan-lapangan terkecil tersebut. Teorema 8.3.3 Misalkan D adalah suatu daerah integral. Ada suatu sub-daerah D′ ⊆ D yang memenuhi (1) bila kar(D) = 0, maka Z  D′ ⊆ D. (2) Bila kar(D) = p, maka Zp  D′ ⊆ D. Bukti Misalkan D′ = {m.1′ | m ∈ Z} dimana 1′ adalah elemen satuan di D′ dan tinjau pemetaan φ : Z → D′ didefinisikan oleh φ(n) = n.1′ , ∀n ∈ Z. Pemetaan φ adalah suatu homomorpisma ring, sebab φ(n + m) = (n + m).1′ = n.1′ + m.1′ = φ(n) + φ(m) φ(nm) = (nm).1′ = (nm).(1′ .1′ ) = (n.1′ )(m.1′ ) = φ(n)φ(m), dengan menggunakan Teorema 7.1.1 bagian (6). (1) Bila kar(D) = 0, maka menggunakan Teorema 7.3.7, untuk semua bilangan bulat positip m ∈ Z didapat m.1′ , 0. Dalam hal ini, didapat ker(φ) = {0} dan φ adalah pemetaan satu-satu dan Z  φ(Z) = D′ ⊆ D. (2) Bila kar(D) = p, lagi gunakan Teorema 7.3.7, maka |1′ | = p dan ker(φ) = pZ ⊆ Z. Jadi, dengan menggnakan Teorema didapat Z/pZ  φ(Z) = D′ ⊆ D, dengan demikian Zp  D′ . Catatan bahwa untuk kasus D′ adalah image dari suatu ring terhadap suatu homomorpisma ring dan dengan Proposisi 8.1 bagian (2), maka D′ adalah suatu subring dari D. Karena 1′ ∈ D′ , maka dengan menggunakan Proposisi 7.2.1 D′ adalah suatu sub-daerah dari D. X



Hasil berikut adalah akibat dari teorema yang baru dibahas, merupakan teorema untuk lapangan dan begitu penting. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

260

Homomorpisma Ring..

Teorema 8.3.4 Misalkan F adalah suatu lapangan. Maka ada suatu sub-lapangan F′ ⊆ F yang memenuhi: (1) Bila kar(F) = 0, maka Q  F′ ⊂ F. (2) Bila kar(F) = 0, maka Zp  F′ ⊂ F. Bukti (1) Bila kar(F) = 0, maka karena F juga merupakan daerah integral, dengan menggunakan Teorema 8.3.3 didapat Z  D′ = {n.1′ | n ∈ Z} ⊆ F, dimana 1′ elemen satuan di F, D′ adalah suatu daerah integral termuat di F, dengan demikian menggunakan Kesimpulan 8.3.1 lapangan F memuat lapangan pecahan F′ dari daerah integral D′ . Karena Z  D′ ⊆ F, maka Q  F′ ⊂ F. (2) Hal ini langsung dari Teorema 8.3.3.

•X

Baru saja telah dibuktikan bahwa Q adalah lapangan terkecil yang mempunyai karakteristik nol. Dengan kata lain, setiap lapangan berkarakteristik nol memuat suatu sublapangan yang isomorpik dengan Q. Dalam hal mempunyai karakteristik p, maka lapangan terkecilnya isomorpik dengan Zp . Definisi 8.3.2 Lapangan Q dan Zp dinamakan lapangan prima.

•X

Dalam pembahasan berikutnya, lapangan prima adalah suatu dasar dari semua lapanganlapangan yang lainnya dibentuk.

Latihan

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Bab

9

Polinomial Ring Dalam bab ini dibahas polinomial dengan koefisien dalam suatu ring, mengkonstruksi polinomial ring R[x] dan membahas sifat-sifatnya. Dalam suatu hal khusus yang penting dimana ring R juga merupakan suatu lapangan F. Polinomial ring F[x] ternyata memiliki banyak sifat yang sama dengan ring himpunan bilangan bulat Z. Misalkan bahwa diberikan dua daerah integral yang keduanya bukan lapangan. Sebagaimana telah diketahui dalam keduanya berlaku algoritma pembagian. Nantinya ditemukan juga bahwa ada kesamaan penting antara ideal di F[x] dan di di Z.

Latihan 9.1 Konsep Dasar dan Notasi Pada bagian ini dikonstruksi ring polinomial dengan koefisien di suatu ring tetap R dan diberikan beberapa definisi dasar dan sifat. Contoh pertama menggambarkan pentingnya ring R yang mana elemen-elemennya adalah koefisien dari polinomial. Contoh 9.1.1 Menentukan akar-akar dari suatu polinomial adalah suatu maslah klasik dalam aljabar. Misalnya diberikan polinomial (x) = x2 + x + 1. Jika ditanyakan akar-akar polinomial f (x) pertanyaannya adalah tidak lengkap, sebagai ditujukkan berikut ini: (1) Bila koefisien dari polinomial adalah di ring himpunan bilangan riil R, maka f (x) tidak memiliki akar riil. (2) Bila koefisien dari polinomial adalah di ring Z3 , maka f (x) = x2 + x + 1 = (x − 1)2 . Jadi, f (1) = 0, dengan demikian hanyalah 1 ∈ Z3 yang merupakan akar dari f (x). (3) Bila koefisien dari polinomial adalah di ring Z7 , maka f (x) = x2 +x+1 = (x−2)(x−4). Jadi, f (2) = 0 dan f (4) = 0, dengan demikian 2, 4 ∈ Z7 adalah dua akar yang berbeda dari f (x).



Jadi ketika bekerja dengan polinomial, harus selalu diperhatikan ring yang digunakan dalam koefisien suatu polinomial. 261

262

Polinomial Ring..

Contoh 9.1.2 Diberikan polinomial f (x) = x2 + 8. (1) Polinomial f (x) tidak mempunyai akar-akar di R hal ini mudah diselidiki. (2) Dalam Z11 , f (x) = x2 + 8 = x2 − 3 = (x − 5)(x − 6) dengan demikian f (x) mempunyai dua akar 5, 6 ∈ Z11 . (3) Dalam Z12 , f (x) = x2 + 8 = x2 − 4 = (x − 2)(x − 10) = (x − 4)(x − 8) dengan demikian f (x) mempunyai empat akar 2, 10, 4, 8 ∈ Z12 .



Berikut ini diberikan definisi polinomial yang berguna untuk pembahasan aksioma ring berikutnya. Definisi 9.1.1 Misalkan R adalah suatu ring. Suatu polinomial dengan koefisien di R dan peubah (indeterminate) x adalah suatu jumlahan berhingga n X f (x) = ai xi = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + an xn , i=0

dimana ai ∈ R untuk i ∈ Z dengan 0 ≤ i ≤ n. Nilai-nilai ai dinamakan koefisien dari polinomial. Dalam hal khusus dimana semua koefisien adalah nol, maka polinomial dinamakan polinomial nol dan ditulis f (x) = 0. Himpunan semua polinomial dengan X koefisien di R dan indetermine x dinotasikan oleh R[x]



Dua polinomial tepat sama bila koefisien yang bersesuaian sama yaitu f (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + an xn g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm−1 xm−1 + bm xm , maka f (x) = g(x) bila dan hanya bila ai = bi untuk semua i ≥ 0. Dalam penulisan polinomial, ditulis a1 x untuk a1 x1 dan a0 untuk a0 x0 . Juga, umumnya sebarang ai xi yang ada dalam jumlahan dihilangkan bila ai = 0 dan sebarang ai xi dengan ai = 1 ditulis xi begitu juga untuk ai xi dengan ai = −1 ditulis −xi . Contoh, f (x) = 1x3 + (−1)x2 + 0x1 + 1x0 = x3 − x2 + 1. Definisi 9.1.2 Misalkan R adalah suatu ring, f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn adalah suatu polinomial di R[x] dan b suatu elemen di R. Nilai f (b) untuk argumen b adalah elemen a0 + a1 b + · · · + an−1 bn−1 + an bn ∈ R. Fungsi polinomial ditentukan oleh f (x) adalah fungsi dari R ke R dengan memberikan setiap argumen b ∈ R ke nilai f (b). Suatu argumen b yang mana nilai f (b) dari polinomial f (x) adalah nol dinamakan suatu akar dari polinomial f (x) dan merupakan suatu penyelesaian dari persamaan polinomial f (x) = 0. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

263

Konsep Dasar dan Notasi..

