PERKALIAN DUA VEKTOR & PROYEKSI VEKTOR

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X 5 Proyeksi vektor orthogonal a o pada b o adalah c o ªº= 2 ab. b b «»o «» «»¬¼ Proyeksi skalar orthogonal pada adalah pan...

0 downloads 4 Views 735KB Size
MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

PERKALIAN DUA VEKTOR & PROYEKSI VEKTOR 1. Identitas a. Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan) b. Semester :2 c. Kompetensi Dasar : Kompetensi Dasar 3.2 Kompetensi Dasar 4.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, Menyelesaikan masalah yang berkaitan panjang vektor, sudut antar vektor dengan vektor, operasi vektor, panjang dalam ruang berdimensi dua vektor, sudut antar vektor dalam ruang (bidang) dan berdimensi tiga berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga d. Indikator Pencapaian Kompetensi: IPK KD 3.2 IPK KD 4.2 3.2.1 Mengenali vektor dalam ruang 4.2.1 Menyelesaikan masalah yang berdimensi dua berkaitan dengan vektor dalam 3.2.2 Mengidentifikasi operasi vektor ruang berdimensi dua dalam ruang berdimensi dua 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang 3.2.3 Menyebutkan panjang vektor berkaitan dengan operasi vektor dalam ruang berdimensi dua dalam ruang berdimensi dua 3.2.4 Mengidentifikasi sudut antar 4.2.3 Menyelesaikan masalah yang vektor dalam ruang berdimensi berkaitan dengan panjang vektor dua dalam ruang berdimensi dua 3.2.5 Menjelaskan konsep vektor dalam ruang berdimensi dua 3.2.6 Menjelaskan operasi vektor dalam ruang berdimensi dua 3.2.7 Menjelaskan panjang vektor dalam ruang berdimensi dua 3.2.8 Menjelaskan sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua e. Materi Pokok : Perkalian Dua Vektor, Proyeksi Vektor f. Alokasi Waktu : 4 kali pertemuan g. Tujuan Pembelajaran : Melalui pendekatan saintifik, peserta didik diharapkan dapat menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga dan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga serta memiliki sikap responsif, kreatif, komunikatif serta kerjasama dengan baik.

h. Materi Pembelajaran : Perkalian Dua Vektor, Proyeksi Vektor 1

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

2. Peta Konsep

PERKALIAN DUA VEKTOR

PERKALIAN TITIK (dot product)

PERKALIAN SILANG (cross product)

 



a . b  a1a2  b1b2  c1c2  



 

a b  a b sin 

 

a . b  a b cos 

PROYEKSI VEKTOR

Proyeksi Skalar Orthogonal

Proyeksi Vektor Orthogonal







a pada b 

c 



a pada b

 



a.b

c



b

 

a.b 2



.b

b

3. Kegiatan Pembelajaran Perkalian Skalar (Dot Product) 

 



 





Perkalian skalar vektor a dan b adalah : a . b  a b cos  ;  : sudut antara a dan b

 x2   x1         Bila a =  y1  dan b =  y 2  maka a . b = x1 x2  y1 y 2  z1 z 2   z   1  z2  

Sifat-sifat perkalian skalar antara dua vektor: 







a. b = b. a        a .  b c  = a . b + a . c  

       m. a  .  n. b  = (m.n )  a . b         

2

a.a  a  





Jika a . b  0 , maka a tegak lurus b

2

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X LATIHAN SOAL 





1. Jika a = 3 dan b = 4 , sudut antara

2. Diketahui a  3i  j  k dan 





0

a dan b adalah 120 . Tentukan nilai







b  2 j  k . Jika u  a  2 b dan 





 

v  a  b , tentukan u . v

 

dari a . b





3. Diketahui a  xi  yj  3k , 

4. Sudut antara vektor a  2i  j  k ,



b  i  2 j  3k dan c  3i  j  2k . 





dan b  mi  k adalah



Jika a tegak lurus b , dan a tegak

 . 6

Tentukan nilai m.



lurus c , tentukan nilai x dan y.









5. Jika a = 2 , b = 5 dan a  b  19    Tentukan nilai dari a .  b  a  .  

6. Diketahui 



a  2i  j  k , b  i  3 j  2k . Jika 

u vektor satuan yang tegak lurus 





a dan b . Tentukan vektor u .







7. Diketahui a = 2 , b = 3, dan c =4.

8. ABCD adalah jajaran genjang, diketahui A(3,-3,2), B(5,-6,8) dan 3

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X 





Jika a , b , dan c saling membentuk sudut 60 antara satu dengan yang 



C(2,-1,0). Tentukan tan ACD .



lainnya, tentukan a  3 b  2 c .

9. ABCD adalah jajarangenjang. Jika AB 10. a = 4, b = 7, dan 2a  b  145 = 4cm, AC=3cm dan BAD = 60 .      Tentukan AC.BD . Tentukan  a  2 b  .  3 a  b    

Proyeksi Vektor 4

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X







a

b





Proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah c    a.b    c = b  2 b  









Proyeksi skalar orthogonal a pada b adalah panjang vektor c  a.b c = b

c

LATIHAN 



1. Diketahui a  3i  2 j  k , b  2i  3 j , 







2. Diketahui a  i  2 j  2k dan 



dan c  i  j  k . Jika u  a  b dan 





v  b  c . Tentukan proyeksi skalar 







b  3i  2 j  6k . Jika u  a  b Tentukan proyeksi vektor orthogonal 





u pada a .

orthogonal u pada v .

3. Proyeksi skalar

4.



orthogonal a  2i  6 j  3k , dan 

Diketahui P(-1,3,4), Q(2,2,0), dan R(2,-3,6). Tentukan proyeksi vektor orthogonal PQ pada PR

b  mi  2 j  4k adalah 4/3. Tentukan nilai m.



