Kamiran Persamaan-persamaan Bab 22
Di akhir bab ini, anda sepatutnya: faham asas bagi teori Ekstrapolasi Richardson dan bagaimana ia digunakan ke atas algoritma Romberg dan pembezaan secara berangkanya Dapat membezakan di antara formula NewtonCotes dan kuadratur Gauss mengetahui mengapa kamiran Romberg dan kuadratur Gauss mudah digunakan apabila persaman-persamaan dikamirkan berbanding pada taburan data atau data diskrit
Mengapa perlu pada kaedah lain?
Kamiran Romberg
Ekstrapolasi Richardson Menggunakan 2 nilai anggaran kamiran untuk mengira anggaran ketiga yang lebih jitu Nilai anggaran dan ralat bagi hukum trapezoid berbilang-aplikasi adalah: ralat
I nilai sebenar kamiran
I ( h) E ( h) nilai anggaran bagi bagi aplikasi n-segmen dengan saiz langkah h=(b-a)/n
Jika ada dua nilai anggaran menggunakan saiz langkah h1 dan h2,
I (h1 ) E (h1 )
I (h2 ) E (h2 )
(22.1)
Jika ralat adalah seperti persamaan (21.31) iaitu: E#
ba 2 E# h f" 12
ba 2 h f" 12
(22.2)
Maka, nisbah antara 2 ralat adalah: 2 1 2 2
E (h1 ) h # E (h2 ) h
(22.3)
Masukkan dalam persamaan (22.1) 2 § h1 · I (h1 ) E (h2 )¨¨ ¸¸ I (h2 ) E (h2 ) © h2 ¹ selesaikannya, I (h1 ) I (h2 ) E (h2 ) # 2 1 h1 / h2 anggaran ini dimasukkankan ke dalam I I (h2 ) E (h2 )
menjadi: 1 >I (h2 ) I (h1 )@ I # I (h2 ) 2 h1 / h2 1 (22.4) Bagi kes di mana selang adalah separuh (h2=h1/2) persamaan di atas menjadi:
I # I (h2 ) atau
1
2
2
1
>I (h2 ) I (h1 )@
4 1 I # I (h2 ) I (h1 ) 3 3
(22.5)
Contoh Daripada bab 21, didapati fungsi 2 3 4 5 f ( x) 0.2 25 x 200 x 675 x 900 x 400 x dari a = 0 dan b = 0.8 dengan keputusan Segmen
h
kamiran
Ht%
1
0.8
0.1728
89.5
2
0.4
1.0688
34.9
4
0.2
1.4848
9.5
Penyelesaian Dengan menggunakan segmen 1 dan 2, 1 4 I # (1.0688) (0.1728) 1.367467 3 3 dengan ralat
Et
1.640533 1.367467 0.273067(H t
16.6%)
Dengan menggunakan segmen 2 dan 4, 1 4 I # (1.4848) (1.0688) 1.623467 3 3 dengan ralat
Et
1.640533 1.623467 0.017067(H t
1.0%)
Persamaan (22.4) menggabungkan 2 aplikasi hukum trapezoid dengan ralat O(h2) untuk mendapatkan nilai ketiga dengan ralat O(h4) . Oleh itu dengan menggabungkan 2 aplikasi O(h4), maka O(h6)
16 1 I # Im II 15 15
(22.6)
Dan 2 keputusan O(h6) boleh digabungkan untuk mendapat O(h8)
64 1 I# Im II 63 63
(22.7)
Contoh Dengan anggaran dua kamiran O(h4) daripada contoh sebelum ini, iaitu 1.367467 dan 1.623467 dapatkan kamiran bagi fungsi f ( x) 0.2 25 x 200 x 2 675 x 3 900 x 4 400 x 5
dari a = 0 dan b = 0.8.
Penyelesaian Menggunakan persamaan (22.6),
16 1 I (1.623467) (1.367467) 15 15 1.640533 di mana merupakan jawapan yang tepat sehingga tujuh nombor bererti.