Polinomial tidak sama dengan fungsi polinomial. Kususnya dua polinomial tidak sama kecuali semua koefisiennya sama. meskipun bila polinomial-polinomial tersebut adalah fungsi polinomial yang sama. Contoh berikut memberikan gambaran apa yang dibahas. Contoh 9.1.3 Misalkan R = Z2 . Polinomial f (x) = x + 1 dan g(x) = x2 + 1 adalah polinomial yang tidak sama. Sebab, f mempunyai koefisien a1 = 1, a0 = 1 sedangkan g mempunyai koefisien b2 = 1, b1 = 0, b0 = 1. Tetapi, dengan mudah didapat f (0) = 1 = g(0) dan f (1) = 0 = g(1). Jadi, f dan g menentukan fungsi polinomial yang sama dari Z2 ke Z2 .



Definisi 9.1.3 Misalkan f (x) adalah suatu polinomial dengan indeterminate x dan koefisien ai di suatu ring R. Untuk bilangan bulat positip n dengan an , 0 dinamakan derajad dari f (x) ditulis n = deg( f (x)) dan koefisien an dinamakan koefisien utama (leading). Perlu diperhatikan bahwa pengertian dari derajad dan koefisien utama tidak terdefinisi untuk hal yang kusus polinomial nol. Bila derajad polinomial adalah nol, maka f (x) = a0 adalah polinomial konstan. Setiap a ∈ R dapat diidentifikasi dengan polinomial f (x) = a dalam hal demikian ini R dapat dipandang sebagai subset dari R[x]. Masing-masing polinomial berderajad 1, 2, 3, 4 dan 5 dinamakan polinomial linier, kuadrat, kubik, kuartik dan kuintik. Bila koefisien utama adalah 1, maka polinomialnya adalah f (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + xn dan dinamakan polinomial monik.

•X

Ditulis sebagai R[x] untuk himpunan dari semua polinomial dalam indetermine dengan koefisien di ring R. Dengan operasi tambah dan perkalian yang sesuai di R[x] dibuat ring R[x]. Secara umum tidak dibedakan polinomial konstan a0 di R[x] dengan elemen a0 di R, juga tidak dibedakan polinomial nol 0 di R[x] dengan elemen nol 0 di R. Operasi penjumlahan dan perkalian pada R[x] didefinisikan sesuai dengan operasi pada R, dengan demikian ring R merupakan subring dari ring R[x]. P P i Definisi 9.1.4 Bila f (x), g(x) ∈ R[x] dimana f (x) = ni=0 ai xi dan g(x) = m i=0 bi x , maka didefinisikan jumlahan dan perkalian sebagai berikut: max{n,m} P (1) f (x) + g(x) = ci xi , dimana ci = ai + bi . i=0 n+m P (2) f (x).g(x) = di xi , dimana i=0 i X ak bi−k = a0 bi + a1 bi−1 + · · · + ai−1 b1 + ai b0 . di = X k=0



Contoh 9.1.4 f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 4 dan g(x) = 5x2 + 6x + 7 di Z[x]. Maka P5Diberikan f (x).g(x) = i=0 di xi dimana d0 = 4(7) = 28 d1 = 3(7) + 4(6) = 45 c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

264

Polinomial Ring..

d2 = 2(7) + 3(6) + 4(5) = 52 d3 = 1(7) + 2(6) + 3(5) = 34 d4 = 1(6) + 2(5) = 16 d5 = 1(5) = 5. Jadi, perkalian dari f (x)g(x) adalah



f (x)g(x) = 5x5 + 16x4 + 34x3 + 52x2 + 45x + 28.

Contoh 9.1.5 Misalkan polinomial f (x) dan g(x) seperti diberikan dalam Contoh 9.1.4, tetapi sekarang dalam Z10 [x]. Maka f (x)g(x) = 5x5 + 6x4 + 4x3 + 2x2 + 5x + 8.



Menghitung derajad hasil kali dua polinomial dengan koefisien di R atau di C adalah jumlah masing-masing dari derajad polinomial tersebut. Tetapi hal ini tidak selalu benar untuk sebarang polinomial dengan koefisien disebarang ring R. Contoh berikut menjelaskan hal ini. Contoh 9.1.6 Tinjau polinomial f (x) = 2x3 dan g(x) = 2x2 di Z4 [x]. Maka f (x)g(x) = 0 adalah polinomial nol.



Suatu pertanyaan, kapan kita bisa menghitung derajad dari perkalian dua polinomial yang diberikan sama dengan jumlah dari masing-masing derajad dari polinomial tersebut? Dari dua contoh yang baru saja dibahas, dapat diterka jawabannya sebagaimana diberikan dalam bagian terakhir teorema berikut. Teorema 9.1.1 Misalkan R adalah suatu ring. Maka dengan operasi jumlah dan perkalian sebagaimana telah diberikan dalam Definisi 9.1.4, (1) R[x] adalah suatu ring yang memuat ring R sebagai suatu subring. (2) Bila R adalah suatu ring komutatif, maka R[x] adalah ring komutatif. (3) Bila R mempunyai elemen satuan 1, maka 1 juga merupakan elemen satuan di R[x]. (4) Bila R adalah suatu daerah integral, maka R[x] adalah daerah integral dan hasil perkalian dua polinomial taknol f (x), g(x) ∈ R[x] memenuhi deg( f (x).g(x)) = deg( f (x)) + deg(g(x)). Bukti (1) Operasi Penjumlahan Tertutup, sebab f (x), g(x), h(x) ∈ R[x] didapat max{m,n} m n X X X i i f (x) + g(x) = ai x + bi x = c i xi , i=0

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

i=0

i=0

265

Konsep Dasar dan Notasi..

dimana ci = ai + bi ∈ R. Jadi f (x) + g(x) ∈ R[x]. Penjumlahan di R[x] memenuhi asosiatif sebab p max{m,n} X X i ( f (x) + g(x)) + h(x) = (ai + bi )x + c i xi i=0

=

i=0

max{m,n,p} X

((ai + bi ) + ci )xi

i=0

=

max{m,n,p} X

(ai + (bi + ci ))xi

i=0

m X

max{n,p} X

ai x + (ci + bi )xi  n i=0  i=0 p X X  = f (x) +  bi xi + ci xi 

=

i

i=0

i=0

= f (x) + (g(x) + h(x)). Ada polinomial nol yaitu O(x) =

Pm

i=0

0 xi = 0 yang memenuhi

f (x) + O(x) =

m X

ai xi +

i=0

=

m X

m X

0 xi

i=0

(ai + 0)xi

i=0

=

m X

ai xi = f (x),

m X

0x +

i=0

juga O(x) + f (x) =

i

i=0

=

m X

m X

ai xi

i=0

(0 + ai )xi

i=0

=

m X

ai xi = f (x).

i=0

P i Untuk setiap f (x) ∈ R[x] ada invers dari f (x), yaitu − f (x) = m i=0 (−ai )x yang memenuhi m m m m X X X X i i i f (x) + (− f (x)) = ai x + (−ai )x = (ai − ai )x = 0 xi = O(x) = 0. i=0

i=0

i=0

i=0

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

266

Polinomial Ring..

