Kamiran Persamaan-persamaan

Di akhir bab ini, anda sepatutnya: faham asas bagi teori Ekstrapolasi Richardson dan bagaimana ia digunakan ke atas algoritma Romberg dan pembezaan se...

0 downloads 8 Views 520KB Size
Kamiran Persamaan-persamaan Bab 22

Di akhir bab ini, anda sepatutnya: ƒ faham asas bagi teori Ekstrapolasi Richardson dan bagaimana ia digunakan ke atas algoritma Romberg dan pembezaan secara berangkanya ƒ Dapat membezakan di antara formula NewtonCotes dan kuadratur Gauss ƒ mengetahui mengapa kamiran Romberg dan kuadratur Gauss mudah digunakan apabila persaman-persamaan dikamirkan berbanding pada taburan data atau data diskrit

Mengapa perlu pada kaedah lain?

Kamiran Romberg

Ekstrapolasi Richardson ƒ Menggunakan 2 nilai anggaran kamiran untuk mengira anggaran ketiga yang lebih jitu ƒ Nilai anggaran dan ralat bagi hukum trapezoid berbilang-aplikasi adalah: ralat

I nilai sebenar kamiran

I ( h)  E ( h) nilai anggaran bagi bagi aplikasi n-segmen dengan saiz langkah h=(b-a)/n

Jika ada dua nilai anggaran menggunakan saiz langkah h1 dan h2,

I (h1 )  E (h1 )

I (h2 )  E (h2 )

(22.1)

Jika ralat adalah seperti persamaan (21.31) iaitu: E#

ba 2 E# h f" 12

ba 2 h f" 12

(22.2)

Maka, nisbah antara 2 ralat adalah: 2 1 2 2

E (h1 ) h # E (h2 ) h

(22.3)

Masukkan dalam persamaan (22.1) 2 § h1 · I (h1 )  E (h2 )¨¨ ¸¸ I (h2 )  E (h2 ) © h2 ¹ selesaikannya, I (h1 )  I (h2 ) E (h2 ) # 2 1  h1 / h2 anggaran ini dimasukkankan ke dalam I I (h2 )  E (h2 )

menjadi: 1 >I (h2 )  I (h1 )@ I # I (h2 )  2 h1 / h2  1 (22.4) Bagi kes di mana selang adalah separuh (h2=h1/2) persamaan di atas menjadi:

I # I (h2 )  atau

1

2

2

1

>I (h2 )  I (h1 )@

4 1 I # I (h2 )  I (h1 ) 3 3

(22.5)

Contoh ƒ Daripada bab 21, didapati fungsi 2 3 4 5 f ( x) 0.2  25 x  200 x  675 x  900 x  400 x dari a = 0 dan b = 0.8 dengan keputusan Segmen

h

kamiran

Ht%

1

0.8

0.1728

89.5

2

0.4

1.0688

34.9

4

0.2

1.4848

9.5

Penyelesaian Dengan menggunakan segmen 1 dan 2, 1 4 I # (1.0688)  (0.1728) 1.367467 3 3 dengan ralat

Et

1.640533  1.367467 0.273067(H t

16.6%)

Dengan menggunakan segmen 2 dan 4, 1 4 I # (1.4848)  (1.0688) 1.623467 3 3 dengan ralat

Et

1.640533  1.623467 0.017067(H t

1.0%)

Persamaan (22.4) menggabungkan 2 aplikasi hukum trapezoid dengan ralat O(h2) untuk mendapatkan nilai ketiga dengan ralat O(h4) . Oleh itu dengan menggabungkan 2 aplikasi O(h4), maka O(h6)

16 1 I # Im  II 15 15

(22.6)

Dan 2 keputusan O(h6) boleh digabungkan untuk mendapat O(h8)

64 1 I# Im  II 63 63

(22.7)

Contoh ƒ Dengan anggaran dua kamiran O(h4) daripada contoh sebelum ini, iaitu 1.367467 dan 1.623467 dapatkan kamiran bagi fungsi f ( x) 0.2  25 x  200 x 2  675 x 3  900 x 4  400 x 5

dari a = 0 dan b = 0.8.

Penyelesaian ƒ Menggunakan persamaan (22.6),

16 1 I (1.623467)  (1.367467) 15 15 1.640533 di mana merupakan jawapan yang tepat sehingga tujuh nombor bererti.