Algoritma Kamiran Romberg Persamaan-persamaan (22.5), (22.6) dan (22.7) boleh diringkaskan menjadi:
I j ,k #
4
k 1
I j 1,k 1 I j ,k 1 4
k 1
1
(22.8)
Dengan ralat
Ha
I1,k I k 1 I1,k
100%
(22.9)
Secara grafik,
Kuadratur Gauss
Hukum trapezoid
Kuadratur Gauss
Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre Sebagaimana terbitan bagi hukum trapezoid*, kuadratur Gauss juga ditentukan dari:
I # c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 )
(22.12)
dengan nilai c0 dan c1 adalah pemalar yang tidak diketahui Maka, terdapat 4 nilai pemalar yang harus dicari dan perlu 4 keadaan untuk menyelesaikannya. *sila rujuk bahagian 22.3.1
Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre
Terbitan formula 2 titik GaussLengendre Sementara 2 keadaan lagi dengan andaian ia boleh dikamirkan oleh fungsi parabolik (y = x2) dan fungsi kubik (y = x3). Maka terdapat 4 persamaan yang harus diselesaikan iaitu:
1
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 )
dx 1 ³
2
(22.13)
0
(22.14)
1 1
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 )
xdx ³
1 1
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 )
2
x dx ³
1
2 3
(22.15)
0
(22.16)
1
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 )
3
³ x dx
1
perhatikan bahawa had bagi kamiran2 ini adalah dari 1 hingga -1
Keempat-empat persamaan ini boleh diselesaikan serentak, hasilnya:
c0 x0 x0
c1 1 1 0.5773503... 3 1 0.5773503... 3
Masukkannya ke dalam persamaan (22.12),
§ 1 · § 1 · I # f¨ ¸ f ¨ ¸ © 3¹ © 3¹
(22.17) dikenali sebagi formula GaussLengendre dua titik
Perlu cari persamaan untuk mendapatkan formula yang umum supaya had kamiran adalah dari –1 dan 1 sahaja... hmmmm
Andaikan xd merupakan pemalar baru bagi nilai x yang asal, di mana:
x
a0 a1 xd
a
a0 a1 (1)
b
a0 a1 (1)
(22.18) Jika had bawah x adalah a, di mana nilai baru xd = -1, maka persamaan (22.18) boleh digantikan dengan: (22.19) Begitu juga dengan had atas, x = b, di mana nilai batu xd = 1 boleh digantikan dengan: (22. 20)
Selesaikan persamaan (22.19) dan (22.20) :
a0
ba 2
(22.21)
ba 2
(22.22)
dan a1
Masukkan persamaan (22.21) dan (22.22) ke dalam (22.18):
x
(b a ) (b a ) xd 2
(22.23)
Persamaan (22.23) boleh diterbitkan untuk mendapat:
dx
ba dxd 2
(22.24)
Contoh Gunakan persamaan (22.17) untuk menganggarkan nilai kamiran bagi fungsi: f ( x) 0.2 25 x 200 x 2 675 x 3 900 x 4 400 x 5
dari a = 0 dan b = 0.8.
Penyelesaian Sebelum membuat sebarang kamiran, had kamiarn perlu ditukar kepada 1 hingga –1 dengan menggantikan a = 0 dan b= 0.8 pada persamaan (22.23):
x
0.4 0.4 xd
Di mana hubungan terbitan persamaan ini:
dx
0.4dxd
Penyelesaian masukkan persamaan-persamaan baru ke dalam fungsi kamiran: 0.8
³ 0.2 25 x 200 x
2
675 x 3 900 x 4 400 x 5 dx
0
1
³ >0.2 25(0.4 0.4 x ) 200(0.4 0.4 x ) 675(0.4 0.4 x ) 900(0.4 0.4 x ) 400(0.4 0.4 x ) @0.4 x 2
d
d
d
1
4
d
5
d
d
3
*bandingkan dengan hukum trapezoid, 1/3 dam 3/8 Simpson
Penyelesaian gunakan nilai xd sebagai 1 / 3 dan hasilnya adalah 0.516741 gunakan nilai xd sebagai 1 / 3 dan hasilnya adalah 1.305837 Masukkan ke dalam persamaan (22.17):
I # 0.516741 1.305837 1.822578 Nilai sebenar:1.640533 Ralat adalah –11.1%