Penjumlahan polinomial adalah komutatif, f (x) + g(x) = =

m X

i

ai x +

i=0 max{n,m} X i=0

n X

i

bi x =

i=0

max{m,n} X

(ai + bi )xi

i=0

n m X X i i (bi + ai )x = bi x + ai xi = g(x) + f (x). i=0

i=0

Jadi R[x] terhadap operasi "+" memenuhi aksioma grup komutatif. Terhadap operasi perkalian di R[x] memenuhi sifat tertutup, sebab  m  n  m+n X  X  X f (x).g(x) =  ai xi   bi xi  = di xi , i=0

i=0

i=0

Pi

dimana di = k=0 ak bi−k ∈ R sebab ai , bi ∈ R. Jadi f (x).g(x) ∈ R[x]. Berikutnya, terhadap perkalian sebagaimana telah didefinisikan di ring R[x] adalah asosiatif. Sifat asosiatif ini ditunjukkan sebagai berikut:    p  n  m   X  X X ci xi  bi xi   ai xi   ( f (x).g(x)).h(x) =  i=0

i=0

i=0

  m+n X X  i   =  a j bi −   i=0

j=0

   p   X   i   j x   ci xi    i=0

    j m+n+p i  X X X      i    c a b = k j−k     i−j  x i=0

=

   

j+k+l=i

m+n+p i X X i=0

k=0

    X  i  a b c j k l   x

m+n+p X  i=0

=

j=0

j=0

  i−j  X bk ci−j−k  xi a j   k=0

    n+p  i  m    X X X  i   ai xi   =  b c j i−j    x   i=0

i=0

j=0

  p  m   n   X X  X ci xi  =  bi xi   ai xi   i=0

i=0

= f (x)[g(x).h(x)].

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

i=0

267

Konsep Dasar dan Notasi..

Berlaku sifat distributif di R[x],

 m  n  p X X  X  f (x)(g(x) + h(x)) =  ai xi   bi xi + ci xi  i=0

i=0

i=0

 m  max{n,p}  X   X  =  ai xi   (bi + ci )xi  i=0

=

i=0

   

m+max{n,p} i X X i=0

=

   

j=0

m+max{n,p} i X X i=0

j=0

   a j (bi−j + ci−j ) xi 

   a j bi−j + a j ci−j  xi 

    m+p X m+n X i X X    i   i    = a j bi−j  x + a j ci−j  xi       i=0

j=0

i=0

j=0

= f (x).g(x) + f (x)h(x).

Selanjutnya dibuat pemetaan inklusi dar ring R ke ring R[x] yaitu ι : R → R[x] didefinisikan oleh ι(r) = rx0 , ∀r ∈ R. Ditunjukkan bahwa ι adalah suatu homomorpisma ring. 1. ι(r + q) = (r + q)x0 = rx0 + qx0 = ι(r) + ι(q), ∀r, q ∈ R. 2. ι(r.q) = (r.q)x0 = (r.q)x0+0 = (rx0 ).(qx0 ) = ι(r).ι(q), ∀r, q ∈ R. Sebagaimana telah diketahui bahwa image ι(R) adalah subring dari R[x] dan pemetaan ι adalah pemetaan satu-satu sebab bila ι(r) = ι(q), maka rx0 = qx0 . Hal ini berakibat r = q. Jadi ι adalah satu-satu. Dengan demikian R  ι(R). Karena ι(R) adalah subring dari R[x] dan R  ι(R), maka R dapat dipandang sebagi subring dari R[x] dengan identifikasi elemen-elemen di R sebagai elemen-elemen di ι(R) diberikan oleh r 7→ rx0 . (2) Bila ring komutatif, maka untuk sebarang f (x), g(x) di R[x] dengan f (x) = Pn Pm R adalah i i  i  i=0 bi x didapat i=0 ai x dan g(x) = m+n X X    f (x).g(x) = ak bi−k  xi  i=0

k=0

 i  n+m X X    = bk ai−k  xi  i=0

k=0

= g(x). f (x). Jadi R[x] adalah ring komutatif.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

268

Polinomial Ring..

(3) Dari hasil (1) R adalah subring dari R[x]. Jadi, Pmbila 1i ∈ R adalah elemen satuan di 0 R, maka 1 = 1.x dan untuk sebarang f (x) = i=0 ai x ∈ R[x] didapat  m  0+m m X X  X 0 0 i i  1.x . f (x) = 1.x  ai x  = (1.ai )x = ai xi = f (x). i=0 i=0 i=0 Juga, didapat   m m+0 m X X  X 0 i i 0     (ai .1)x = ai xi = f (x). ai x  1.x = f (x).1x =  i=0

i=0

i=0

Jadi, elemen 1 = 1.x0 adalah elemen satuan di R[x].

(4) Misalkan R daerah integral. Diberikan sebarang plinomial tak nol di R[x] f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + am−1 xm−1 + am xm dan

g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn−1 xn−1 + bn xn ,

dimana am dan bn adalah koefisien utama dari masing-masing f (x) dan g(x). Jadi am , 0 dan bn , 0, akibatnya am bn , 0 (sebab R daerah integral). Sehingga didapat f (x).h(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + · · · + (am bn )xm+n , f (x).g(x) , 0 sebab am bn , 0. Jadi R[x] adalah daerah integral. Juga, didapat deg( f (x).g(x)) = m + n = deg( f (x)) + deg(g(x)).

•X

Contoh 9.1.7 Akan ditentukan semua unit di Z3 [x]. Diberikan sebarang 0 , f (x) ∈ Z3 [x] adalah unit di Z3 [x]. Hal ini berarti dapat dipilih suatu g(x) ∈ Z3 [x] yang memenuhi f (x).g(x) = 1 ∈ Z3 [x]. Dengan menggunakan Teorema 9.1.1 bagian (4), didapat deg( f (x)) + deg(g(x)) = deg(1) = 0. Jadi, f (x) adalah polinomial konstan. Maka dari itu, hanyalah f (x) = 1 dan f (x) = 2 yang merupakan unit di Z3 [x].