Algoritma Kamiran Romberg ƒ Persamaan-persamaan (22.5), (22.6) dan (22.7) boleh diringkaskan menjadi:

I j ,k #

4

k 1

I j 1,k 1  I j ,k 1 4

k 1

1

(22.8)

ƒ Dengan ralat

Ha

I1,k  I k 1 I1,k

100%

(22.9)

Secara grafik,

Kuadratur Gauss

Hukum trapezoid

Kuadratur Gauss

Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre ƒ Sebagaimana terbitan bagi hukum trapezoid*, kuadratur Gauss juga ditentukan dari:

I # c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )

(22.12)

ƒ dengan nilai c0 dan c1 adalah pemalar yang tidak diketahui ƒ Maka, terdapat 4 nilai pemalar yang harus dicari dan perlu 4 keadaan untuk menyelesaikannya. *sila rujuk bahagian 22.3.1

Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre

Terbitan formula 2 titik GaussLengendre ƒ Sementara 2 keadaan lagi dengan andaian ia boleh dikamirkan oleh fungsi parabolik (y = x2) dan fungsi kubik (y = x3). ƒ Maka terdapat 4 persamaan yang harus diselesaikan iaitu:

1

c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )

dx 1 ³

2

(22.13)

0

(22.14)

1 1

c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )

xdx ³

1 1

c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )

2

x dx ³

1

2 3

(22.15)

0

(22.16)

1

c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )

3

³ x dx

1

perhatikan bahawa had bagi kamiran2 ini adalah dari 1 hingga -1

Keempat-empat persamaan ini boleh diselesaikan serentak, hasilnya:

c0 x0 x0

c1 1 1  0.5773503... 3 1 0.5773503... 3

Masukkannya ke dalam persamaan (22.12),

§ 1 · § 1 · I # f¨ ¸ f ¨ ¸ © 3¹ © 3¹

(22.17) dikenali sebagi formula GaussLengendre dua titik

ƒ Perlu cari persamaan untuk mendapatkan formula yang umum supaya had kamiran adalah dari –1 dan 1 sahaja... hmmmm

ƒ Andaikan xd merupakan pemalar baru bagi nilai x yang asal, di mana:

x

a0  a1 xd

a

a0  a1 (1)

b

a0  a1 (1)

(22.18) ƒ Jika had bawah x adalah a, di mana nilai baru xd = -1, maka persamaan (22.18) boleh digantikan dengan: (22.19) ƒ Begitu juga dengan had atas, x = b, di mana nilai batu xd = 1 boleh digantikan dengan: (22. 20)

Selesaikan persamaan (22.19) dan (22.20) :

a0

ba 2

(22.21)

ba 2

(22.22)

dan a1

Masukkan persamaan (22.21) dan (22.22) ke dalam (22.18):

x

(b  a )  (b  a ) xd 2

(22.23)

Persamaan (22.23) boleh diterbitkan untuk mendapat:

dx

ba dxd 2

(22.24)

Contoh ƒ Gunakan persamaan (22.17) untuk menganggarkan nilai kamiran bagi fungsi: f ( x) 0.2  25 x  200 x 2  675 x 3  900 x 4  400 x 5

dari a = 0 dan b = 0.8.

Penyelesaian ƒ Sebelum membuat sebarang kamiran, had kamiarn perlu ditukar kepada 1 hingga –1 dengan menggantikan a = 0 dan b= 0.8 pada persamaan (22.23):

x

0.4  0.4 xd

ƒ Di mana hubungan terbitan persamaan ini:

dx

0.4dxd

Penyelesaian ƒ masukkan persamaan-persamaan baru ke dalam fungsi kamiran: 0.8

³ 0.2  25 x  200 x

2



 675 x 3  900 x 4  400 x 5 dx

0

1

³ >0.2  25(0.4  0.4 x )  200(0.4  0.4 x )  675(0.4  0.4 x )  900(0.4  0.4 x )  400(0.4  0.4 x ) @0.4 x 2

d

d

d

1

4

d

5

d

d

3

*bandingkan dengan hukum trapezoid, 1/3 dam 3/8 Simpson

Penyelesaian ƒ gunakan nilai xd sebagai  1 / 3 dan hasilnya adalah 0.516741 ƒ gunakan nilai xd sebagai 1 / 3 dan hasilnya adalah 1.305837 ƒ Masukkan ke dalam persamaan (22.17):

I # 0.516741  1.305837 1.822578 Nilai sebenar:1.640533 Ralat adalah –11.1%