5.



Diketahui titik A(1,-2,3) dan vektor c  2i  6 j  3k . Jika vektor c melalui B(0,2,-1), 

Tentukan jarak A dengan vektor c ?

Materi Pengayaan 5

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

Perkalian Silang (Cross Product) 







a b adalah vektor yang tegak lurus a dan tegaklurus b menurut arah perputaran skrup. 



a b 



 



a b = a b sin  . e ;







 : sudut antara a dan b ,

a









e = vektor satuan yang searah a b

b 



b a

 x2  x1      Bila a =  y1  dan b =  y 2  z   1  z2 

 i     maka a b = x1  x2 

j y1

k z1

y2

z2

Sifat-sifat perkalian silang dua vektor : 











a b = - ( b a ) a a = 0        a  b  c  = a b + a c            a  b c  = (a . c ) b  (a . b ) c               a b   c = (a . c ) b  (b . c ) a   Latihan 6



1. Diketahui a  i  2 j  2k , dan 



 3  4 1         2. a =  0  , b =  3  , dan c =  2  1  2 1       



b  3i  2 j  6k . Tentukan a b .

   Tentukan a  b c  .  

Latihan Ulangan 6

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

1. Besar sudut adatara vector a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120

a = 2i + 3j +1 k, dan b

= 3i +2j – 6k. adalah ……derajat

a = 3 i + k, dan b = 3 j + 2k. Maka a . ( a + b ) = ….

2. Jika a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2

3.Diketahui a = 3 , b = 4, dan (a, b)  60 Nilai a  2b  ……

7

a.

b. 17 c. 7 d. 8

47

e.

4. Jika a = 3i - 2j + k dan b = 2i +mj + 2k.dan panjang proyeksi m = ….

a pada b

=setengah panjang b . Nilai

a. 2  2 3 dan 2  2 3 b. 1 2 3 dan 1 2 3 c.  2  2 3 dan  2  2 3 d.  4  2 3 dan  4  2 3 e. 4 3 dan 4 3

5. Bila  sudut antara

1

a =  2  dan b  2  

a.

1 3

b.

8 21

c.

3 7

d.

10 21

5

e.

11 21

5

 3 

=   2  maka sin  adalah ….    6   

5 5 5

6. A(3,2,4) dan B(4,5,2) dan AC  OB . Jika

c

adalah vector posisi titk C , maka

c

adalah …… 7

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

8   a. 10  4   1 3

 4   b.  5   2   1 3

 4   d.  5   2   1 2

 4   e.  5   2   1 4

 4   c.  5   2   1 5

7. Diketahui A(x,7,0), B(6,10,-6) dan C(1,9,0) agar AB  AC , maka nilai x =. a. 3 atau 4 b. -3 atau -4 c. 3 atau -4 d. -2 atau 6 e. 2 atau 6

8.

 1 

a =   1 , b  1   

a.

3 2

1

 3

 2  

1  

=  1  dan c =  0  Tentukan proyeksi scalar orthogonal ( b + c ) pada    

a

adalah …..

2

b. 2 2 c.

2 3

2

d. 4 3 e.

4 3

3

9. Diketahui P(1,-2,-2) dan Q(1,-2,6) Titik R terletak pada pQ sehingga PR : PQ  5 : 3 . Nilai dari

PR.PQ adalah …. a. 31. b. 28 c. 21 d. 16 e. 15

10. Koordinat titik berat segitiga ABC jika A(-1,3,-5), B( 2,6,-7), dan C(5,0,-6) adalah …… a. (2,3,-6) b. (2,5,3) c. (-2, -3,6) d. (1,2,3) e. (-3,2,6)

11. Jika a = 5 , b =

7 dan b . a = -2 pasangan vector yang saling tegaklurus adalah ….. 8

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

a -3 b dan a - b b. a +3 b dan a - b c. a -3 b dan a + b d. 3 a + b dan a + b e. 3 a + b dan a - b a.

12. Diketahui segitiga ABC dengan A(4,0,8), B(8,2,6) danC(4,0,10). Nilai sinus sudut terbesar adalah …. a.  1 30

6 b.  1 30 3

c.

1 6

30

d. 1 30 3

e.

1 30

30

13. Diketahui

 4

a =  3 ,b   1  

  2

=  0  Jika  

u = a + b dan v = a - b Proyeksi vector orthogonal u dan v

 2   

adalah …. a.

b. c.

6 9   1 16   1

6 21   1 19   1 6 19   1 15   1

d.

e.

 2 5  1 3  1

 2 19   1 15   5

14. Jika a = 5 , b = 6 dan , c = a. 15 b. 29 c. 30,5 d. 32 e. 34,5

c

91 Maka nilai ( a + b ) . (2 a - b ) = …..

b a

15. Segitiga ABC siku-siku di A jika BC = 2j - 3j +2k dan AB = xi + 2j + k. Nilai x adalah ……… a. -2 b. -1 c. 1 d. -2 e. 3

c. Penutup 9

MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X

Bagaimana keadaan kalian sekarang? Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1 dan 2, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di Tabel berikut. Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi No Pertanyaan 1. Apakah kalian telah memahami perbandingan ruas garis vektor? 2. Dapatkah kalian membedakan antara perbandingan vektor dengan titik bagi di dalam dan di luar? 3. Dapatkah kalian menentukan koordinat titik yang membagi ruas garis jika diketahui perbandingannya? 4. Apakah kalian telah memahami tiga titik yang segaris? 5. Apakah kalian telah memahami tiga vektor yang sebidang?

Ya

Tidak

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) atau sumber lainnya dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!.

Sukses untuk kalian!!!

10