Proposisi 9.1.1 Misalkan D adalah daerah integral, maka elemen unit di D[x] adalah tepat sama dengan elemen unit di D. Bukti Misalkan c ∈ D adalah sebarang unit di D dan d ∈ D adalah invers dari c terhadap perkalian. Selanjutnya tinjau polinomial konstan c, d ∈ D[x], maka hasil kali cd ∈ D[x] adalah sama dengan hasil kali cd ∈ D. Hasil kali c dan d memenuhi cd = 1. Hal ini memperlihatkan bahwa c ∈ D[x] adalah unit di D[x] dan d ∈ D[x] adalah invers dari c terhadap perkalian. Sebaliknya, bila f (x) adalah sebarang unit di D[x] dan misalkan g(x) ∈ D[x] adalah invers dari f (x) terhadap perkalian. Maka f (x).g(x) = 1, karena 1 berderajad nol, maka menurut Teorema 9.1.1 haruslah deg( f (x)) = 0 dan deg(g(x)) = 0. Jadi f (x) = c0 dan g(x) = d0 . Lagipula, c0 harus merupakan unit di D dengan d0 adalah invers dari c0 terhadap perkalian sebab C0 .d0 = f (x).g(x) = 1. X



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

269

Konsep Dasar dan Notasi..

Kesimpulan 9.1.1 Bila F adalah suatu lapangan, maka F[x] adalah daerah integral dan bukan lapangan. Bukti Karena F lapangan, maka F adalah daerah integral dan berdasarkan Teorema 9.1.1 bagian (4) F[x] adalah daerah integral. Dengan menggunakan Proposisi 9.1.1, semua polinomial konstan taknol di F[x] adalah elemen-elemen taknol yang bukan unit. Jadi F[x] bukan suatu lapangan. X



Proposisi 9.1.2 Misalkan R adalah suatu ring. Maka R[x] mempunyai karakteristik sama dengan karakteristik dari R. n z }| { Bukti Untuk sebarang bilangan bulat n > 0, nanadalah a + a + · · · + a dan z }| { n f (x) = f (x) + f (x) + · · · + f (x) . Menurut pengertian karakteristik, kar(R[x]) adalah bilangan bulat terkecil n > yang memenuhi n f (x) = 0 untuk semua f (x) ∈ R[x] dan bila tidak ada n yang demikian, maka R[x] mempunyai karakteristik nol. Karena R termuat (sebagai subring) di R[x], jelas bahwa bila n f (x) = 0, maka juga na = 0 untuk semua a ∈ R. Selanjutnya bila na = 0 untuk semua a ∈ R, maka untuk sebarang f (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xm−1 + am xm ∈ R[x], didapat n f (x) = na0 + na1 x + · · · + nam−1 xm−1 + nam xm = 0 + 0x + · · · + 0xm−1 + 0xm = 0.

•X

Contoh berikut menjelaskan pengkonstruksian beberapa daerah integral dari berbagai karakteristik berbeda yang bukan lapangan. Contoh 9.1.8 (1) Mempunyai karakteristik 0: Z[x], Q[x], R[x], C[x] adalah daerah integral yang bukan lapangan. (2) Mempunyai karakterisktik p: untuk sebarang bilangan prima p, ring polinomial Zp [x] adalah suatu daerah integral mempunyai karakteristik p yang bukan lapangan.



Pengkonstruksian polinomial ring dapat digeneralisasi pada lebih dari satu indeterminate. Definisi 9.1.5 Dimulai dari ring R dan ditentukan satu indeterminate x dapat dibentuk ring R[x]. Selanjutnya ditentukan indeterminate yang lain yaitu y dapat dilakukan pembentukan ring R[x][y] yang elemen-elemennya polinomial dalam y dengan koefisien di ring R[x], misalnya: c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

270

Polinomial Ring..

(1) (x + 2)y2 + (x3 + 2x)y + (x2 + 1). Sebagai penggantinya, dapat dilakukan secara general untuk definisi suatu ring R[x, y]. Elemen-elemennya adalah jumlahan berhingga P ai, j xi y j , misalnya: (2) xy2 + 2y2 x3 y + 2xy + x2 + 1. Hasil dari dua pengkonstruksian ini adalah ekivalen dan dapat dianggap sebagai polinomial ring dari dua indeterminate dengan koefisien di R. X



Lebil general, dapat didefinisikan ring polinomial R[x1 , . . . , xn ] dengan n indeterminate x1 , . . . , xn . Juga, R[x1 , . . . , xn ] adalah daerah integral bila R adalah daerah integral. Pada pembahasan terdahulu untuk sebarang daerah integral bisa dikonstruksi lapangan pecahan.

Definisi 9.1.6 Misalkan D adalah suatu daerah integral dan D[x] adalah ring polinomial dengan koefisien di D. Lapangan pecahan dari D[x] dinamakan lapangan dari fungsi rasional dengan koefisien di D dan ditulis D(x). Elemen-elemennya adalah pecahan berbentuk f (x)/g(x), dimana f (x), g(x) ∈ D[x] dan g(x) , 0. Selanjutnya f( x)/g1 (x) = f2 (x)/g2 (x) bila dan hanya bila f1 (x)g2 (x) = f2 (x)g1 (x).



Teorema 9.1.2 Misalkan R adalah suatu ring komutatif yang mempunyai elemen satuan dan α ∈ R. Maka suatu pemetaan φα : R[x] → R didefinisikan oleh φα ( f (x)) = f (α) = an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 , dimana f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 adalah suatu homomorpisma ring. Bukti Misalkan f (x) =∼ni=0 ai xi dan g(x) =

Pm i

bi xi di R[x], didapat

n m X X i φα ( f (x) + g(x)) = φα ( ai x + bi xi ) i=0 max{n,m} X

(ai + bi )xi )

= φα ( =

i=0 max{n,m} X

(ai + bi )αi

i=0

=

i=0

n X

ai αi +

i=0

m X

bi αi

i=0

= φα ( f (x)) + φα (g(x)) c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

271

Konsep Dasar dan Notasi..

dan φα ( f (x).g(x)) = f (α).g(α)   m  n   X X bi αi  ai αi   =  i=0

i=0

  i n+m X X    = ak bi−k  αi  i=0

k=0

= φα ( f (x).g(x)).

Pemetaan φα dinamakan homomorpisma evaluaasi di α.



BARISAN dalam RING Misalkan R ring komutatif dan barisan < a0 , a1 , a2 , . . . > dengan ai ∈ R dinotasikan oleh < ai >. Bila penjumlahan (+) dan konfolusi (∗) dari barisan masing-masing didefinisikan oleh < ai > + < bi >=< ai + bi > dan < ai > ∗ < bi > =

*X

a j bk

j+k=i

+

= < a0 bi + a1 bi−1 + . . . + ai b0 > . Maka (RN , +, ∗) adalah ring komutatif dan merupakan daerah integral bila R adalah daerah integral. BUKTI Penjumlahan jelas assosiatif dan komutatif. Elemen nol adalah < 0 >=< 0, 0, . . . > dan invers dari < ai > adalah < −ai >. Selanjutnya + *X a j bk ∗ < ci > (< ai > ∗ < bi >)∗ < ci > =  + *  + * j+k=i X  X  X   a j bk cl a j bk  cl = =    l+m=i

j+k+l=i

j+k=m

Dengan cara serupa didapat

< ai > ∗(< bi > ∗ < ci >) =

* X

j+k+l=i

a j bk cl

+

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

272

Polinomial Ring..

Terlihat bahwa (< ai > ∗ < bi >)∗ < ci >=< a*i > ∗(< bi > ∗ <+ ci >) dan X a j (bk + ck ) < ai > ∗(< bi > + < ci >) = + + *X * j+k=i X a j ck a j bk + = j+k=i

j+k=i

= < ai > ∗ < bi > + < ai > ∗ < ci > . Konvolusi jelas komutatif sebab R ring komutatif. Identitas adalah < 1, 0, 0, . . . >, sebab < 1, 0, 0, . . . > ∗ < a0 , a1 , a2 , . . . > = < 1a0 , 1a1 + 0a0 , 1a2 + 0a1 + 0a0 , . . . > = < a0 , a1 , a2 , . . . > Jadi (RN , +, ∗) adalah ring komutatif. Misalkan masing-masing aq dan br adalah elemen pertama yang tak nol dalam barisan < ai > dan < bi >, maka posisi elemen ke-q + r dalam barisan konvolusi < ai > ∗ < bi > diberikan oleh : X

= a0 bq+r a1 bq+r−1 + . . . + aq br + aq+1 br−1 + . . . + aq+r b0 = 0 + 0 + . . . + aq br + 0 + . . . + 0 = aq br . P Bila R adalah daerah integral, maka aq br , 0. Oleh karena itu a j bk , 0. Jadi ring j+k=q+r dari barisan tidak memuat pembagi nol. j+k=q+r

Ring dari barisan tidak akan mempunyai struktur lapangan, sebab < 0, 1, 0, 0, . . . > tidak mempunyai invers. Faktanya bahwa, untuk setiap barisan < bi >, didapat < 0, 1, 0, 0, . . . > ∗ < b0 , b1 , b2 , b3 , . . . >=< 0, b0 , b1 , b2 , . . . > terlihat bahwa hasil konvolusi bukan barisan identitas. Suatu deret formal dalam x dengan koefisien di ring komutatif R adalah ∞ X ai xi , dimana ai ∈ R. i=0

Berbeda dengan suatu polinomial, deret pangkat ini bisa mempunyai sejumlah takhingga suku-suku yang tak nol.

DERET FORMAL Himpunan semua deret formal dinotasikan oleh R[[x]]. Istilah formal digunakan untuk mengindikasi bahwa kekonvergenan dari deret tidak dipertimbangkan. Termotifasi oleh RN , penjumlahan dan perkalian dalam R[[x]] didifinisikan oleh ∞ ∞ ∞ X X X i i ai x + bi x = (ai + bi )xi i=0

i=0

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

i=0

273

Algorithma Pembagian di F[x]..

dan

    ∞  ∞ ∞ X   X  X X   i i i      a b = b x . a x  x .  j k i i       i=0

i=0

i=0

j+k=i

Dapat diselidiki bahwa himpunan semua deret formal adalah suatu ring (R[[x]], +, .) dan polinomial ring R[x] dengan sejumlah suku-suku taknol yang berhingga adalah subring dari ring R[[x]]. Suatu fakta bahwa barisan ring (RN , +, ∗) adalah isomorpik dengan ring deret formal (R[[x]], +, .). Fungsi f : RN → R[[x]] yang didifinisikan oleh f (< a0 , a1 , a2 , . . . >) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . jelas f fungsi satu-satu pada. Dari difinisi penjumlahan, perkalian dan konvolusi dalam ring RN dan R[[x]], maka f adalah isomorpisma ring.

Latihan 9.2 Algorithma Pembagian di F[x] Sudah ditunjukkan bahwa bila D adalah suatu daerah integral maka D[x] adalah daerah integral dan bukan lapangan. Dalam bagian ini untuk hal F adalah lapangan, maka daerah integral F[x] mempunyai beberapa sifat analogi dengan sifat-sifat Z yang sudah dikenal. Suatu sifat fundamentaldari Z adalah berlakunya algoritma pembagian bilangan bulat yaitu, untuk sebarang bilangan bulat a dan b dengan b , 0, ada dengan tuggal pasangan bilangan bulat q dan r yang memenuhi a = b.q + r, 0 ≤ r < |b|. Sifat ini secara intensif sudah banyak digunakan. Sifat analogi untuk F[x], yang akan terlihat memainkan suatu aturan fundamental. Contoh 9.2.1 Tinjau polinomial f (x) = 3x dan g(x) = 2x di Z7 [x]. Misalkan f (x) dibagi oleh g(x). Dengan kata lain, mendapatkan q(x) ∈ Z7 [x] yang memenuhi f (x) = q(x).g(x). Karena Z7 [x] adalah daerah integral, maka deg( f (x)) = deg(q(x)) + deg(g(x)). Jadi, deg(q(x)) = 0 dan q(x) = c ∈ Z7 [x] adalah polinomial konstan. Dengan demikian 3x = c(2x) dan c = 3.2−1 = 3.4 = 5 ∈ Z7 [x]. Catatan bahwa c ada dan tunggal sebab invers terhadap perkalian 2−1 ada dan tunggal di Z7 [x]. X



Teorema berikut analogi dari algoritma pembagian untuk Z. Yaitu algoritma pembagian untuk polinomial-polinomial di daerah integral F[x]. Teorema 9.2.1 (Algoritma Pembagian) Misalkan f (x), g(x) adalah polinomial di F[x] dimana F adalah suatu lapangan dan g(x) polinomial taknol. Maka ada dengan tunggal polinomial q(x) dan r(x) di F[x] yang memenuhi f (x) = g(x).q(x) + r(x), c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

274

Polinomial Ring..

dimana deg(r(x)) < deg(g(x)) atau r(x) adalah polinomial nol. Bukti Ditunjukkan eksistensi dari q(x) dan r(x). Bila f (x) adalah polinomial nol, maka 0 = 0.g(x) + 0, terlihat dua-duanya q(x) dan r(0) adalah polinomial nol. Selanjutnya, untuk f (x) bukan polinomial nol dan deg( f (x)) = n; dan misalkan deg(g(x)) = m. Bila m > n, maka q(x) = 0 dan r(x) = f (x). Berikutnya, bila m ≤ n dan lakukan induksi matematika pada n. Bila f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 g(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , maka polinomial

an m−n x .g(x) bm mempunyai derajad kurang dari n atau sama dengan polinomial nol. Dengan induksi matematika ada q1 (x) dan r1 (x) yang memenuhi f1 (x) = f (x) −

f1 (x) = q1 (x).g(x) + r1 (x), dimana r(x) = 0 atau deg(r1 (x)) < deg(g(x)). Selanjutnya, misalkan an q(x) = q1 (x) + xn−m . bm Maka f (x) = g(x).q(x) + r(x), dengan r(x) = 0 atau deg(r(x)) < deg(g(x)). Tinggal meunjukkan bahwa q(x) dan r(x) tunggal. Misalkan ada dua polinomial q′ (x) dan r′ (x) yang memenuhi f (x) = g(x).q′ (x) + r′ (x), dengan r′ (x) = 0 atau deg(r′ (x)) < deg(g(x)). Didapat f (x) = g(x).q(x) + r(x) = g(x).q1 (x) + r1 (x) dan r′ (x) − r(x) = q(x)[q(x) − q′ (x)].

Untuk g(x) bukan polinomial nol, maka

deg(r′ (x) − r(x)) = deg(g(x)[q(x) − q′ (x)]) ≥ deg(g(x)). Hal ini tidak mungkin sebab derajad dari masing-masing r′ (x) dan r(x) tidak melebihi derajad dari g(x). Jadi haruslah r′ (x) − r(x) adalah polinomial nol. Sehingga didapat r′ (x) = r(x) dan q′ (x) = q(x).



c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

275

Algorithma Pembagian di F[x]..

Contoh 9.2.2 Cara algoritma pembagian bilangan bulat sudah banyak dilakukan dengan apa yang dinamakan pembagian panjang ("poro gapit"). Misalkan, diberikan dua polinomial f (x) = 2x3 − 3x2 + 4x − 5 dan g(x =)x − 1 di R[x], maka f (x) dibagi g(x) dilakukan sebagai berikut: 

2x2 − x + 3

2x3 − 3x2 + 4x − 5 − 2x3 + 2x2 − x2 + 4x x2 − x 3x − 5 − 3x + 3 −2 Terlihat bahwa f (x) = q(x).g(x) + r(x), diberikan oleh x−1

2x3 − 3x2 + 4x − 5 = (2x2 − x + 3)(x − 1) + (−2). Contoh 9.2.3 Dalam Z5 [x], diberikan

•X

f (x) = 2x4 + x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = 2x2 − x + 2, maka dengan melakukan pembagian panjang f (x) dibagi g(x), didapat x2 + x + 1 2x2 − x + 2

2x4 + x3 + 3x2 + 3x + 1 −2x4 + x3 − 2x2 2x3 + x2 + 3x + 1 −2x3 + x2 − 2x 2x2 + x + 1 −2x2 + x − 2 2x − 1 = 2x + 4

Terlihat hasil bagi q(x) = x2 + x + 1 dan sisa pembagian r(x) = 2x + 4. Sehingga didapat 2x4 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x2 + x + 1)(2x2 − x + 2) + 2x + 4.

•X

Suatu aplikasi langsung dari algoritma pada himpunan bilangan bulat Z adalah menghitung faktor persekutuan terbesar (fpb) daridua bilangan bulat a dan b. Dalam pembahasan berikutnyaditunjukkan bahwa hal ini dapat juga dilakukan dalam F[x]. Sebelumnya diberikan analogi definisi yang telah digunakan untuk Z. Definisi 9.2.1 Untuk sebarang f (x) dan g(x) , 0 di F[x], dimana F adalah suatu lapangan. Polinomial q(x) dan r(x) dalam algoritma pembagian masing-masing dinamakan hasil bagi dan sisa pada pembagian f (x) dibagi oleh g(x). Bila sisa r(x) = 0 atau dengan kata c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

276

Polinomial Ring..

lain bila ada suatu q(x) yang memenuhi f (x) = q(x).g(x), maka g(x) dinamakan suatu pembagi dari f (x) atau g(x) membagi f (x) dan ditulis g(x)| f (x). Juga, dalam hal ini f (x) dinamakan kelipatan dari g(x). Penulisan suatu polinomial menjadi suatu produk f (x) = g(x).h(x) dinamakan pemfaktoran polinomial. Pemfaktoran yang demikian dinamakan taktrivial bila faktor-faktor g(x) dan h(x) keduanya mempunyai derajad lebih besar dari nol. X



Proposisi 9.2.1 Misalkan F adalah suatu lapangan, polinomial f (x) dan g(x) di F[x]. Maka (1) Bila g(x)| f (x), maka cg(x)| f (x) untuk sebarang elemen c , 0 di F. (2) Bila g(x)| f (x) dan f (x)|g(x), maka f (x) = cg(x) untuk beberapa elemen c , 0 di F. Bukti (1) Karena F adalah lapangan dan c , 0 di F, maka c adalah unit di F. Bila f (x) = q(x).g(x) (sebab g(x)| f (x)), maka juga f (x) = [c−1 q(x)].[cg(x)]. terlihat bahwa cg(x)| f (x). (2) Bila f (x) = q(x).g(x) dan g(x) = p(x). f (x), maka f (x) = [q(x).p(x)]. f (x). Karena F[x] daerah integral, maka haruslah q(x).p(x) = 1. Jadi, q(x) dan p(x) keduanya polinomial berderajad nol. Dengan demikian q(x) = c dan p(x) = c−1 untuk beberapa c ∈ F.



Definisi 9.2.2 Bila F adalah suatu lapangan, f (x) dan g(x) di F[x] suatu pembagi persekutuan dari f (x) dan g(x) adalah sebarang polinomial c(x) ∈ F[x] yang memenuhi c(x)| f (x) dan c(x)|g(x). Suatu pembagi persekutuan terbesar (fpb) dari f (x) dan g(x) adalah suatu pembagi persekutuan d(x) yang memenuhi untuk sebarang pembagi persekutuan yang lain c(x), maka c(x)|d(x). Bila pembagi persekutuan terbesar dari f (x) dan g(x) hanyalah suatu polinomial konstan, maka f (x) dan g(x) dinamakan prima relatif. Catatan bahwa dari proposisi sebelumnya, bila d1 (x) dan d2 (x) keduanya adalah pembagi persekutuan terbesar dari f (x) dan g(x), maka d1 (x) = cd2 (x) untuk beberapa c , 0 di F. Dari hal ini maka hanya terdapat satu monik pembagi persekutuan terbesar yang dinotasikan oleh fpb( f (x), g(x)) X



Contoh 9.2.4 Dalam C[x], diberikan polinomial f (x) = 2x4 − x3 + 4x2 + 3

dan

g(x) = x3 + 2x + 1.

Bila digunakan algoritma pembagian pada f (x) dan g(x) didapat x3 + 2x + 1

Terlihat bahwa



2x − 1

2x4 − x3 + 4x2 +3 4 2 − 2x − 4x − 2x − x3 − 2x + 3 x3 + 2x + 1 4

f (x) = (2x − 1)g(x) + 4. c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

(9.1)

277

Algorithma Pembagian di F[x]..

Selanjutnya, untuk setiap α ∈ C yang memenuhi g(α) = 0 didapat f (α) = 4 , 0. Jadi f (x) dan g(x) tidak mempunyai akar-akar yang sama. Perhatikan bahwa Persamaan (9.1) berakibat bahwa fpb( f (x), g(x)) = 1,atau dengan kata lain f (x) dan g(x) adalah prima relatif. X



Sebagaimana dalam Z mengenai fpb, berikut ini dibuktikan suatu analogi teorema tentang fpb dalam F[x]. Teorema 9.2.2 Misalkan F adalah suatu lapangan, f (x) dan g(x) di F[x] yang keduanya bukan polinomial nol. Maka ada suatu pembagi persekutuan terbesar d(x) dari f (x) dan g(x) yang bisa ditulis sebagai kombinasi linier dari f (x) dan g(x). Yaitu, ada elemen u(x) dan v(x) di F[x] yang memenuhi d(x) = u(x). f (x) + v(x).g(x) adalah pembagi persekutuan terbesar dari f (x) dan g(x). Bukti Pembuktian dilakukan dalam tiga langkah. (1) Tinjau himpunan I = {m(x). f (x) + n(x).g(x) | m(x), n(x) ∈ F[x]}. Catatan bahwa f (x), g(x) ∈ I, dengan demikian I mempunyai elemen yang bukan polinomial nol. Misalkan d(x) adalah suatu elemen di I yang mempunyai derajad paling kecil dari semua elemen-elemen di I. Maka untuk setiap c ∈ F, cd(x) ∈ I dan mempunyai derajad sama dengan derajad dari d(x). Dengan demikian dapat ditentukan d(x) adalah monik, sebab bila tidak dapat diganti oleh a−1 d(x) dimana a adalah koefisien utama (leading) dari d(x). Karena d(x) ∈ I, didapat d(x) = u(x). f (x) + v(x).g(x), untuk beberapa u(x), v(x) ∈ F[x] (2) Berikutnya, ditunjukkan bahwa d(x) adalah pembagi persekutuan dari f (x) dan g(x). Dengan menggunakan algoritma pembagian, didapat f (x) = q(x).d(x) + r(x), dimana r(x) = 0 atau deg(r(x)) < deg(d(x)). Dalam hal ini diinginkan r(x) = 0. Selesaikan r(x), didapat r(x) = f (x) − q(x).d(x) = [1 − q(x).u(x)] f (x) − [q(x)v(x)]g(x). Hal ini memperlihatkan bahwa r(x) ∈ I dan karena d(x) dipilih berderajad paling kecil di I, tidaklah mungkin deg(r(x)) < deg(d(x)). Jadi r(x) = 0, dengan demikian d(x)| f (x). Dengan argumentasi yang sama, berdasarkan algoritma pembagian didapat g(x) = h(x)d(x)+ r(x) dimana r(x) = 0 atau deg(r(x)) < deg(d(x)). Selesaikan r(x), didapat r(x) = g(x) − h(x).d(x) = [1 − h(x).v(x)]g(x) − [h(x)u(x)] f (x). c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

278

Polinomial Ring..

Hal ini memperlihatkan bahwa r(x) ∈ I dan karena d(x) dipilih berderajad paling kecil di I, tidaklah mungkin deg(r(x)) < deg(d(x)). Jadi r(x) = 0, dengan demikian d(x)|g(x). (3) Untuk melengkapi bukti, ditunjukkan bahwa sebarang pembagi pesekutuan c(x) dari f (x) dan g(x) membagi d(x). Tetapi, bila f (x) = q(x).c(x) dan g(x) = p(x).c(x), maka d(x) = u(x). f (x) + v(x).g(x) = [u(x).q(x) + v(x).p(x)]c(x). Terlihat bahwa c(x)|d(x) sebagaimana yang dikehendaki.



Algoritma pembagian dapat digunakan untuk mendapatkan fpb di F[x] sebagaimana di Z. Teorema 9.2.3 Misalkan F adalah suatu lapangan, f (x) dan g(x) di F[x], bila secara berulang digunakan algoritma pembagian didapat (1) f (x) = q1 (x).g(x) + r1 (x) (2) g(x) = q2 (x).r1 (x) + r2 (x) (3) r1 (x) = q3 (x).r2 (x) + r3 (x) .. . maka akan sampai n berhingga didapat (n) rn−2 (x) = qn (x).rn−1 (x) + rn (x) (n+1) rn−1 (x) = qn+1 (x).rn (x) + rn+1 (x), dimana rn+1 = 0. Maka r(x) = rn (x) adalah suatu fpb dari f (x) dan g(x). Bukti Barisan dari pembagian tidak akan terus berlangsung, sebab deg(g(x)) > deg(r1 (x)). deg(r2 (x)) > deg(r3 (x)) > · · · > 0, jadi akan sampai pada suatu n sebagaimana telah disebutkan. Untuk n yang demikian, dari Persamaan (n+1) terlihat bahwa rn (x)|rn−1 (x), maka dari Persamaan (n) didapat rn (x)|rn−2 (x) dan seterusnya sampai ke Persamaan (2) dan (1) menunjukkan bahwa rn (x)|g(x) dan rn (x)| f (x). Lagipula, bila c(x) adalah sebarang pembagi persekutuan dari f (x) dan g(x), maka dari Persamaan (1) didapat c(x)|r1 (x) dan, juga dari Persamaan (2) didapat c(x)|r2(x) dan terus kebawah sampai ke Persamaan (n+1) didapat c(x)|rn (x). Hal ini menunjukkan bahwa rn (x) adalah suatu fpb dari f (x) dan g(x).



Definisi 9.2.3 Barisan dari penghitungan (1), (2), (3), . . . dalam Teorema 9.2.3 dinamakan X algoritma Eulcide.



Contoh 9.2.5 Tinjau polinomial f (x) = x4 + 2x2 + 1 dan di Z3 [x]. Gunakan algoritma Euclide, didapat (1) x4 + 2x2 + 1 = (x2 − x + 1)(x2 + x + 2) + (x + 2) c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

g(x) = x2 + x + 2

279

Aplikasi Algorithma Pembagian..

(2) x2 + x + 2 = (x + 2)(x + 2) + 1. Jadi, fpb( f (x), g(x)) = 1 dan; f (x) dan g(x) adalah prima relatif. Juga, didapat 1 = = = fpb( f (x), g(x)) =

(x2 + x + 2) − (x + 2)(x + 2) (x2 + x + 2) − (x + 2)[(x4 + 2x2 + 1) − (x2 − x + 1)(x2 + x + 2)] [−x − 2](x4 + 2x2 + 1) + [1 − (x + 2)(x2 − x + 1)](x2 + x + 2) u(x). f (x) + v(x).g(x).

Perhitungan yang dilakukan ini akan berguna ketika mencari invers terhadap perkalian dalam ring kuasi F[x]. X



Latihan 9.3 Aplikasi Algorithma Pembagian Latihan 9.4 Polinomial Tereduksi Latihan 9.5 Polinomial Kubik dan Kuartik Latihan 9.6 Ideal di F[x] Latihan 9.7 Terorema Sisa untuk F[x] Latihan

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

280

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Polinomial Ring..

Bab

10

Daerah Euclid 10.1 Algorithma Pembagian dan Daerah Euclid Latihan 10.2 Daerah Faktorisasi Tunggal 10.3 Integers Gaussian

281

282

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Daerah Euclid..

Bab

11

Teori Lapangan 11.1 Ruang Vektor 11.2 Perluasan Aljabar 11.3 Lapangan Splitting 11.4 Lapangan Berhingga

283

284

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Teori Lapangan..

Bab

12

Konstruksi Geometri 12.1 Konstruksi Bilangan Real 12.2 Masalah Klasik 12.3 Konstruksi dengan Aturan Tanda dan Kompas 12.4 Revisi Kubik dan Kuartik

285

286

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Konstruksi Geometri..

Bab

13

Teori Galois 13.1 Grup Galois 13.2 Teori Fundamental dari Teori Galois 13.3 Revisi Konstruksi Geometri 13.4 Perluasan Radical

287

288

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Teori Galois..

Bab

14

Simetri 14.1 Transformasi Linier 14.2 Isometris 14.3 Grup Simetri 14.4 Solid Platonik 14.5 Subgrup dari Grup Orthogonal Khusus

289

290

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Simetri..

Bab

15

Basis Gröbner |labelBabGrobner

15.1 Order Lexicographic 15.2 Suatu Algorithma Pembagian 15.3 Lemma Dickson 15.4 Teorema Basis Hilbert 15.5 Basis Gröbner dan Algorithma Pembagian

291

292

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Basis Gröbner..

Bab

16

Teori Koding 16.1 Kode Biner Linier 16.2 Koreksi Kesalahan dan Dekoding Koset 16.3 Matriks Generator Baku 16.4 Metoda Sindrom 16.5 Kode Siklik

293

294

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Teori Koding..

Daftar Pustaka

[1] Subiono. "Aljabar I", Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 2014. [2] Subiono. "Aljabar II", Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 2014. [3] Aigli Papantonopoulou. "Algebra Pure & Applied", Prentice Hall, USA, 2002. [4] J.B. Fraleigh. "A First Course In Abstract Algebra, Seventh Edition", 2003. [5] D.A.R. Wallace. "Groups, Rings and Fields", Springer-Verlag London Limited, 1998. [6] Joseph A. Gallian. "Contemporary Abstract Algebra, Sevent Edition", Brooks/Cole, USA, 2010. [7] Joseph J. Rotman. "Advanced Modern Algebra", Prentice Hall, 2003. [8] Jeffrey Bergen. "A Concrete Approach to Abstract Algebra", ELSEVIER, 2010. [9] Thomas W. Judson. "Abstract http://abstract.pugetsound.edu, 2014.

Algebra

Theory

and

Applications",

[10] Robert A. Beezer. "Sage for Abstract Algebra, A Supplement to Abstract Algebra, Theory and Applications", Department of Mathematics and Computer Science, University of Puget Sound, 2014. [11] Joseph J. Rotman. "A First Course In Abstract Algebra, Third Edition", Prentice Hall, USA, 2010. [12] Stephan Folders. "Fundamental Structures of Algebra and Discrete Mathematics", John Wiley & Sons, Inc., 1994. [13] Randall B. Maddox. "A Transition to ABSTRACT MATHEMATICS Learning Mathematical Thinking and Writing, Second Edition", Academic Press, 2009. [14] Otto F.G. Schilling and W. Stephen Piper. "Basic Abstract Algebra", Ally and Bacon. Inc., 1975. 295

296

DAFTAR PUSTAKA

[15] J. Eldon Whitesitt. "Principles of Modern Algebra, Second Edition", AddisonWesley Publishing Company, 1973. [16] John R. Durbin. "Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition", John Wiley & Sons, Inc., 2009. [17] Wildah Mahmudah. "Kajian Indeks Sikel Polinomial Grup dan Aplikasi Teorema Polya pada Molekul Tetrahedron", Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 2006. [18] Luluk Handayani. "Kajian Teorema Burnside dan Teorema Polya serta Aplikasinya pada Enumerasi Pola Molekul Karbon (C)", Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 2004.

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

Indeks

aljabar, 51 abstrak, 51 automorpisma, 136–139 Aut(G), 136, 138

Quaternion, 59, 133, 140 siklik, 71–77, 79, 95, 100, 102, 111, 136, 137, 139, 149, 160, 162, 165– 167, 173, 176, 177 simetri, 54, 58, 81, 82, 85, 99, 134, 173, 175, 176, 184

domain, 4, 9, 10, 80 elemen, 17 positip terkecil, 17 terkecil, 17

Himpunan, 1 bilangan bulat, 1, 16 bulat genap, 2 kompleks, 2 rasional, 2 riil, 2, 14 himpunan, 2–4, 8, 11 bagian, 2, 4, 63 berhingga, 2, 3, 11, 12 sama, 2 tak-kosong, 9 homorpisma, 95, 103–106, 109, 112, 113, 115, 116, 122, 123, 126, 153, 174 grup, 104, 105, 107, 108, 111–116, 123, 126–129, 131, 132, 136–139, 141, 144, 145, 151, 155, 157, 159, 160, 163, 174, 175

fungsi, 4, 54–56 φ Euler, 61 φ Euler, 74, 79 Gabungan, 2 grup, 51, 53, 55–61 Abelian, 56 abstrak, 51, 59, 61 alternating, 88 berhingga, 59, 61, 63, 133, 141, 146 dihedral, 58, 63, 113, 115, 117, 132, 175, 176, 179, 181, 187, 189 isomorpik, 107, 108, 112–115, 123– 125, 128, 132, 146, 147, 149, 160, 164, 167, 169, 175, 181 Klein, 59, 62, 100, 114, 115, 125, 140, 146, 149 komutatif, 56, 57, 59, 62 kuasi, 95, 123–125 linier spesial, 59 linier umum, 59 perkalian, 62 permutasi, 80, 81, 173, 175, 185

image, 4 indeks, 98, 99, 101–103, 117, 121, 125, 126, 181 Induksi, 17 matematika, 1, 17, 18, 26, 27, 33 Versi Modifikasi, 19, 33 inner automorpisma, 138, 139 297

298 Inn(G), 138 irisan, 2, 14, 77 isomorpisma, 107, 109, 111, 112, 114, 126, 128, 129, 131, 135–137, 139, 145, 151, 153, 158, 163 grup, 109–111 kardinalitas, 2 sama, 11 klas ekivalen, 13–16, 29, 83, 84, 95, 96, 103, 178, 180 kodomain, 4, 9, 10, 80 koset, 95 kanan, 96, 97 kiri, 96, 97 operasi, 1, 35, 36, 46, 55, 61, 123, 124 biner, 56, 57, 103, 104, 108, 112, 133 komposisi fungsi, 136 komponen, 143 komposisi, 81, 171 komposisi fungsi, 54, 64, 136 koset, 123 pada himpunan, 1, 55 penjumlahan, 1, 30, 35, 36, 42, 52, 53, 57, 60, 63–67, 69, 71, 113 modulo, 62, 64, 123 perkalian, 1, 30, 35, 36, 56, 57, 64, 69, 112 koset, 124 matriks, 58, 62, 171, 183 modulo, 62 permutasi, 82 operasi komposisi fungsi, 136 order, 61 berhingga, 61, 129, 130 elemen, 69, 73, 78, 125, 132, 147, 150, 151, 160, 163 genap, 63 prima, 102 tak-berhingga, 61 partisi, 14, 15, 83 pasangan terurut, 2

INDEKS

pemetaan, 4 identitas, 8, 9, 13, 105, 109, 135, 136, 139 invers, 9–13 komposisi, 7, 8, 109, 136 pada, 1, 7–10 satu-satu, 1, 7–10, 12, 80, 82, 90, 98, 107, 108, 110–112, 119, 128, 136– 138, 144, 153, 174, 175, 178, 181 satu-satu pada, 8–11, 13, 82, 90, 98, 107, 109, 110, 119, 136, 155, 181 permutasi, 80–88, 171 ganjil, 88–91, 113 genap, 88–91, 113 identitas, 173, 174, 183 prima, 25–28, 34, 43, 61, 63, 100, 102, 122, 129, 130, 133, 140, 160–169, 171, 183 relatif, 25, 26, 29, 30, 34, 63, 161 Produk Kartesian, 2 relasi, 13–16, 96, 113, 180 ekivalen, 12–16, 29, 83, 95–97, 103, 113, 178, 180 kongruen, 29 penentu, 133, 135 urutan, 16 sel, 15 simetri, 53 subgrup, 63–67, 75–77, 80, 88, 90, 91, 95– 97, 99, 101–103, 105, 107, 116–118, 120, 123, 152–155, 157, 160, 161, 163, 164, 166, 173, 175, 176 alternating, 117 karakteristik, 140 komutator, 133 lattice, 78 normal, 95, 115–120, 123–125, 128, 129, 131, 140, 141, 144–146, 151– 153 sejati, 128 normalisir, 119, 122

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono

299

INDEKS

NG (H), 119, 120 sejati, 75, 78, 102 tak-trivial, 64, 69, 75, 79, 100, 102, 130, 158, 167 senter dari G, 67 sentralisir, 68, 70 CG (a), 68 seter dari G, 68 Z(G), 67, 68, 118, 133, 139 siklik, 66, 71, 76, 78, 79, 165–169 tak-sejati, 64, 67, 75 tak-trivial, 75 trivial, 64, 67, 75 yang dibangun, 67, 71 terdefinisi secara baik, 4, 10, 30, 123, 124, 127, 155, 157, 181 Terurut secara baik, 17

c Aljabar, Copyright: 2016 the author Subiono